高中數(shù)學(xué)奧賽專題-全文預(yù)覽
【正文】 明:由//C,C平面C,得//平面C,又BD//,平面C,得BD//平面C,而,于是平面BD//平面C.(5)證明:A(1,0,0),(0,1,1),有及,得,于是,直線A平面BD.(6)證明:由(5)知平面BD,而平面AB,得平面AB平面BD.(7)解:可得C=C==,有由,得,即,得所以點到平面的距離為.(8)解:由(3)得平面CD的法向量為=,它即為平面的法向量.設(shè)平面的法向量為,則, 又由,得,所以設(shè)與所成的角為,則所以二面角的大小為.問題2解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由題意知A,B(0,0,0),C(0,2,0).又由面AC面ABC,且A=C,知點,平面ABC的法向量.(1),得于是,側(cè)棱和底面ABC所成的角的大小是.(2)設(shè)面AB的法向量,則由得,.于是,又平面ABC的法向量,得,有.所以側(cè)面AB和底面ABC所成二面角的大小是.(3)從點C向面AB引垂線,D為垂足,則所以點C到側(cè)面AB的距離是.習(xí)題1過頂點A,V與高作一截面交BC于點M,點O為正四面體的中心,為底面ABC的中心,設(shè)正四面體VABC的棱長為,則AM==VM,=,得在中,即,得.則,.溫馨提示:正四面體外接球的半徑:內(nèi)切球的半徑=.2 ,選B.3設(shè)PA棱于點A,PM平面于點M,PN平面于點N,PA=,則,得,有或(舍去),所以,選B.4由DEEF,EF//AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.由對稱性得,于是.,選B.5可由兩個相同的四棱錐底面重合而成,有,得,外接球的體積,選D.6當(dāng)時,AB//。(ii)當(dāng)時, BC上不存在點Q,使PD.(2)要使BC邊上有且只有一個點Q,使PD,則方程①有兩個相等的實根,這時,得,有.又平面APD的法向量,設(shè)平面PQD的法向量為而,由,得,解得有,則,則所以二面角的正切為.。當(dāng)時,AB//或與斜交.7由,得(1)當(dāng)時,有,得。③MN與BF所在直線成。 (8)求二面角C的大小.ACBABC問題2已知斜三棱柱ABCD的側(cè)面AC與底面垂直,且AC, A=C.(1)求側(cè)棱A和底面ABC所成的角的大小。(4)求證:平面BD//平面C。 (II)是否存在直線與點的軌跡有且只有兩個公共點?若存在,求實數(shù)的值,若不存在,請說明理由.四 參考答案問題1解:(1)當(dāng)直線AB軸時,在中,令,有,則,得.(2)當(dāng)直線AB與軸不互相垂直時,設(shè)AB的方程為:由,消去,整理得,顯然.設(shè),則,得=+=+ = ==.綜(1),(2)所述,有.ypQo問題2解:設(shè)點P,Q,M的坐標(biāo)分別為,x由條件知 ① ②, ③ ④①+②得即,將③,④代入得,于是點M的軌跡方程為.問題3解:(I)C的焦點為F(1,0),直線的斜率為1,所以的方程為,把它代入,整理得設(shè)A,B則有.+1=.,所以與夾角的大小為.(II)由題設(shè)得,即.得,又,有,可解得,由題意知,得B或,又F(1,0),得直線的方程為或,當(dāng)時,在軸上的截距為或,由,可知在[4,9]上是遞減的,于是,所以直線在軸上的截距為[].問題4解:設(shè)M為曲線C上任一點,曲線C的離心率為,由條件①,②得,化簡得: (i)設(shè)弦AB所在的直線方程為 (ii)(ii)代入(i)整理后得: (iii),可知不合題意,有,設(shè)弦AB的端點坐標(biāo)為A,B,是方程(iii)的兩根.,又中點P在直線上,有+=0,解得,即AB的方程為,方程(iii)為,它的,得.,由,得即,得,將它代入(i)得.所求的曲線C的方程為雙曲線方程:.1焦點在軸得。 ②原點O和直線分別為焦點及相應(yīng)準(zhǔn)線。當(dāng)時,為減函數(shù)。②當(dāng)時,為減函數(shù).=,而,于是的最大值是.(3) 當(dāng),即時,.(4)可得,有得,有,得,又,于是有的值域是.問題4解:由已知得,即,又得,.又得由余弦定理.得,.由正弦定理得,有.又,得為最大角.又,有,于是.所以得.習(xí)題:1得,選D.2 ,又,得或(舍去),有,選A.3它的對稱軸為:,即,有,選A.4(數(shù)形結(jié)合)由,知點A在以(2,2)為圓心,為半徑的圓周上(如圖),過原點O作圓C的切線,為切點,由,知,有,過點O作另一切線,為切點,則,選D.5由,設(shè)與的夾角為,則,有,即,得,有,選A.6由,令而,得.又,得,得,有,選D.7顯然且,有,當(dāng)時,有,于是,得,則得到,當(dāng)時,同理可得.8 ,它對應(yīng)的點位于第一象限.9由,得,有,即.則,原式=.10設(shè),則,.設(shè)與,的夾角分別為,則,由,得=①。 (II)若函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù)的圖象,求實數(shù)的值.問題3(1)當(dāng),函數(shù)的最大值是 ,最小值是 . (2)函數(shù)的最大值是 . (3)當(dāng)函數(shù)取得最小值時,的集合是 . (4)函數(shù)的值域是 .問題4已知中,分別是角的對邊,且,=,求角A.三 習(xí)題探討選擇題1在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為,復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為,那么向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是A,1 B, C, D,2已知是第二象限角,其終邊上一點P(),且,則=A, B, C, D,3函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是A, B, C, D,4已知向量,向量,向量,則向量與向量的夾角的取值范圍是A, B, C, D,5已知,且與的夾角為鈍角,則的取值范圍是A, B, C, D,6若是三角形的最小內(nèi)角,則函數(shù)的值域是A, B, C, D,填空題7已知,則= .8復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第 象限.9若,則= .10與向量和的夾角相等,且長度為的向量 .11在復(fù)數(shù)集C內(nèi),方程的解為 .解答題12若,求函數(shù)的最小值,并求相應(yīng)的的值.13設(shè)函數(shù),若當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.14設(shè),且,復(fù)數(shù)滿足,求的最大值與最小值勤.15已知向量,且(I)求及。若,則,從而在上單調(diào)遞增。當(dāng)時,↗,↘,↘.于是得遞增區(qū)間是.10,設(shè),由題意,當(dāng)時,的圖象總在的圖象的,顯然不合題意。(II)求函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值.四 參考答案:問題1:,.由有 得 與,矛盾!故當(dāng)時,的取值范圍是。③的增區(qū)間是,的減區(qū)間是(0,2)。 (II)若的反函數(shù)為,證明只有一個解。 5,轉(zhuǎn)化能力.二 問題探討[問題1] 已知,分別就下面條件求的取值范圍: (I)。③當(dāng)時,在區(qū)間上的最大值是.專題二 集合 函數(shù) 不等式 導(dǎo)數(shù)一 能力培養(yǎng) 1,函數(shù)與方程思想。②當(dāng)時,令,得=0,有.若或,則,從而在,上單調(diào)遞減。當(dāng)時,↗,↗,↗。中間有一段不太長的時間,學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開始分散,分析結(jié)果和實驗表明,用表示學(xué)生掌握和接受概念的能力(值越大,表示接受的能力越強),表示提出和講授概念的時間(單位:分)
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