姜啟源編《數(shù)學模型》第四版第三章簡單的優(yōu)化模型-全文預覽
【正文】 的單位成本 c下產(chǎn)值不低于 v的最小費用 . 對偶極值問題 只要解決其中之一 , 另一個就迎刃而解 ? 成本函數(shù)是簡單的線性函數(shù) c(x). ? 產(chǎn)值函數(shù) f(x) 在實際生產(chǎn)過程中常常難以確定 . ——從成本函數(shù)確定產(chǎn)值函數(shù)的圖解法 產(chǎn)值最大與費用最小對偶關系的應用 Q f (x) ≥v l A B O x1 x2 ? 給定 v和 c求得最小費用 s(v,c)=s })(m i n {),( vxfcxcvs ??? 畫出直線 AB: cx=s x=(x1, x2)T, c =(c1, c2) ? f (x)≥v的點在 AB上方 , 且 AB上有一點 Q位于 l: f (x)=v上 ? 改變 c重復上述過程 , 得到一系列不同斜率的直線 ? 區(qū)域 f (x)≥v在直線上方 , 其邊界是等產(chǎn)值線 l: f (x)=v 包絡線 ? 改變 v重復上述過程 , 得到一系列等產(chǎn)值線 血 管 分 支 背景 機體提供能量維持血液在血管中的流動 . 給血管壁以營養(yǎng) . 克服血液流動的阻力 . 消耗能量與取決于血管的幾何形狀 . 在長期進化中動物血管的幾何形狀已經(jīng)達到能量最小原則 . 研究在能量最小原則下，血管分支處粗細血管半徑比例和分岔角度 . 問題 模型假設 一條粗血管和兩條細血管在分支點對稱地處于同一平面 . 血液流動近似于黏性流體在剛性管道中的運動 . 血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚度 d近似與血管半徑 r成正比 . q q1 q1 A B B180。 C H L l l1 r r1 ? ? 4218rlqpqE?????克服阻力消耗能量 21,2 ??? ?? lbrE提供營養(yǎng)消耗能量 1141214221 2)/()/( lbrrkqlbrrkqEEE ?? ??????1ta n , si nl L H/ θ l H/ θ? ? ?241241 1 1( , , ) ( / ) ( ta n )2 s inE r r k q r b r L H / θ( k q /r b r ) H / θ??? ? ? ???機體為血流提供能量 模型求解 q q1 q1 A B B180。 黏性流體在剛性管道中運動 48rpql????? p~A,C壓力差，? ~黏性系數(shù) 克服阻力消耗能量 E1 21 48 qlE q pr?? ? ??提供營養(yǎng)消耗能量 E2 21,2 ??? ?? lbrE管壁內(nèi)表面積 2?rl 管壁體積 ?(d2+2rd)l,管壁厚度 d與 r成正比 模型假設 q q1 q1 A B B180。 x1* , x239。 x239。 . 允許缺貨的存貯模型 rTQrTcrTQcTc2)(223221 ????212rccT ?212crcrTQ ??不允許缺貨 模型 ?? TT ???? ,332ccc ???記 1?? TT ???? ,13 ???? ?c TT ???? ,33221239。, Q記作 Q180。 x139。 的效用函數(shù)值大于 Q ),( 21 xxQ ???x139。(x) ~ 邊際成本 —— x變化一個單位時成本的改變量 最大利潤在邊際產(chǎn)值等于邊際成本時達到 . 假定產(chǎn)品可以全部銷售出去變成收入 f(x) ~ 產(chǎn)值 (收入 ), c(x) ~ 成本 )()()( xcxfxr ??利潤 達到最大利潤的 產(chǎn) 量 x* )()( ** xcxf ???0)( * ?? xr在產(chǎn)品可以全部銷售出去的條件下確定商品價格，使利潤最大 . ? 產(chǎn)量 x等于銷量，數(shù)量無限制 . ? 收入與 x 成正比，系數(shù) p 即價格 . ? 成本 與 x 成正比，系數(shù) c 即 邊際成本 . ? 銷量 x 依于價格 p, x(p)是減函數(shù) . 簡化假設 0,)( ??? babpapx求 p使 r(p) 最大 最優(yōu)定價模型 利潤 ))(()( bpacpcxpxpr ?????c / 2 ~ 成本的一半 b ~彈性系數(shù) ——價格上升 1單位時銷量的下降幅度（需求對價格的敏感度） a ~ 絕對需求 ( p很小時的需求 ) b ? ? p*? a? ? p* ? a, b可 由 p和 x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)作擬合得到 ~ 利潤達到最大的定價 利潤 ))(()( bpacppr ???最優(yōu)定價模型 d 0drp ?bpapx ??)(bacp22* ??ddxbp??投資費用一定下的產(chǎn)值最大模型 x1, x2 ~甲乙產(chǎn)品的產(chǎn)量 c1, c2 ~甲乙產(chǎn)品的單位成本 s~總投資費用 f (x1, x2) ~產(chǎn)值函數(shù) sxcxc ?? 2211在條件 下求 x1, x2使產(chǎn)值 f (x1, x2) 最大 . Q A B s/c2 s/c1 C H L l l1 r r1 ? ? q=2q1 r/r1, ? ? 考察血管 AC與 CB, CB180。 C H L l l1 r r1 ? ? 0,01?????? rErE4114 ?? ?rr0????E 442c o s ??? ???21 ?? ? ?? 4937,???? ?rr241241 1 1( , , ) ( / ) ( / ta n )( / ) 2 / s inE r r k q r b r L Hk q r b r H?????? ? ???0/40/4512115211??????rkqrbrkqrb????412c o s??????????rr?模型解釋 生物學家：結(jié)果與觀察大致吻合 大動脈半徑 rmax, 毛細血管半徑 rmin 大動脈到毛細血管有 n次分岔 4114 ?? ?rr4m inm a x 4 ?? ?nrr5m i nm a x 41 0 0 0/ ??rr21 ?? ??? 4937?????rr觀察：狗的血管 )4(5 ?? ?n 30~25?n血管總條數(shù) 973025 10~1032~22 ???n推論 n=？ 冰山運輸 背景 ? 波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本為每立方米 . ? 專家
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