【正文】 乎與介質(zhì)面垂直的干涉條紋。根據(jù)光柵方程，光柵的任意兩條相鄰狹縫在第K級(jí)衍射方向的光程差為是等相位的。 說(shuō)明在用迂回相位法制作計(jì)算全息圖時(shí)，為什么可用長(zhǎng)方形孔的中心離軸樣點(diǎn)的距離來(lái)表征物函數(shù)的相位值，應(yīng)滿足怎樣的條件才能保證這一表征的實(shí)施。全息成像的放大倍率為。3 = l3 / l0， 代入數(shù)據(jù)得 f1’= 24．4cm； f2’= 19．5cm； f3’= 16．3cm 故對(duì)應(yīng)3個(gè)波長(zhǎng)的焦距分別為24．4cm，19．5cm和16．3cm。請(qǐng)計(jì)算對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)分別為l1= 、l2 = 、l3 = 。解：由已經(jīng)證明了的全息透鏡成像公式可得 根據(jù)題意有f = zA= 20cm，m = l / l0 = / ，d0 = 10cm，代入上式 16．3 cm 原始像 得 di = 7．2 cm 共軛像根據(jù)放大率公式（5．25） 由本題關(guān)系可知，上式中z0 = lo = f = 20cm，zr = lr = ∞，zc = lc = d0 = 10cm，代入上式得 0．6 原始像高h(yuǎn) = M R A z HL （）（1）試依據(jù)菲涅耳全息圖的物像關(guān)系公式（）—（），證明該全息透鏡的成像公式為 式中di為像距，d0為物距，f為焦距，m = l / l0（l0為記錄波長(zhǎng)，l為再現(xiàn)波長(zhǎng)），等號(hào)右邊的正號(hào)表示正透鏡，負(fù)號(hào)表示它同時(shí)又具有負(fù)透鏡的功能。每個(gè)點(diǎn)都在不同角度再現(xiàn)像，因而點(diǎn)越多，再現(xiàn)像的孔徑角也越大，像的分辨率越高，這就是碎片大小對(duì)再現(xiàn)像質(zhì)量的兩個(gè)方面影響。即記錄光與再現(xiàn)光波長(zhǎng)相同時(shí)，（）式變?yōu)椋寒?dāng)再現(xiàn)光源沒有展寬，即，一個(gè)點(diǎn)光源的像的展寬，與參考光源的展寬，成正比，即：同樣，當(dāng)參考光源沒有展寬，再現(xiàn)光源的展寬也與像的展寬成正比參考光源與再現(xiàn)光源同時(shí)存在微小展寬其最后結(jié)果展寬是兩者之和為： 此即式（）。cos α1 最低空間頻率 fmin= （2/l）sin（θmin/2）UA* + UB 2 sin（q/2）= l/mm l/mm。(x,y)θδ=(n1)α解：如圖所示，設(shè)入射平行光與Z軸成θ角入射，按傍軸條件，θ角很小，入射到光楔上的光場(chǎng)為通過(guò)光楔后的出射光場(chǎng)為其中 –(n1)α表示偏轉(zhuǎn)是順時(shí)針?lè)较?，即向底邊偏轉(zhuǎn)，又根據(jù)出射光場(chǎng)，入射光場(chǎng)和光楔變換函數(shù)三者的關(guān)系 有 于是有 。 試寫出平移模糊系統(tǒng)，大氣擾動(dòng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。首先，由于出瞳上的小圓孔是隨機(jī)排列的，因此無(wú)論沿哪個(gè)方向移動(dòng)出瞳計(jì)算重疊面積，其結(jié)果都一樣，即系統(tǒng)的截止頻率在任何方向上均相同。解：由于是實(shí)函數(shù)并且是中心對(duì)稱的，即有，應(yīng)用光學(xué)傳遞函數(shù)的定義式（）易于證明，即為實(shí)函數(shù)。（1） 求物體透射光場(chǎng)的頻譜；（2） 使像平面出現(xiàn)條紋的最大θ角等于多少？求此時(shí)像面強(qiáng)度分布； (3) 若θ采用上述極大值，使像面上出現(xiàn)條紋的最大光柵頻率是多少？與θ=0時(shí)的截止頻率比較，結(jié)論如何？解：（1）斜入射的單色平面波在物平面上產(chǎn)生的場(chǎng)為，為確定起見設(shè)，則物平面上的透射光場(chǎng)為 其頻譜為 由此可見，相對(duì)于垂直入射照明，物頻譜沿軸整體平移了距離。按照上面的分析，如果略去h第一個(gè)零點(diǎn)以外的影響，即只考慮h的中央亮斑對(duì)原點(diǎn)的貢獻(xiàn)，那么這個(gè)貢獻(xiàn)僅僅來(lái)自于物平面原點(diǎn)附近范圍內(nèi)的小區(qū)域。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求距離光柵為的觀察平面上夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布。答：根據(jù)式()單色平面波垂直照明下余弦型振幅光柵的復(fù)振幅分布為 強(qiáng)度分布為 角譜為 傳播距離后，根據(jù)式()得到角譜 利用二項(xiàng)式近似有 故（1）時(shí)與僅相差一個(gè)常數(shù)位相因子，因而觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布與單色平面波垂直照明下剛剛透過(guò)余弦型振幅光柵產(chǎn)生的強(qiáng)度分布完全相同。答：由式()及式(257)有菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射分別要求 即 單位振幅的單色平面波垂直入射到一半徑為的圓形孔徑上，試求菲涅耳衍射圖樣在軸上的強(qiáng)度分布。因?yàn)榻咕喽寂c波長(zhǎng)成反比。（2）解把衍射屏復(fù)振幅透射率中的復(fù)指數(shù)項(xiàng)與透鏡位相變換因子相比較，得到相應(yīng)的焦距，對(duì)于項(xiàng)，令，則有 焦距為正，其作用相當(dāng)于會(huì)聚透鏡，對(duì)于項(xiàng)，令，則有 焦距為負(fù)，其作用相當(dāng)于發(fā)散透鏡，對(duì)于“”這一項(xiàng)來(lái)說(shuō)，平行光波直接透過(guò)，僅振幅衰減，可看作是 （3）解由于該衍射屏有三重焦距，用作成像裝置時(shí)，對(duì)同一物體它可以形成三個(gè)像，例如對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)的點(diǎn)光源，分別在屏兩側(cè)對(duì)稱位置形成實(shí)像和虛像，另一個(gè)像在無(wú)窮遠(yuǎn)（直接透射光）（）。 一個(gè)衍射屏具有下述圓對(duì)稱振幅透過(guò)率函數(shù) （1） 這個(gè)屏的作用在什么方面像一個(gè)透鏡？（2） 給出此屏的焦距表達(dá)式。 （2）孔徑對(duì)于某一條直線是對(duì)稱時(shí)，以該直線為軸建立坐標(biāo)系。 圖 答：振幅分布曲線圖從略。由（4）式可以利用卷積定理直接求出其傅立葉變換式，導(dǎo)出與上述同樣的結(jié)果。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求與它相距為的觀察平面上夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布。答:： ，邊長(zhǎng)為的正方形孔徑內(nèi)再放置一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形掩模，其中心落在點(diǎn)。 是一個(gè)限帶的頻譜函數(shù)，它所對(duì)應(yīng)的空間域的函數(shù)可以通過(guò)抽樣，用一個(gè)點(diǎn)源的方形陣列來(lái)表示，若抽樣的矩形格點(diǎn)的間隔，在方向是，在方向是，就得到等效物場(chǎng) ； （3） （4）把（3）、（4）式代入（2）式，得到 利用函數(shù)性質(zhì)（）式，上式可寫為這一點(diǎn)源的方形陣列構(gòu)成的等效物場(chǎng)可以和真實(shí)物體產(chǎn)生完全一樣的像. 本題利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，從頻率域分析物象關(guān)系，先找出等效物的頻譜，再通過(guò)傅立葉逆變換，求出等效物場(chǎng)的空間分布，這種頻域分析方法是傅立葉光學(xué)問(wèn)題的基本分析方法。證明： 如果一個(gè)空間不變線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在頻率域的區(qū)間，之外恒為零，系統(tǒng)輸入為非限帶函數(shù)，輸出為。 若只能用表示的有限區(qū)域上的脈沖點(diǎn)陣對(duì)函數(shù)進(jìn)行抽樣，即 試說(shuō)明，即使采用奈魁斯特間隔抽樣，也不能用一個(gè)理想低通濾波器精確恢復(fù)。故圖解頻譜結(jié)果為：圖 （3）傳遞函數(shù)（1）形為：圖 （4）因?yàn)榻坪蟮妮斎牒瘮?shù)頻譜與該傳遞函數(shù)相乘后，保持不變，得到輸出函數(shù)頻譜表達(dá)式為：其反變換，即輸出函數(shù)為：該函數(shù)為限制在區(qū)間內(nèi)，平均值為1，周期為3。 對(duì)一個(gè)空間不變線性系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)為 試用頻域方法對(duì)下面每一個(gè)輸入，求其輸出。并畫出輸出函數(shù)及其頻譜的圖形。若b?。?）（2），求系統(tǒng)的輸出。因?yàn)檫@時(shí)。兩者相乘時(shí)忽略中心五個(gè)分量以外的其他分量，%。答： 也就是說(shuō)，在X方向允許的最大抽樣間隔小于1/2a，在y方向抽樣間隔無(wú)限制。如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，證明：線響應(yīng)的一維傅里葉變換等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)沿軸的截面分布。 圖 既然，成像的頻譜相同，從空間域來(lái)看，所成的像場(chǎng)分布也是相同的，即 因此，只要求出的逆傅立葉變換式，就可得到所需的等效物場(chǎng)，即 帶入（1）式，并利用卷積定理得到 （2）上式也可以從抽樣定理來(lái)解釋。答： ， ， 波長(zhǎng)為的單位振幅平面波垂直入射到一孔徑平面上，在孔徑平面上有一個(gè)足夠大的模板，其振幅透過(guò)率為，求緊靠孔徑透射場(chǎng)的角譜。答： 圖214所示的孔徑由兩個(gè)相同的矩形組成，它們的寬度為，長(zhǎng)度為，中心相距為。雙縫的振幅透射率也可以寫成下述形式： （4）它和（1）式本質(zhì)上是相同的。畫出在方向上的振幅分布曲線。證明：（1）在孔徑上的場(chǎng)沒有相位變化時(shí)，衍射孔徑上的光分布是一個(gè)實(shí)函數(shù)，其傅里葉變換是厄米型函數(shù)，即： 因此，所以夫瑯和費(fèi)衍射圖樣有一個(gè)對(duì)稱中心。證明：假設(shè)置于原點(diǎn)的一個(gè)孔徑表示為，個(gè)處于代表孔位置的點(diǎn)上的點(diǎn)光源表示為，則衍射屏的透過(guò)率可表示為 ，其傅里葉變換可表示為 ，該式右邊第一項(xiàng)對(duì)應(yīng)于置于原點(diǎn)的一個(gè)孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射，第二項(xiàng)對(duì)應(yīng)于個(gè)處于代表孔位置的點(diǎn)上的點(diǎn)光源在觀察面上的干涉，因此該衍射屏生成的夫瑯和費(fèi)衍射場(chǎng)是這兩個(gè)因子的乘積。因此在成像性質(zhì)和傅立葉變換性質(zhì)上該衍射屏都有些類似與透鏡，因子表明該屏具有半徑為的圓形孔徑。除此以外，對(duì)于多色物體來(lái)說(shuō)，嚴(yán)重的色差也是一個(gè)重要的限制。 用波長(zhǎng)為的平面光波垂直照明半徑為的衍射孔，若觀察范圍是與衍射孔共軸，半徑為的圓域，試求菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射的范圍。當(dāng)分別取下列各數(shù)值：（1）；（2）；（3）（式中稱作泰伯距離）時(shí)，確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布。其折射率為，齒寬為，齒形角為，光柵整體孔徑為邊長(zhǎng)的正方形。第三章 習(xí)題解答 ，在推導(dǎo)相干成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（）式時(shí)，對(duì)于積分號(hào)前的相位因子 試問(wèn)（1） 物平面上半徑多大時(shí)，相位因子相對(duì)于它在原點(diǎn)之值正好改變?chǔ)谢《?？?） 設(shè)光瞳函數(shù)是一個(gè)半徑為a的圓，那么在物平面上相應(yīng)h的第一個(gè)零點(diǎn)的半徑是多少？（3） 由這些結(jié)果，設(shè)觀察是在透鏡光軸附近進(jìn)行，那么a，λ和do之間存在什么關(guān)系時(shí)可以棄去相位因子解：（1）由于原點(diǎn)的相位為零，于是與原點(diǎn)位相位差為的條件是，（2）根據(jù)（）式，相干成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是透鏡光瞳函數(shù)的夫