【正文】 y=kx,則 2 2 2( , ) ( 0 ,0 )lim 1xy xy kx y k? ???, 因為當(dāng) k 取不同值時， f(z)的取值不同，所以 f(z)在 z=0 處極限不存在 . 從而 f(z)在 z=0 處不連續(xù) ，除 z=0 外連續(xù) . (2) 342, 0 ,()0 , 0.xy zfz xyz? ???????? 解：因為3342 20 22xy xxyxyxy? ? ?? , 所以342( , ) ( 0 , 0 )lim 0 ( 0 )xy xy fxy? ??? 所以 f(z)在整個 z 平面連續(xù) . 5. 下列函數(shù)在何處求導(dǎo)？并求其導(dǎo)數(shù) . (1) 1( ) ( 1)nf z z ??? (n 為正整數(shù) )； 解：因為 n 為正整數(shù)，所以 f(z)在整個 z 平面上可導(dǎo) . 1( ) ( 1)nf z n z ?? ??. (2) 22() ( 1)( 1)zfz zz?? ??. 解：因為 f(z)為有理函數(shù)，所以 f(z)在 2( 1)( 1) 0zz? ? ? 處不可導(dǎo) . 從而 f(z)除 1, izz?? ?? 外可導(dǎo) . 222 2 2322 2 2( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]()( 1 ) ( 1 )2 5 4 3( 1 ) ( 1 )z z z z z zfzzzz z zzz??? ? ? ? ? ? ?? ???? ? ? ???? (3) 38() 57zfz z?? ? . 復(fù)變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復(fù)旦大學(xué)出版社） 10 / 68 解： f(z)除 7=5z 外處處可導(dǎo)，且 223 ( 5 7 ) ( 3 8 ) 5 6 1() ( 5 7 ) ( 5 7 )zzfz zz? ? ?? ? ? ???. (4) 2 2 2 2( ) ix y x yfz x y x y??????. 解：因為 22 2 2 2 2 2i ( ) i i ( i ) ( i ) ( 1 i ) ( 1 i ) 1 i() x y x y x y x y x y zfz x y x y x y zz? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?.所以 f(z)除 z=0 外處處可導(dǎo)，且 2(1 i)()fz z?? ?? . 6. 試判斷下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性 . (1) 22( ) if z xy x y??。故 0uuxy????即 u=C2 從而 f(z)為常數(shù) . (4) Imf(z)=常數(shù) . 證明：與（ 3）類似，由 v=C1 得 0vvxy???? 因為 f(z)解析，由 CR 方程得 0uuxy????,即 u=C2 所以 f(z)為常 數(shù) . 5. |f(z)|=常數(shù) . 復(fù)變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復(fù)旦大學(xué)出版社） 12 / 68 證明：因為 |f(z)|=C，對 C 進(jìn)行討論 . 若 C=0，則 u=0,v=0,f(z)=0 為常數(shù) . 若 C? 0，則 f(z) ? 0,但 2( ) ( )f z f z C??，即 u2+v2=C2 則兩邊對 x,y 分別求偏導(dǎo)數(shù)，有 2 2 0 , 2 2 0u v u vu v u vx x y y? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 利用 CR 條件，由于 f(z)在 D 內(nèi)解析，有 u v u vx y y x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 所以00uvuvxxuvvuxx??? ? ? ? ??? ???? ? ? ? ?? ??? 所以 0, 0uvxx???? 即 u=C1,v=C2,于是 f(z)為常數(shù) . (6) argf(z)=常數(shù) . 證明： argf(z)=常數(shù)，即 arctan v Cu??????? , 于是222 2 2 2 2 2 2()()( / ) 01 ( / ) ( ) ( )vuvu u u vu u vvu yyxxv u u u v u u v???? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? 得 00vuuvxxvuuvyy??? ? ? ? ????????? ? ? ? ?? ??? CR 條件 → 00vuuvxxvuuvxx??? ? ? ? ??? ?????? ? ? ? ?? ??? 解得 0u v u vx x y y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，即 u,v 為常數(shù)，于是 f(z)為常數(shù) . 8. 設(shè) f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在 z 平面上解析，求 m,n,l 的值 . 解：因為 f(z)解析，從而滿足 CR 條件 . 222 , 3uun x y m y n xxy??? ? ? 223 , 2vvx ly lx yxy??? ? ? uvnlxy??? ? ? 復(fù)變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復(fù)旦大學(xué)出版社） 13 / 68 3 , 3uv n l myx??? ? ? ? ? ? ? 所以 3, 3, 1n l m? ? ? ? ?. 9. 試證下列函數(shù)在 z 平面上解析，并求 其導(dǎo)數(shù) . (1) f(z)=x3+3x2yi3xy2y3i 證明： u(x,y)=x33xy2, v(x,y)=3x2yy3 在全平面可微 ,且 2 2 2 23 3 , 6 , 6 , 3 3u u v vx y x y x y x yx y x y? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 所以 f(z)在全平面上滿足 CR 方程，處處可導(dǎo)，處處解析 . 2 2 2 2 2( ) i 3 3 6 i 3 ( 2 i ) 3uvf z x y x y x y x y zxx??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.(2) ( ) e ( c os sin ) ie ( c os sin )xxf z x y y y y y x y? ? ? ?. 證明： ( , ) e ( c os sin ) , ( , ) =e ( c os sin )u x y x y y y v x y y y x y? ? ?處處可微，且 e ( c o s s in ) e ( c o s ) e ( c o s s in c o s )x x xu x y y y y x y y y yx? ? ? ? ? ? ?? e ( s in s in c o s ) e ( s in s in c o s )xxu x y y y y x y y y yy? ? ? ? ? ? ? ? ?? e ( c o s s i n ) e ( s i n ) e ( c o s s i n s i n )x x xv y y x y y y y x y yx? ? ? ? ? ? ??e ( c o s ( s i n ) c o s ) e ( c o s s i n c o s )v y y y x y y y y x yy? ? ? ? ? ? ? ?? 所以 uvxy??? , uvyx???? 所以 f(z)處處可導(dǎo)，處處解析 . ( ) i e ( c os sin c os ) i ( e ( c os sin sin ) )e c os ie sin ( e c os ie sin ) i ( e c os ie sin )e e i e e ( 1 )xxx x x x x xz z z zuvf z x y y y y y y x y yxx y y x y y y y yx y z??? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?10. 設(shè) ? ? ? ?3 3 3 322i , 0.0. 0.x y x y zfzxyz? ? ? ? ??? ????? 求證： (1) f(z)在 z=0 處連續(xù)． (2)f(z)在 z=0 處滿足柯西 — 黎曼方程． (3)f′(0)不存在． 證明 .(1)∵ ? ? ? ? ? ? ? ?0 , 0 ,0l im ( ) l im , i ,z x yf z u x y v x y???? 而 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3322, 0 ,0 , 0 ,0lim , limx y x y xyu x y?? ?? ? ∵ ? ?332 2 2 21x y xyxyx y x y? ??? ? ? ??????? ∴3322 30 2xy xyxy? ??≤ ≤ 復(fù)變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復(fù)旦大學(xué)出版社） 14 / 68 ∴ ? ? ? ?3322, 0,0lim 0xy xy? ? ?? 同理 ? ? ? ?3322, 0,0lim 0xy xy? ? ?? ∴ ? ? ? ? ? ? ? ?, 0 ,0lim 0 0xy f z f? ?? ∴ f(z)在 z=0 處連續(xù)． (2)考察極限 ? ?0 ( ) 0limz f z fz? ? 當(dāng) z 沿虛軸趨向于零時， z=iy，有 ? ? ? ? ? ?3 2022 1 1 il im i 0 l im 1 iiiyy yf y fy y y?? ????? ? ? ? ???． 當(dāng) z 沿實軸趨向于零時， z=x，有 ? ? ? ?? ?0 1lim 0 1 ix f x fx? ? ? ? 它們分別為 i , iu v v ux x y y? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ∴ ,u v u vx y y x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ∴滿足 CR 條件． (3)當(dāng) z 沿 y=x 趨向于零時，有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?33300i 0 , 0 1 i 1 i il im l imi 2 1 i 1 ix y x yf x x f x xx x x? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ∴ 0limz fz??? 不存在．即 f(z)在 z=0 處不可導(dǎo) ． 11. 設(shè)區(qū)域 D 位于上半平面， D1 是 D 關(guān)于 x 軸的對稱區(qū)域，若 f(z)在區(qū)域 D 內(nèi)解析，求證 ? ? ? ?F z f z? 在區(qū)域 D1 內(nèi)解析． 證明：設(shè) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因為 f(z)在區(qū)域 D 內(nèi)解析． 所以 u(x,y),v(x,y)在 D 內(nèi)可微且滿足 CR 方程，即 ,u v u vx y y x? ? ? ?? ? ?? ? ? ?． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, iv , , i ,f z u x y x y x y x y??? ? ? ? ? ?，得 ? ?,u x yxx? ??? ??? ? ? ? ?,u x y u x yy y y? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?,v x yxx? ?? ?? ??? ? ? ? ?,v x y v x yy y y? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 復(fù)變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復(fù)旦大學(xué)出版社） 15 / 68 故 φ(x,y),ψ(x,y)在 D1 內(nèi)可微且滿足 CR 條件 ,x y y x? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 從而 ??fz在 D1 內(nèi)解析 13. 計算下列各值 (1) e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1) (2)22 π 22i3 3 3 3 3π π 13e e e e c o s i s in e i3 3 2 2i?? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ??? ? ? ??? (3) ? ?? ?222 2 2 22222ii2 2 2 222R e eR e e eR e e c os i si ne c osxyxyxyx y x yxxyxxyyyx y x yyxy?????????????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ?????????????? (4) ? ? ? ?i 2 i 2 ii2 2 i 2e e ee e ex y x yx y x? ? ? ?? ? ???? ? ? 14. 設(shè) z 沿通過原點的放射線趨于∞點，試討論 f(z)=z+ez 的極限． 解：令 z=reiθ， 對于 ? θ， z→∞時， r→∞． 故 ? ? ? ?? ?ii e i i s ic nosl im e e l im e errrrrr?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?． 所以 ? ?limz fz?? ?? ． 15. 計算下列各值． (1) ? ? ? ? 3l n 2 3 i = l n 1 3 i a r g 2 3 i l n 1 3 i π a r c ta n 2??? ? ? ? ? ? ? ????? (2) ? ? ? ? π