【正文】 器的增益為 1，中心頻率為 f ，帶寬為 2B （ Bf? ） ，濾波器輸出為 ()nt ，求 ()nt 的自相關(guān)函數(shù)以及其同相分量與正交分量的自相關(guān)函數(shù)。 察如下的二階自回歸過(guò)程 X(n) 12( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )X n b X n b X n V n? ? ? ? ? 零均值白色噪聲 ()Vn的方差 為 2V? ， 221 1 2| 4 | 2b b b? ? ?； 求： (1)X(n)的功率譜密度； (2)根據(jù) Wold 分解求 X(n)的自相關(guān)函數(shù)； (3)求 YuleWalker 方程 考察如下的二階 MA 模型，輸入 X(n)的功率譜密度為 2X? ，求 Y(n)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。 序列 X(n)和 Y(n)滿足差分方程 ( ) ( ) ( )Y n X n a X n a? ? ? ? 其中 a 為整常數(shù)，試用 X(n)的相關(guān)函數(shù)表示 Y(n)的相關(guān)函數(shù)。( )Xt , 2()Xt , 239。 設(shè)線性系統(tǒng)的輸入過(guò)程 X(t) 為零均值高斯隨機(jī)過(guò)程，相關(guān)函數(shù)為2 | |() aXRe????? (a0)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 0() 00btetht t?? ?? ? ?? (b0,b a) X(t)是在 t= 接入系統(tǒng)的， (1)求在 t=0 時(shí)輸出 Y(0)大于 y 的概率； (2)如果在 t=T 時(shí)，X(T)=0，求條件概率 { ( 0) | ( ) 0 }P Y y X T? ? ?(T0)； (3) 如果在 t=T 時(shí)，觀察到 X(T)=0，求條件概率 { ( 0) | ( ) 0}P Y y X T??(T0)。 設(shè) n 維隨機(jī)矢量 X=[X1,X2,… ,Xn]服從聯(lián)合高斯分布，各個(gè)分量相互獨(dú)立，且均值為0，隨機(jī)矢量的協(xié)方差矩陣為 22222220 0 ... 00 ... 0... 0aaa??????????????? 求 其 N 維特征函數(shù) (接上題 )若各個(gè)分量的之間的協(xié)方差為 , ||miK n m i? ? ? 設(shè)另一隨機(jī)變量 Y 為1niiYX???，求 Y 的特征函數(shù) 設(shè) 3 維高斯隨機(jī)矢量 X=[X1,X2,X3]各個(gè)分量的均值為 0，其協(xié)方差矩陣的元素值為kij(i,j=1,2,3), 且 k11=k22=k33= 2 ；求 (1) 1 2 3[]E X X X ， (2) 2 2 21 2 3[]E X X X ， (3) 2 2 2 2 2 21 2 3[ ( ) ( ) ( ) ]E X X X? ? ?? ? ? 設(shè) 3 維高斯隨機(jī)矢量 X=[X1,X2,X3]的概率密度為 2 2 21 2 3 1 1 2 2 1 3 31( , , ) e x p { [ 2 2 ] }2Xf x x x C x x x x x x x? ? ? ? ? ? (1) 證明經(jīng)過(guò)線性變換 1231 1 / 4 1 / 20 1 2 / 70 0 1XY AX XX??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 得到的隨機(jī)矢量 Y=[Y1,Y2,Y3]，則 Y1,Y2,Y3是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量； (2)求 C 的值。 考慮兩個(gè)隨機(jī)變量的去相關(guān)處理。 設(shè) X、 Y 為聯(lián)合高斯分布的隨機(jī)變量，均值分別為 mX、 mY，根方差分別為 X、Y，互相關(guān)系數(shù)為 r，已現(xiàn)知 X=x，求 Y 的合理估計(jì)值。 白噪聲的均值為 0，功率譜密度為非零的常數(shù) N0，求其相關(guān)函數(shù)。 X、 Y 是零均值高斯隨機(jī)變量，方差分別為 2X? 、 2Y? ，若 X、 Y 服從聯(lián)合高斯分布，且相關(guān)系數(shù)為 r，求 Z=X/Y 的概率密度分布函數(shù)。 分別求其等效通能帶。 設(shè)積分電路輸入輸出之間滿足如下關(guān)系 ( ) ( )ttTY t X d???? ?，其中 T 為常數(shù)，且 X(t)、Y(t)均為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，求二者功率譜密度之間的關(guān)系。 設(shè)輸入隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為 0 ()2N ?? ， 理想窄帶放大器的頻率特性為 002 | | 2()0 | | 2Hj???? ????? ?????? ?? ???? (0 2?? ??)，求該放大器輸出信號(hào)的總平均功率。 如圖所示的 RL 電路，輸入為零均值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，相關(guān)函數(shù)為 12||212( , ) ttXR t t e ?? ??? ，求輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù) RY ( )。 設(shè) X(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程， E[X(t)]=1， 2| |( ) 1XRe?? ??? ，求隨機(jī)變量 10 ()S X t dt??的均值及方差。 設(shè)有復(fù)隨機(jī)變量序列 {X(n)|n=1,2,3,…} 以及復(fù)隨機(jī)變量 Y，且有 2[| ( ) | ]E X n ??，求證：X(n)依均方收斂于隨機(jī)變量 Y 的充要條件是 *[ ( ) ( ) ] ( )nmlim E X n X m C???? ? 常 數(shù) 設(shè)有隨機(jī)變量序列 {X(n)|n=1,2,3,…} ， X(n)的相關(guān)函數(shù)為 1 RX( ) T/2 T/2 1 2 1 2( , ) [ ( ) ( ) ]XR n n E X n X n? 若有普通序列 {an|n=1,2,3,…} ,并定義1( ) ( )nkkY n a X k???,求 Y(n)均方收斂的充要條件。 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 X(t)是平穩(wěn)且可微的，導(dǎo)數(shù)過(guò)程為 39。()Xt。 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 X(t)=acos( t+ )，其中 a 為常量， 為與 無(wú)關(guān)的隨機(jī)變量， 為均勻分布于 (0,2 )的隨機(jī)變量， 的一維概率密度分布函數(shù) ()f ?? 為偶函數(shù)，求證 X(t)的功率譜密度為 2( ) ( )XG a f? ? ??? 。 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 ||( ) 4 c os( ) c os( 3 )XRe ?? ? ? ? ???? 求其功率譜密度函數(shù)。 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 ( ) ( ) c os( ) ( ) si n( )Z t X t t Y t t????，其中 為常數(shù)， X(t)、 Y(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程、且聯(lián)合平穩(wěn)，求： (1)Z(t)的自相關(guān)函數(shù)； (2)如 ( ) ( )XYRR??? ， ( ) 0XYR ? ? ， 求 Z(t)的自相關(guān)函數(shù)。 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 66kX t t k???， 求 X(1),X(2)的概率密度，問(wèn) X(t)是否為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。計(jì)算 E[X(2)]、 E[X(6)]、 RX(2,6)、 FX(x,2)、 FX(x,6)、 FX(x1, x2,2， 6)。若 X(t)平穩(wěn)，均值為 mX，求 Y(t)的均值；問(wèn) Y(t)是否平穩(wěn)？是否與 X(t)聯(lián)合平穩(wěn)？ ． (缺 ) X(t)=At， A 為隨機(jī)變量，概率密度分布為 N(0,1)，求 X(t)的均值及自相關(guān)函數(shù)。 某平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 X(t)的自相關(guān)函數(shù)滿足 RX(T)= RX(0) (T 0)，證明 RX( )必為以T 為周期的周期函數(shù)。 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 X(t)的均值為 mX(t)，協(xié)方差函數(shù)為 KX(t1,t2)， (t)為普通函數(shù)，試求隨機(jī)過(guò)程 Y(t)=X(t)+ (t)的均值和協(xié)方差函數(shù)。 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 X(t)= + t， 和 為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分布分別為()f?? 、 ()f?? ， 求隨機(jī)過(guò)程 X(t)的 概率密度。 有一脈沖串，其中每個(gè)脈沖的寬度為 1，脈沖可為正脈沖也可為負(fù)脈沖，即脈沖的幅度 隨機(jī)地取 1 或 1(概率相等 )，各脈沖的幅度取值相互獨(dú)立；脈沖串的起始時(shí)間均勻分布于單位時(shí)間內(nèi)，脈沖間隔為 0；求此脈沖隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)。 隨機(jī)過(guò)程1( ) ( )kN jtkkZ t A e t R?????，其中 Ak服從分布 N(0, k2)，且相互獨(dú)立； k為常數(shù)， j 為虛數(shù)單位，求復(fù)隨機(jī)過(guò)程 Z(t)的均值函數(shù)與方差函數(shù)。 設(shè)某信號(hào)源每 T(s)產(chǎn)生一個(gè)幅度為 A 的方波脈沖，脈沖寬度 X 為均勻分布于 [0,T]的隨機(jī)變量。1/2,1)； (3)畫出上述分布函數(shù)的圖形。 (1)求離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程 Yn的一維概率分布率； (2)當(dāng)公共汽車 A 上的乘客達(dá)到 10 個(gè)時(shí)， A 即開(kāi)車，求 A 車出發(fā)時(shí)刻 n 的概率分布。 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為 ( , ) s in ( ) ( 0 , 0 )22XYf x y A x y x y??? ? ? ? ? ? (1) 求系數(shù) A， (2)求數(shù)學(xué)期望 E[X]、 E[Y]，方差 D[X]、 D[Y]； (3)求 X、 Y 的相關(guān)函數(shù)及相關(guān)系數(shù)。 設(shè) X、 Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分布函數(shù)分別為 1 0 1() 0X xfx e ls e w h e r e???? ?? ， 0() 0 yY eyfy e ls e w h e r e?? ?? ?? 求隨機(jī)變量 Z=X+Y 的概率密度分布函數(shù)。 設(shè)隨機(jī)變量 X 的 概率 分布函數(shù) 為連續(xù)的，且 0() 00xA B e xFx x??? ??? ? ?? 其中 0 為常數(shù)，求常數(shù) A、 B 的值。湖南大學(xué)本科課程 《 隨機(jī)過(guò)程 》 習(xí)題集 主講教師：何松華 教授 第一章： 概述及概率論復(fù)習(xí) 設(shè)一批產(chǎn)品共 50 個(gè)，其中 45 個(gè)合格， 5 個(gè)為次品，從這一批產(chǎn)品中任意抽取 3 個(gè)，求其中有次品的概率。 設(shè)一批產(chǎn)品有 N 個(gè)，其中有 M 個(gè)次品，每次從其中任取一個(gè)來(lái)檢查，取出后再放回， 求 連續(xù) n 次取得合格品的概率。求 Y 的概率密度分布函數(shù)。 隨機(jī)變量 X 服從均值為 mX、標(biāo)準(zhǔn)差為 X的正態(tài)分布， X 通過(guò)雙向平方率檢波器，Y=cX2(c0)，求 Y 的概率密度分布。如果每名乘客以概率 1/2 登上 A 車，以概率 1/2 登上 B 車，各乘客登上哪輛車是 相互獨(dú)立的，用 Xj表示第 j 秒到達(dá)的乘客的登車狀態(tài)，即登上 A 車則 Xj=1，登上 B 車則 Xj=0；設(shè) t=n 時(shí) A 車上的乘客數(shù)為 Yn。 (1) 確定 X(t)的一維分布函數(shù) FX(x,1/2)、FX(x,1)； (2) 確定 X(t)的二維分布函數(shù) FX(x1, x2。 求 4 題所給出的隨機(jī)過(guò)程的均值及相關(guān)函數(shù)，并判斷該隨機(jī)過(guò)程是否為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 X(t)=Ycos(t) ( t )，其中 Y 為均勻分布于 [0,1]區(qū)間的隨機(jī)變量，求隨機(jī)過(guò)程 X(t)的自相關(guān)函數(shù)及自協(xié)方差函數(shù)。定義另外一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 1 ( )() 0 ( )iii iiX t xYt X t x??? ? ?? 1,2,...i? 試證明 Y(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)分別為 X(t)的一維和二維分布函數(shù)。往右、左移動(dòng)的概率分別為 p、 q(p+q=1)， P{Xn=1}=p， P{Xn=1}=q，各次游動(dòng)是相互獨(dú)立的，經(jīng)過(guò) n 次游動(dòng)后， 質(zhì)點(diǎn)所在的相對(duì)位置為 1()niiY n X??? 求： (1)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程 Y(n)的 均值函數(shù) ； (2) Y(n)的相關(guān)函數(shù)及自協(xié)方差函數(shù)。 設(shè)某通信系統(tǒng)的信號(hào)為脈沖信號(hào)，脈寬為 T，脈沖信號(hào)的周期也為 T，脈沖幅度是隨機(jī)的且服從高斯分布 N(0, 2)，不同周期內(nèi)的幅 度 xi是相互獨(dú)立的；第 1 個(gè)脈沖的起始時(shí)間與 t=0 時(shí)刻的時(shí)間差 u 是均勻分布于 (0,T)的隨機(jī)變量， u 與各 xi相互獨(dú)立，求該隨機(jī)信號(hào)在任意兩個(gè)不同時(shí)刻的二維聯(lián)合概率密度分布函數(shù)。求 X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)。試以 X(t)的自相關(guān)函數(shù)來(lái)表示隨機(jī)過(guò)程 Y(t)的自相關(guān)函數(shù)。 隨機(jī)過(guò)程 X(t)僅由 3 個(gè)樣本函數(shù)組成 [查看教材中的原圖 ]，而且每個(gè)樣本函數(shù)等概率發(fā)生。 隨機(jī)初始相位正弦波隨機(jī)過(guò)程 X(t)=Acos( t+ )，其中振幅 A、角頻率 取 常數(shù)，相位 為均勻分布于 [0,2 ]的隨機(jī)變量，求其時(shí)間相關(guān)函數(shù)及集合自相關(guān)函數(shù)，二者是否相等？ 根據(jù)擲色子實(shí)驗(yàn)定義隨機(jī)過(guò)程 2( ) c o s [ ( ) ] 。 已知兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)為 2 | |()XXRe???? ?? ， 2 1( ) (1 | |) ( | | )YYR ? ? ? ? ? ?? ? ? 試分別求其相關(guān)時(shí)間。 已知平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 X(t)的功率譜密度函數(shù)為 242() 32XG ?? ??? ?? 求 X(t)的均方值。 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 Y(t)=X(t)cos( 0t+ )，其中 0為常量， X(t)為與 無(wú)關(guān)的隨機(jī)過(guò)程，為均勻分布于 (0,2 )的隨機(jī)變量，求 Y(t)的