【正文】 意，找出所求問題需要的條件． 26．閱讀材料： 如果一個矩形的寬與長的比值恰好為黃金比，人們就稱它為 “黃金矩形 ”（ Golden Rectangle）．在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它，希臘雅典的巴特農(nóng)神廟、法國巴黎圣母院就是很好的例子． 小明想畫出一個黃金矩形，經(jīng)過思考，他決定先畫一個邊長為 2 的正方形 ABCD，如圖 1，取 CD 邊的中點 E，連接 BE，在 BE 上截取 EF=EC，在 BC 上截取 BG=BF；然后，小明作了兩條互相垂直的射線，如圖 2， OF⊥ OG 于點 O．小明利用圖 1中的線段，在圖 2 中作出一個黃金矩形 OMPN，且點 M 在射線 OF 上，點 N 在射線 OG 上． 請你幫助小明在圖 1 中完成作圖，要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡． （ 1）求 CG 的長； （ 2）圖 1 中哪兩條線段的 比是黃金比？請你指出其中一組線段； （ 3）請你利用（ 2）中的結(jié)論，在圖 2 中作出一個黃金矩形 OMPN，且點 M 在射線 OF 上，點 N 在射線 OG 上．要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡． 【考點】 四邊形綜合題． 【分析】 利用題目提示直接畫出圖形， （ 1）先利用勾股定理求出 BE，再用作圖即可求出 CG， （ 2）求出 CG： BG，即可得出結(jié)論，判斷出結(jié)論； （ 3）借助小明的作出的線段，再借助線段的長度，即可作出圖形． 【解答】 解：補全小明的圖形如圖 1 所示， （ 1） ∵ 正方形的邊長為 2， ∴ BC=CD=2， ∵ 點 E 是 CD 中點， ∴ CE= CD=1， 在 Rt△ BCE 中， BE= = ， 由作圖知， EF=CE﹣ 1， ∴ BF=BE﹣ EF= ﹣ 1， 由作圖知， BG=BF= ﹣ 1， ∴ CG=BC﹣ BG=3﹣ ， （ 2）由（ 1）知， BG= ﹣ 1， CG=3﹣ ， ∴ = ， ∴ CG， BG 的比是黃金比； （ 3）如圖 2 所示， 【點評】 此題是四邊形綜合題，主要考查了基本作圖，勾股定理，線段的比，解本題的關(guān)鍵是掌握幾種基本作圖，是一道比較簡單的綜合題． 27．在平面直角坐標系 xOy 中，直線 y=﹣ x+2 與 y 軸交于點 A，點 A 關(guān)于 x 軸的對稱點為 B，過點 B 作 y 軸的垂線 l，直線 l 與直線 y=﹣ x+2 交于點 C；拋物線 y=nx2﹣ 2nx+n+2（其中 n＜ 0）的頂點坐標為 D． （ 1）求點 C， D 的坐標； （ 2）若點 E（ 2，﹣ 2）在拋物線 y=nx2﹣ 2nx+n+2（其中 n＜ 0）上，求 n 的值； （ 3）若拋物線 y=nx2﹣ 2nx+n+2（其中 n＜ 0）與線段 BC 有唯一公共點，求 n 的取值范圍． 【考點】 二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）根據(jù)題意分別求出點 A、 B、 C 的坐標，再講二次函數(shù)配方可得頂點 D 的坐標； （ 2）將點 E 坐標代入，解方程即可得； （ 3）根據(jù) 題意知當(dāng) x=0 時 y＞ ﹣ 2，當(dāng) x=4 時 y≤ ﹣ 2，列不等式組求解可得． 【解答】 解：（ 1） y=﹣ x+2 中當(dāng) x=0 時， y=2， ∴ 點 A（ 0， 2）， ∵ 點 A 關(guān)于 x 軸的對稱點為 B， ∴ 點 B（ 0，﹣ 2）， ∵ 點 B 垂直于 y 軸的直線 l 與直線 y=﹣ x+2 交于點 C， ∴ 當(dāng) y=﹣ 2 時，﹣ x+2=﹣ 2， 解得： x=4， 即點 C（ 4，﹣ 2）； ∵ y=nx2﹣ 2nx+n+2=n（ x﹣ 1） 2+2， ∴ 頂點 D 的坐標為（ 1， 2）； （ 2）將點 E（ 2，﹣ 2）代入 y=nx2﹣ 2nx+n+2，得：﹣ 2=4n﹣ 4n+n+2， 解得： n=﹣ 4； （ 3）根據(jù)題意知當(dāng) x=0 時 y＞ ﹣ 2，當(dāng) x=4 時 y≤ ﹣ 2， 即 ， 解得：﹣ 4＜ n≤ ﹣ ． 【點評】 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意得出關(guān)于 n 的不等式組是解題的關(guān)鍵． 28．在 △ ABC 中， ∠ B=45176。． ∴ CF=EF=10 米， 在 Rt△ CFG 中， CG=CF?cosβ=5 （米）， ∴ CD=CG+GD=5 +≈ （ 米）． 答：這座樓的高度約為 米． 【點評】 本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．注意能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵． 21．為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸要在院墻外的一塊空地上修建一個矩形花圃．如圖所示，矩形花圃的一邊利用長 10 米的院墻，另外三條邊用籬笆圍成，籬笆的總長為 32 米．設(shè) AB 的長為 x 米，矩形花圃的面積為 y 平方米． （ 1）用含有 x 的代數(shù)式表示 BC 的長， BC= 32﹣ 2x ； （ 2）求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量 x 的取值范圍； （ 3）當(dāng) x 為何值時， y 有最大值？ 【考點】 二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）根據(jù)題意可以用含 x 的代數(shù)式表示出 BC 的長； （ 2）根據(jù)題意可以得到 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量 x 的取值范圍； （ 3）將（ 2）中函數(shù)關(guān)系式化為頂點式，然后根據(jù) x 的取值范圍即可解答本題． 【解答】 解：（ 1）由題意可得， BC=32﹣ 2x， 故答案為： 32﹣ 2x； （ 2）由題意可得， y=x（ 32﹣ 2x） =﹣ 2x2+32x， ∵ ， ∴ 11≤ x＜ 16， 即 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式是 y=﹣ 2x2+32x（ 11≤ x＜ 16）； （ 3） ∵ y=﹣ 2x2+32x=﹣ 2（ x﹣ 8） 2+128， 11≤ x＜ 16， ∴ x=11 時， y 取得最大值，此時 y=110， 即當(dāng) x=11 時， y 取得最大值． 【點評】 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件． 22．如圖， △ ABC 中， AD 是 △ ABC 的中線，點 E 是 AD 的中點，連接 BE 并延長，交 AC 于點 F． （ 1）根據(jù)題意補全圖形； （ 2）如果 AF=1，求 CF 的長． 【考點】 作圖 —復(fù)雜作圖． 【分析】 （ 1）根據(jù)線段垂直平分線的作法畫出圖形即可； （ 2）過點 D 作 DG∥ BF，交 AC 于點 G，根據(jù)三角形中位線定理即可得出結(jié)論． 【解答】 解：（ 1）如圖； （ 2）過點 D 作 DG∥ BF，交 AC 于點 G． ∴ ． ∵ AD 是 △ ABC 的中線， ∴ CD=DB． ∴ CG=GF． 同理 AF=GF． ∵ AF=1， ∴ CG=GF=1． ∴ CF=2． 【點評】 本題考查的是作圖﹣復(fù)雜作圖，熟知線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵． 23．某班 “數(shù)學(xué)興趣小組 ”對函數(shù) y=x2﹣ 2|x|的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請補充完整． （ 1）自變量 x 的取值范圍是全體實數(shù)， x 與 y 的幾組對應(yīng)值列表如下： x … ﹣ 3 ﹣ ﹣ 2 ﹣ 1 0 1 2 3 … y … 3 m ﹣ 1 0 ﹣ 1 0 3 … 其中， m= 0 ． （ 2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分． （ 3）觀察函數(shù)圖象 ，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì)． （ 4）進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)： ① 函數(shù)圖象與 x 軸有 3 個交點，所以對應(yīng)的方程 x2﹣ 2|x|=0 有 3 個實數(shù)根； ② 方程 x2﹣ 2|x|=2 有 2 個實數(shù)根； ③ 關(guān)于 x 的方程 x2﹣ 2|x|=a 有 4 個實數(shù)根時， a 的取值范圍是 ﹣ 1＜ a＜ 0 ． 【考點】 二次函數(shù)的圖象；根的判別式． 【分析】 （ 1）把 x=﹣ 2 代入函數(shù)解釋式即可得 m 的值； （ 2）描點、連線即可得到函數(shù)的圖象； （ 3）根據(jù)函數(shù)圖象得到函數(shù) y=x2﹣ 2|x|的圖象關(guān)于 y 軸對稱；當(dāng) x＞ 1 時， y 隨x 的增大而增大； （ 4） ① 根據(jù)函數(shù)圖象與 x 軸的交點個數(shù)，即可得到結(jié)論； ② 如圖，根據(jù) y=x2﹣2|x|的圖象與直線 y=2 的交點個數(shù)，即可得到結(jié)論； ③ 根據(jù)函數(shù)的圖象即可得到a 的取值范圍是﹣ 1＜ a＜ 0． 【解答】 解：（ 1）把 x=﹣ 2 代入 y=x2﹣ 2|x|得 y=0， 即 m=0， 故答案為： 0； （ 2）如圖所示； （ 3）由函數(shù)圖象知： ① 函數(shù) y=x2﹣ 2|x|的圖象關(guān)于 y 軸對稱； ② 當(dāng) x＞ 1 時， y隨 x 的增大而增大； （ 4） ① 由函數(shù)圖象知：函數(shù)圖象與 x 軸有 3 個交點，所以對應(yīng)的方程 x2﹣ 2|x|=0有 3 個實數(shù)根； ② 如圖， ∵ y=x2﹣ 2|x|的圖象 與直線 y=2 有兩個交點， ∴ x2﹣ 2|x|=2 有 2 個實數(shù)根； ③ 由函數(shù)圖象知： ∵ 關(guān)于 x 的方程 x2﹣ 2|x|=a 有 4 個實數(shù)根， ∴ a 的取值范圍是﹣ 1＜ a＜ 0， 故答案為： 3， 3， 2，﹣ 1＜ a＜ 0． 【點評】 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確的識別圖象是解題的關(guān)鍵． 24．如圖， △ ABC 內(nèi)接于 ⊙ O， AB 為直徑，點 D 在 ⊙ O 上，過點 D 作 ⊙ O 切線與AC 的延長線交于點 E， ED∥ BC，連接 AD 交 BC 于點 F． （ 1）求證： ∠ BAD=∠ DAE； （ 2）若 AB=6， AD=5，求 DF 的長． 【考點】 切線的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）連接 OD，由 ED 為 ⊙ O 的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到 OD⊥ ED，由 AB 為 ⊙ O 的直徑，得到 ∠ ACB=90176?？汕蟮?∠ ECF=α=30176。 ∴△ ABC∽△ CDE． ∴ = ． ∵ AB=3， DE=2， BC=6， ∴ CD=1． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了余角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，比例的性質(zhì)． 19．求二次函數(shù) y=x2﹣ 4x+3 的頂點坐標，并在所給坐標系中畫出它的圖象． 【考點】 二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象． 【分析】 把拋物線解析式化為頂點式，可求得其頂點坐標，再利用描點法可畫出其函數(shù)圖象． 【解答】 解： ∵ y=x2﹣ 4x+3=（ x﹣ 2） 2﹣ 1， ∴ 頂點坐標 為（ 2，﹣ 1）， 其圖象如圖所示 【點評】 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在 y=a（ x﹣ h） 2+k 中，對稱軸為 x=h，頂點坐標為（ h， k）． 20．小明想要測量公園內(nèi)一座樓 CD的高度．他先在 A處測得樓頂 C的仰角 α=30176。且 AC⊥ CE 于點 C，若 AB=3，DE=2， BC=6，求 CD 的長． 【考點】 相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得 ∠ A+∠ ACB， ∠ ACB+∠ ECD，再根據(jù)余角的性質(zhì)，可得 ∠ A=∠ ECD 根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得 = ，根據(jù)比例的性質(zhì)，可得答案． 【解答】 解： ∵ 在 △ ABC 中， ∠ B=90176。﹣ sin60176。﹣ ∠ OAB=60176。 CD⊥ AB， ∴ AC2=AD?AB， 又 ∵ AC=3， AB=6， ∴ 32=6AD，則 AD= ． 故選： A． 【點評】 本題考查了射影定理．每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項． 10．如圖， △ ABC 中， ∠ A=78176。 D． 60176。 ∴∠ A= ∠ BOC=50176。 C． 40176。得到線段 AE． ① 如圖 2，當(dāng)點 E 在 AC 邊上時，求證： CE=2BD； ② 如圖 3，當(dāng)點 E 在 AC 的垂直平分線上時，直接寫出 的值． 29．（ 8 分）在平面直角坐標系 xOy 中，點 P 的坐標為（ x1， y1），點 Q 的坐標為（ x2， y2），若 a=|x1﹣ x2|， b=|y1﹣ y2|，則記作（ P， Q） →{a， b }． （ 1）已知（ P， Q） →{a， b }，且點 P（ 1， 1），點 Q（ 4， 3），求 a， b 的值； （ 2）點 P（ 0，﹣ 1）， a=2， b=1，且（ P， Q） →{a， b }，求符合條件的點 Q 的坐標； （ 3） ⊙ O 的半徑為 ，點 P 在 ⊙ O 上，點 Q（ m， n）在直線 y=﹣ x+ 上，若（ P， Q） →{a， b }，且 a=2k， b=k （ k＞ 0），求 m 的取值范圍． 參考答案與試題解析 一、選擇題：（共 10 個小題，每小題 3 分，共 30 分） 1．如果 4x=5y（ y≠ 0），那么下列比例式成立的是（ ） A． = B． = C． = D． = 【考點】 比例的