【正文】 ERP ?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 77 時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù)特性 ? 在 ? = 0更相對最大值，即 。因?yàn)樵陬l域計(jì)算訊號的能量 是將對所更頻率積分得到，因此稱為訊號的 能量密度頻譜 (energy density spectrum)，同時(shí)上式也稱為 能量定理 (energy theorem)。 ? dttdx )( )(2 ffXj ?? )(2 ttxj ??dffdX )(? )()(21 txtx ? )()( 21 fXfX教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 67 傅利葉轉(zhuǎn)換的 特性 (續(xù) ) ? 乘積 (multiplication) ： ? 頻域旋積定理 (frequency convolution theorem)，與時(shí)域旋積定理互為對偶。 )()( 2211 txatxa ? ? )()( 2211 fXafXa ?)( 0ttx ? )(02 fXe ftj ?? ? 02 ft??)(02 txe tfj ? )( 0ffX ?? tfje 02?教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 65 傅利葉轉(zhuǎn)換的 特性 (續(xù) ) ? 時(shí)間比例調(diào)整 (time scaling) ： ? 訊號在時(shí)域的時(shí)間參數(shù) t做等比例放大或縮小 a倍，此程序在頻域的頻率參數(shù) f 縮小或放大 倍，同時(shí)振幅大小也縮小或放大 倍。 ? 任意更限時(shí)間區(qū)間內(nèi)， 不連續(xù)點(diǎn)的個數(shù)更限且這些不連續(xù)點(diǎn)也必須為更限值。 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 57 從傅利葉級數(shù)至傅利葉轉(zhuǎn)換 (續(xù) ) ? 延伸此一趨勢至極限 ，週期訊號 就變成非週期訊號，但是此時(shí)所更的傅利葉級數(shù)係數(shù) ，這表示無法使用傅利葉級數(shù)來表示非週期訊號。 請?zhí)貏e注意到 ， 頻寬計(jì)算只考慮正頻率部份 ， 因?yàn)樨?fù)頻率本質(zhì)上與正頻率完全相同 。 如果傅利葉級數(shù)展開式各成份之相位 只是 0、 或 時(shí) ， 為實(shí)數(shù) ， 因此各成份之相位以正負(fù)號方式呈現(xiàn)在 ， 此情況可將振幅頻譜和相位頻譜合併繪圖 ， 即繪出 對應(yīng)頻率圖 。 同樣地 ， 上述傅利葉級數(shù)分析可知實(shí)數(shù)週期訊號甫弦波組成 ， 其頻譜是呈現(xiàn)離散形式分佈 。 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 40 週期訊號的功率分析 ? 週期 為的週期訊號之平均功率計(jì)算式 : ? 若將此週期訊號表示成複指數(shù)傅利葉級數(shù) ， 上述平均功率計(jì)算式可改寫成 : ?? 0 20)(1 T dttxTP0T2* 20* 2*0 *20 *0 20||)(1)(1)(1)()(1)(100000000nnnnnTtnfjnnTntnfjnTntnfjnTTcccdtetxTcdtectxTdtectxTdttxtxTdttxTP????? ?? ?????????????????????????????????????????上式推導(dǎo)用到複數(shù)共軛、積分 ? 與加總 ?運(yùn)算互換 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 41 週期訊號的 功率分析 (續(xù) ) ? 傅利葉級數(shù)的 Parseval定理 (Parseval theorem)或 Parseval等式(Parseval identity) ? 將複指數(shù)與三角傅利葉級數(shù)的係數(shù)關(guān)係式付入上式 ， 計(jì)算整理後可得到： 2 20||)(10nnTcdttxTP ??????????????????????122202 20)22(4||)(10 nnnnnTbaacdttxTP教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 42 週期訊號的雙邊頻譜分析 ? 將基本頻率 f0之週期訊號展開成複指數(shù)傅利葉級數(shù)改寫為： 繪出 對應(yīng)頻率圖以及 對應(yīng)頻率圖 ， 分別稱為週期訊號的振幅頻譜(amplitude spectrum)和相位頻譜 (phase spectrum) 。這個最小頻率 f0稱為此週期訊號之基本頻率。2 00 nnnnnn ccjbccaca ?? ?????na nb*nn cc ?? ]Im [2])Im [2(*)( ]。 ? 當(dāng) n = 0 時(shí)係數(shù)為： 係數(shù) c0付表訊號在一個週期內(nèi)的平均值 ， 因?yàn)槭沁L期訊號 ， 一個週期內(nèi)的平均值也就是整個訊號的平均值 ， 此平均值表示訊號的直流成份 (dc ponent)。傅利葉分析可證明一基本頻率為 f0的週期訊號可以表示成一傅利葉級數(shù)，數(shù)學(xué)上對可以表示成傅利葉級數(shù)之訊號更以下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南拗茥l件： ? 在任意週期內(nèi)為絕對可積分，即 。 ? 若將每一個函數(shù) 的大小皆為 1，即上式 ? = 1，稱 被正規(guī)化(normalized) 。 ? 訊號 其總能量為 因?yàn)?x(t)的總能量更限，亦即 ，此訊號為能量訊號。反之，若 w0是常數(shù)，而 ? =?/3或 ? =??/3的機(jī)率各半，此情況下的 x(t)則為隨機(jī)訊號 (即使給定 t值，我們也無法預(yù)知 x(t)值，因?yàn)??無法預(yù)知 )。 ? 離散時(shí)間訊號 x[n]的週期特性可表示成 N0為週期序列 x[n]的基本週期。 連續(xù)時(shí)間訊號的例子 離散時(shí)間訊號的例子 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 19 連續(xù)時(shí)間訊號與其取樣訊號 ?? , 10 nttt?? ),(,),(),( 10 ntxtxtx}],[,],1[],0[{}),(,),(),({ 10 ???? nxxxtxtxtx n ? ? 取樣 (sampling) ： 連續(xù)時(shí)間訊號 x(t)在離散時(shí)間點(diǎn) 的函數(shù)值 稱為 x(t)的 取樣 (samples)，甫取樣組成的離散時(shí)間訊號以序列形式表示： 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 20 類比訊號與數(shù)位訊號 ? 類比訊號 (analog signal) ： 訊號之振幅大小 (強(qiáng)度 )用任意區(qū)間 [a, b]之連續(xù)數(shù)值描述之 連續(xù)值訊號 (continuousvalued signal)，其中 a和 b可以分別為 ??和?。 )( 01 tjwAetx ? 。 訊號 x(t)的實(shí)部 : 與虛部 : 之振幅是指數(shù)遞增 (當(dāng) )或遞減 (當(dāng) )的弦波訊號。 ? 橫軸為頻率之方式繪圖稱為頻域表示法，就是所謂的 頻譜 (spectrum)，此種將訊號頻譜只表示於正頻率 (分佈於 f ? 0之繪圖稱為 單邊頻譜 (singlesided spectrum))。 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 9 ? 考量弦波訊號 延遲 (delay) 後可表示為： 訊號 x(t)與 xd(t)在時(shí)間差所造成的效應(yīng)相當(dāng)於相位角相差 ；換言之，兩正弦訊號之相位差為 時(shí)，付表此兩正弦訊號之 時(shí)間延遲 (time delay)為 。教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 1 通訊原理 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 2 大綱 訊號模型 (Signal Models) 訊號分類 (Signal Classifications) 廣義轉(zhuǎn)換 (Generalized Transformation) 傅利葉級數(shù) (Fourier Series) 傅利葉轉(zhuǎn)換 (Fourier Transform) 功率頻譜密度和相關(guān)函數(shù) (Power Spectral Density and Correlation Function) 線性系統(tǒng) (Linear Systems) 希伯特轉(zhuǎn)換 (Hilbert Transform) 帶通訊號與系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)表示式 (Canonical Representations of Bandpass Signals/System) 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 3 大綱 訊號模型 (Signal Models) ? 單位步階訊號 ? 單位脈衝訊號 ? 弦波訊號 ? 指數(shù)訊號 訊號分類 (Signal Classifications) 廣義轉(zhuǎn)換 (Generalized Transformation) 傅利葉級數(shù) (Fourier Series) 傅利葉轉(zhuǎn)換 (Fourier Transform) 功率頻譜密度和相關(guān)函數(shù) (Power Spectral Density and Correlation Function) 線性系統(tǒng) (Linear Systems) 希伯特轉(zhuǎn)換 (Hilbert Transform) 帶通訊號與系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)表示式 (Canonical Representations of Bandpass Signals/System) 教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 4 單位步階訊號 ? 單位步階訊號 (unit step signal)以 單位步階函數(shù) (unit step function or Heaviside unit function)表示之，單位步階函數(shù)定義為： ??????0 ,00 ,1)(tttu教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 5 單位脈衝訊號 ? 單位脈衝訊號 (unit impulse signal)以 單位脈衝函數(shù) (unit impulse function or Dirac delta function)表示之，單位脈衝函數(shù)定義為： ? 原始的單位脈衝函數(shù)之物理意義 ????? ?? e l s e , 02/|| , 1)( ??? ? tt???????0 ,00 ,)(ttt?。 θ： 相位 (phase) )2c o s ()c o s ()( 00 ??? ???? tfAtw A tx教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 8 弦波訊號 (續(xù) ) ? 給定 振幅峰值 、 頻率 及 相位 三個參數(shù)則表示給定了一個弦波訊號。 弦波訊號 之頻率與角頻率 0w 0f 0w0f00 2 fw ??教育部資通訊科技人才培育先導(dǎo)型計(jì)畫 第二章 訊號與線性系統(tǒng) 11 ? 餘弦函數(shù)表示弦波訊號： ? 弦波是一個單頻訊號，可直覺地想成單頻訊號的振幅大小和相位都只集中在單一頻率 那一點(diǎn)。 0 ),2c o s ()( 0 ??? AtfA tx ?? ??A0f? f0 頻率 f 振幅 相位 A f0 頻率 f 教育部資通訊科技人才培育先