物理競(jìng)賽專(zhuān)題五：極限法-全文預(yù)覽
【正文】 ① 進(jìn)入軌道后衛(wèi)星的機(jī)械能為 rMmGmvE ?? 22 21 軌 ② 由 E1=E2，并代入 ,rGMv ?軌解得發(fā)射速度為 )2( 00 rRRGMv ??發(fā) ③ 又因?yàn)樵诘孛嫔先f(wàn)有引力等于重力，即： gRRGMmgRMmG 0020 ?? 所以④ 把④式代入③式即得： )2( 00 rRgRv ??發(fā) （ 1）如果 r=R0，即當(dāng)衛(wèi)星貼近地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，所需發(fā)射速度最小 為 smgRv / 30m in ??? . （ 2）如果 ??r ，所需發(fā)射速度最大（稱(chēng)為第二宇宙速度或脫離速度）為 smgRv / 30m a x ??? 例 7：如圖 5— 6 所示，半徑為 R 的勻質(zhì)半球體，其重心在球心 O 點(diǎn)正下方 C 點(diǎn)處， OC=3R/8， 半球重為 G，半球放在 水平面上， 在半球的平面上放一重為 G/8 的物體，它與半 5 球平在間的動(dòng)摩擦因數(shù) ?? ， 求無(wú)滑動(dòng)時(shí)物體離球心 圖 5— 6 O 點(diǎn)最大距離是多少？ 解析：物體離 O 點(diǎn)放得越遠(yuǎn)，根據(jù)力矩的平衡，半球體轉(zhuǎn)過(guò)的角度 ? 越大，但物體在球體斜面上保持相對(duì)靜止時(shí)， ? 有限度。 v? 是人與鐵板一起開(kāi)始地運(yùn)動(dòng)的速度，因此人應(yīng)以不會(huì)引起鐵板運(yùn)動(dòng)的最大加速度奔跑。 圖 5— 3 圖 5— 4 3 根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，水流的運(yùn)動(dòng)方程為??????????20021s inc o sgttvytvx?? 把 A 點(diǎn)坐標(biāo)（ d、 h）代入以上兩式，消去 t，得： hhdhhddhdgdhdgddhgdv???????????????]2c o s2s i n[/)]12( c o s2s i n/[)t a n(c o s2/222222222220?????? 令 ,s i n/,c os/,t a n/ 2222 ??? ????? hdhhdddh 則 上式可變?yōu)? , r c t a n45a r c t a n2145245902,1)2s i n (,)2s i n (/022220最小時(shí)亦即發(fā)射角即當(dāng)顯然vdhhhdgdv???????????????????????????? 且最小初速 0v = ./)( 22 smsmhhdg ???? 例 5：如圖 5— 5 所示，一質(zhì)量為 m 的人，從長(zhǎng)為 l、質(zhì)量為 M 的鐵板的一端勻加速跑向另一端，并在另一端驟然停止。 這道題若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐標(biāo)軸，求解則更加簡(jiǎn)便。 由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可知，質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道下滑的加速度為 ?cosga? 該質(zhì)點(diǎn)沿軌道由靜止滑到斜面所用的時(shí) 間為 t，則 OPat ?221 所以?cos2g OPt ? ① 由圖可知，在△ OPC 中有 圖 5— 2 2 )90s in()90s in( ??? ???? ?? OCOP 所以)cos ( cos?? ??? OCOP ② 將②式代入①式得 gOCg OCt )]2c os ([c os c os4)c os (c os c os2 ??? ???? ? ????? 顯然，當(dāng) 2,1)2c os ( ???? ??? 即時(shí)，上式有最小值 . 所以當(dāng) 2??? 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿直軌道滑到斜面所用的時(shí)間最短。 解析：球跟彈簧接觸后，先做變加速運(yùn)動(dòng)，后做變減速運(yùn)動(dòng)，據(jù)此推理， 小球所受合力為零的位置速度、動(dòng)能最大。 1 高中奧林匹克物理競(jìng)賽解題方法 五、極限法 方法簡(jiǎn)介 極限法是把某個(gè)物理量推向極端，即極大和極小或極左和極右，并依此做出科學(xué)的推理分析，從而給出判斷或?qū)С鲆话憬Y(jié)論。 賽題精講 例 1：如圖 5— 1 所示， 一個(gè)質(zhì)量為 m 的小球位于一質(zhì)量可忽略的直立 彈簧上方 h 高度處，該小球從靜止開(kāi)始落向彈簧，設(shè)彈簧的 勁度 系數(shù)為 k，則物塊可能獲得的最大動(dòng)能為 。 解析：質(zhì)點(diǎn)沿 OP 做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 t 應(yīng)該與 ? 角有關(guān)， 求時(shí)間 t 對(duì)于 ? 角的函數(shù)的極值即可。 以水平向右為 x 軸正方向，豎直向下為 y 軸正方向， 則由： gtvv y ?? ?tan0 ，解得運(yùn)動(dòng) 時(shí)間為 ?tan0gvt ? 該點(diǎn)的坐標(biāo)為 ?? 2202200 t a n221t a n gvgtygvtvx ???? 由幾何關(guān)系得： ?? ta nc o s/ xyH ?? 解得小球離開(kāi)斜面的最大距離為 ?? sinta n220 ??gvH。 解析：水流做斜上拋運(yùn)動(dòng)，以噴口 O 為原點(diǎn)建立如圖所示的 直角坐標(biāo)，本題的任務(wù)就是水流能通過(guò)點(diǎn) A（ d、 h）的最小初速度和發(fā)射仰角。 由于鐵板移動(dòng)的距離 vavL ??? 故,2 12 越大， L 越大。（取 R0= 106m），設(shè)大氣層對(duì)衛(wèi)星的阻力忽略不計(jì)，地面的重力加速度為 g） 解析：由能量守恒定律，衛(wèi)星在地球的引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)總機(jī)械能為一常量 。 （ 1）若以水平力 F 作用在桿上，作用點(diǎn) 到地面的距離 LLh (5/21 ? 為桿長(zhǎng)），要使桿不滑倒，力 F 最大不能越過(guò)多少？ （ 2）若將作用點(diǎn)移到 5/42 Lh ? 處時(shí)，情況又如何？ 解析：桿不滑倒應(yīng)從兩方面考慮，桿與地面間的靜摩擦力達(dá)到極限的前提下，力的大小還與 h 有關(guān)，討論力與 h 的關(guān)系是關(guān)鍵。求初速度的最小值。 例 10：一小物塊以速度 smv /100 ? 沿光滑地面滑行，然后沿光滑 曲面上升到頂部水平的高臺(tái)上，并由 高臺(tái)上飛出，如圖 5— 9 所示， 當(dāng)高臺(tái)的高度 h 多大時(shí)，小物塊飛行的水平距離 s 最 大？這個(gè)距離是多少？（ g 取 10m/s2） 解析：依題意，小物塊經(jīng)歷兩個(gè)過(guò)程。求能使人體 重心有最大總升高的起跳角 ? 。現(xiàn)將一質(zhì)量為 m 的小物塊無(wú) 初速地放置在車(chē)頂前緣。桶的內(nèi)橫截面積 S=， 桶壁加桶底的體積為 V0=10－ 2m3。不計(jì)水的阻力，設(shè)水溫很低，不計(jì)其飽和蒸汽壓的影響。因此繩對(duì)桶的拉力所需做的最 小功等于將桶從池底緩
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