【正文】 收屏接收，在任何一個像面上都會有其它的離焦像形成的背景干擾。除此以外，對于多色物體來說，嚴(yán)重的色差也是一個重要的限制。因?yàn)榻咕喽寂c波長成反比。例如取，則有 這樣大的色差是無法用作成像裝置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到嚴(yán)重的色散現(xiàn)象。 這種衍射屏實(shí)際就是同軸形式的點(diǎn)源全息圖，即伽柏全息圖。 用波長為的平面光波垂直照明半徑為的衍射孔，若觀察范圍是與衍射孔共軸，半徑為的圓域，試求菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射的范圍。答：由式()及式(257)有菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射分別要求 即 單位振幅的單色平面波垂直入射到一半徑為的圓形孔徑上，試求菲涅耳衍射圖樣在軸上的強(qiáng)度分布。答：圓形孔徑的透過率可表示為根據(jù)式()有 軸上的振幅分布為 軸上的強(qiáng)度分布為 余弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過率為 式中，為光柵周期。觀察平面與光柵相距。當(dāng)分別取下列各數(shù)值：（1）；（2）；（3）（式中稱作泰伯距離）時，確定單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布。答：根據(jù)式()單色平面波垂直照明下余弦型振幅光柵的復(fù)振幅分布為 強(qiáng)度分布為 角譜為 傳播距離后，根據(jù)式()得到角譜 利用二項(xiàng)式近似有 故（1）時與僅相差一個常數(shù)位相因子，因而觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布與單色平面波垂直照明下剛剛透過余弦型振幅光柵產(chǎn)生的強(qiáng)度分布完全相同。（2）時對應(yīng)復(fù)振幅分布為 因而觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布為平移半個周期的單色平面波垂直照明下剛剛透過余弦型振幅光柵產(chǎn)生的強(qiáng)度分布。（3）對應(yīng)復(fù)振幅分布為 強(qiáng)度分布為 。其折射率為，齒寬為，齒形角為，光柵整體孔徑為邊長的正方形。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求距離光柵為的觀察平面上夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布。若讓衍射圖樣中的某個一級譜幅值最大，應(yīng)如何選擇？（ ） 答：在如圖的透射式鋸齒型位相光柵中，單位振幅的單色平面波由光柵的背后平面入射垂直照明，則在齒頂平面形成的光波復(fù)振幅分布可表示為 其角譜為 若讓衍射圖樣中的m級譜幅值最大，應(yīng)選擇使得 因而有 設(shè)為矩形函數(shù)，試編寫程序求，時，其分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，并繪制出相應(yīng)的曲線。答：根據(jù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換定義式() 以及式 ()即可編程計算，時的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（此處略）。第三章 習(xí)題解答 ，在推導(dǎo)相干成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（）式時，對于積分號前的相位因子 試問（1） 物平面上半徑多大時，相位因子相對于它在原點(diǎn)之值正好改變π弧度？（2） 設(shè)光瞳函數(shù)是一個半徑為a的圓，那么在物平面上相應(yīng)h的第一個零點(diǎn)的半徑是多少？（3） 由這些結(jié)果，設(shè)觀察是在透鏡光軸附近進(jìn)行，那么a，λ和do之間存在什么關(guān)系時可以棄去相位因子解：（1）由于原點(diǎn)的相位為零，于是與原點(diǎn)位相位差為的條件是，（2）根據(jù)（）式，相干成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是透鏡光瞳函數(shù)的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，其中心位于理想像點(diǎn) 式中，而 （1）在點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的第一個零點(diǎn)處，此時應(yīng)有，即 （2）將（2）式代入（1）式，并注意觀察點(diǎn)在原點(diǎn)，于是得 （3）（3）根據(jù)線性系統(tǒng)理論，像面上原點(diǎn)處的場分布，必須是物面上所有點(diǎn)在像面上的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)對于原點(diǎn)的貢獻(xiàn)。按照上面的分析，如果略去h第一個零點(diǎn)以外的影響，即只考慮h的中央亮斑對原點(diǎn)的貢獻(xiàn)，那么這個貢獻(xiàn)僅僅來自于物平面原點(diǎn)附近范圍內(nèi)的小區(qū)域。當(dāng)這個小區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的相位因子變化不大，就可認(rèn)為（）式的近似成立，而將它棄去，假設(shè)小區(qū)域內(nèi)相位變化不大于幾分之一弧度（例如）就滿足以上要求，則，也即 （4）例如，則光瞳半徑，顯然這一條件是極易滿足的。 一個余弦型振幅光柵，復(fù)振幅透過率為，用單色平面波傾斜照明，平面波的傳播方向在x0z平面內(nèi)，與z軸夾角為θ。透鏡焦距為f，孔徑為D。（1） 求物體透射光場的頻譜；（2） 使像平面出現(xiàn)條紋的最大θ角等于多少？求此時像面強(qiáng)度分布； (3) 若θ采用上述極大值，使像面上出現(xiàn)條紋的最大光柵頻率是多少？與θ=0時的截止頻率比較，結(jié)論如何？解：（1）斜入射的單色平面波在物平面上產(chǎn)生的場為，為確定起見設(shè)，則物平面上的透射光場為 其頻譜為 由此可見，相對于垂直入射照明，物頻譜沿軸整體平移了距離。（2）欲使像面有強(qiáng)度變化，至少要有兩個頻譜分量通過系統(tǒng)，系統(tǒng)的截止頻率，于是要求 ，由此得 （1）角的最大值為 （2）此時像面上的復(fù)振幅分布和強(qiáng)度分布為（3）照明光束的傾角取最大值時，由（1）式和（2）式可得 即 或 （3）時，系統(tǒng)的截止頻率為，因此光柵的最大頻率 （4）比較（3）和（4）式可知，當(dāng)采用傾角的平面波照明時系統(tǒng)的截止頻率提高了一倍，也就提高了系統(tǒng)的極限分辨率，但系統(tǒng)的通帶寬度不變。= fy =0處都等于1，這是為什么？光學(xué)傳遞函數(shù)的值可能大于1嗎？如果光學(xué)系統(tǒng)真的實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)物成點(diǎn)像，這時的光學(xué)傳遞函數(shù)怎樣？（1）在（）式中，令 為歸一化強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，因此（）式可寫成 而 即不考慮系統(tǒng)光能損失時，認(rèn)定物面上單位強(qiáng)度點(diǎn)源的總光通量將全部彌漫在像面上，這便是歸一化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的意義（2）不能大于1（3）對于理想成像，歸一化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是函數(shù)，其頻譜為常數(shù)1，即系統(tǒng)對任何頻率的傳遞都是無損的。（xi，yi）成點(diǎn)對稱時，則其光學(xué)傳遞函數(shù)是實(shí)函數(shù)。解：由于是實(shí)函數(shù)并且是中心對稱的，即有，應(yīng)用光學(xué)傳遞函數(shù)的定義式（）易于證明，即為實(shí)函數(shù)。 非相干成像系統(tǒng)的出瞳是由大量隨機(jī)分布的小圓孔組成。小圓孔的直徑都為2a，出瞳到像面的距離為di，光波長為λ，這種系統(tǒng)可用來實(shí)現(xiàn)非相干低通濾波。系統(tǒng)的截止頻率近似為多大？解：用公式（）來分析。首先，由于出瞳上的小圓孔是隨機(jī)排列的，因此無論沿哪個方向移動出瞳計算重疊面積，其結(jié)果都一樣，即系統(tǒng)的截止頻率在任何方向上均相同。其次，作為近似估計，只考慮每個小孔自身的重疊情況，而不計及和其它小孔的重疊，這時N個小孔的重疊面積除以N個小孔的總面積，其結(jié)果與單個小孔的重疊情況是一樣的，即截止頻率約為，由于很小，所以系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了低通濾波。 試用場的觀點(diǎn)證明在物的共軛面上得到物體的像解：如圖圖 設(shè)是透過率函數(shù)為的物平面，是與共軛的像平面，即有式中f 為透鏡的焦距，設(shè)透鏡無像差，成像過程分兩步進(jìn)行：（1） 射到物面上的平面波在物體上發(fā)生衍射，結(jié)果形成入射到透鏡上的光場；（2） 這個入射到透鏡上的光場經(jīng)透鏡作位相變換后，在透鏡的后表面上形成衍射場，這個場傳到像面上形成物體的像。為了計算光場，我們用菲涅耳近似，透鏡前表面的場為這里假定只在物體孔徑之內(nèi)不為零，所以積分限變?yōu)椋朔e分可以看成是函數(shù)的傅立葉變換，記為，其中在緊靠透鏡后表面處這個被透鏡孔徑所限制的場，在孔徑上發(fā)生衍射，在用菲涅耳近似，便可得到像面上的光場 由題設(shè)知， 并且假定透鏡孔徑外的場等于零，且忽略透鏡孔徑的限制，所以將上式中的積分限寫成無窮，于是上述積分為注意 于是得再考慮到和之間的關(guān)系得到即得到像平面上倒立的，放大倍的像。 試寫出平移模糊系統(tǒng)，大氣擾動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：在照相系統(tǒng)的曝光期間，因線性平移使點(diǎn)變成小線段而造成圖像模糊，這種系統(tǒng)稱為平移模糊系統(tǒng)，它的線擴(kuò)散函數(shù)為一矩形函數(shù) 其傳遞函數(shù)為 對于大氣擾動系統(tǒng)，設(shè)目標(biāo)物為一細(xì)線，若沒有大氣擾動，則理想成像為一條細(xì)線。由于大氣擾動，使在爆光期間內(nèi)細(xì)線的像作隨機(jī)晃動，按照概率理論，可以把晃動的線像用高斯函數(shù)描述。設(shè)晃動擺幅的均方根值為a，細(xì)線的線擴(kuò)散函數(shù)為對上式作傅立葉變換，就得到大氣擾動系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 有一光楔（即薄楔形棱鏡），其折射率為n，頂角α很小，當(dāng)一束傍軸平行光入射其上時，出射光仍為平行光，只是光束方向向底邊偏轉(zhuǎn)了一角度（n1）α，試根據(jù)這一事實(shí)，導(dǎo)出光束的位相變換函數(shù)t。(x,y)θδ=(n1)α解：如圖所示，設(shè)入射平行光與Z軸成θ角入射，按傍軸條件，θ角很小，入射到光楔上的光場為通過光楔后的出射光場為其中 –(n1)α表示偏轉(zhuǎn)是順時針方向，即向底邊偏轉(zhuǎn)，又根據(jù)出射光場，入射光場和光楔變換函數(shù)三者的關(guān)系 有 于是有 。第五章 習(xí)題解答5．1兩束夾角為 q = 450的平面波在記錄平面上產(chǎn)生干涉，求對稱情況下（兩平面波的入射角相等）該平面上記錄的全息光柵的空間頻率。答：已知：q = 450，λ= ，根據(jù)平面波相干原理，干涉條紋的空間分布滿足關(guān)系式 2 d sin（q/2）= λ 其中d 是干涉條紋間隔。由于兩平面波相對于全息干板是對稱入射的，故記錄 在干板上的全息光柵空間頻率為 fx = （1/d）= （1/λ）2 sin（q/2）= l/mm l/mm。5．2 ，點(diǎn)光源A（0，40，150）和