【正文】 !2 )())(()()( xtfxtxfxftf ???????? ?.（ ? 介于 x 與 t 之間） 分別用 20 ?? tt 、 代入上式，得 21!2 )()()()0( xfxxfxff ??????? ， （ x?? 10 ? ） （ 1） 22 )2(!2 )()2)(()()2( xfxxfxff ???????? ?， （ 22 ???x ） （ 2） （ 2） （ 1），并由條件 )2()0( ff ? ，有 ])()2)(([21)(20 2122 xfxfxf ?? ?????????， 即 ])()2)(([41)( 2122 xfxfxf ?? ?????????， 所以 MxxMxxMxf ????????? 222 ])2[(4])2[(4)( ． 習(xí)題 3— 4（ A） 1． 下列敘述是否正確？并按照你的判斷說明理由： （ 1）設(shè)函數(shù) ()fx在區(qū)間 [, ]ab 上連續(xù)，在 (, )ab 內(nèi)可導(dǎo)，那么 ()fx在區(qū)間 [, ]ab 上單調(diào)增加 （減少） 的充分必要條件是對任意的 ( , )x ab? ， 0)( ?? xf （ 0)( ?? xf ） ； （ 2）函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)都可能不是唯一的，并且在其駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)處均取得極值； （ 3）判定極值存在的第一充分條件是根據(jù)駐點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號來確定該駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，第二充分條件是根據(jù)函數(shù)在 其駐點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)的符號來判定該駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)； （ 4）在區(qū)間 I 上連續(xù)的函數(shù)，其最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)一定是它的極值點(diǎn) . 答： （ 1）不正確 ． 如 3xy? 在 ]11[ ，? 上單調(diào)增加，而 03 2 ??? xy ． （ 2） 前者正確，后者不正確 ． 駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)是取得極值必要條件不是充分條件 ，如函數(shù) 3xy? 有駐點(diǎn) 0?x ，而 3xy? 在 0?x 點(diǎn)不取極值；又如函數(shù) 3 xy? 有不可導(dǎo)點(diǎn)0?x ，而 3 xy? 在 0?x 點(diǎn)也不取極值 ． （ 3）前者不正確，后者正確 ． 第一充分條件對連續(xù)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)也適用 ． （ 4）不正確 ． 函數(shù)的 最大（?。┲迭c(diǎn)可以是閉區(qū)間端點(diǎn) ，這時的最值點(diǎn)就不是極值點(diǎn) ． 2． 證明函數(shù) xxxf arcsin)( ?? 在 ]11[ ，? 上 單調(diào)減少 ． 解： 在開區(qū)間 )11( ，? 內(nèi)， 01 11)( 2 ????? xxf，且等號只在 0?x 點(diǎn)成立，所以 )(xf 在開區(qū)間 )11( ，? 內(nèi) 單調(diào)減少，又因為函數(shù) xxxf arcsin)( ?? 在區(qū)間 ]11[ ，? 的左、右端點(diǎn)處分別右連續(xù)、左連續(xù)，所以 xxxf arcsin)( ?? 在 ]11[ ，? 上單調(diào)減少． 3． 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值： （ 1） 323y x x?? ； （ 2） xxy 12 ?? ； （ 3） 3 232 xxy ??? ； （ 4）2exyx? ； （ 5） xxy ??? )1ln( ； （ 6） )1ln( 2 ?? xy ． 解： （ 1） 定義域為 )( ????， ， )2(363 2 ????? xxxxy ，由 0??y ，得駐點(diǎn) 0?x ， 2?x ，函數(shù)沒有不可導(dǎo)點(diǎn)． 單增區(qū)間為： )2[]0( ???? ，、 ， 單減區(qū)間 為： ]20[， ， 極大值 為： 0)0( ?y ，極小值為： 4)2( ??y ． （ 2） 定義域為 )0()0( ???? ， ? ，22 1xxy ??? ，由 0??y ，得駐點(diǎn) 1??x ，在定義域內(nèi)函數(shù)沒有不可導(dǎo)點(diǎn)． 單增區(qū)間為： )1[]1( ????? ，、 ， 單減區(qū)間 為： ]10()01[ ，、? ， 極大值 為： 2)1( ???y ， 極小值為： 2)1( ?y ． （ 3） 定義域為 )( ????， ，2 233 )1(2 xxy ????，由 0??y ，得駐點(diǎn) 1??x ，不可導(dǎo)點(diǎn) 0?x ． 單增區(qū)間為： )1[ ???， ， 單減區(qū)間 為： ]1( ???， ， 無 極大值，極小值為： 1)1( ???y ． （ 4） 定義域為 )0()0( ???? ， ? ，3 )2(e xxyx ??? ，由 0??y ，得駐點(diǎn) 2?x ， 在定義域內(nèi)函數(shù)沒有不可導(dǎo)點(diǎn)． 單增區(qū)間為： 、 )0(?? )2[ ??， ， 單減區(qū)間 為： ]20(， ， 無 極大值，極小值為： 4/e)2( 2?y ． （ 5） 定義域為 )1( ???， ， xxy ???? 1 ，由 0??y ，得駐點(diǎn) 0?x ， 在定義域內(nèi)函數(shù)沒有不可導(dǎo)點(diǎn)． 單增區(qū)間為： ]01( ，? ， 單減區(qū)間 為： )0[ ??， ， 極大值 為： 0)0( ?y ， 無 極小值 ． （ 6） 定義域為 )1()1( ????? ， ? ，122 ??? x xy， 在定義域內(nèi) 0??y ， 且 沒有不可導(dǎo)點(diǎn)． 單增區(qū)間為： )1( ??， ， 單減區(qū)間 為： )1( ???， ， 既無 極大值 ，也無 極小值 ． 4． 求下列函數(shù)在指定區(qū)間的最大值 M 和最小值 m ： （ 1） 163)( 24 ??? xxxf ， ]20[ ，?x ； （ 2） 11)( ??? xxxf ， ]40[ ，?x ． 解： （ 1） )1(121212)( 23 ????? xxxxxf ，由 0)( ??f ，得 1?x （ 10 ??? xx ， 都不在 )20(， 內(nèi)），比較數(shù)值 25)2(2)1(1)0( ???? fff ， ，得 163)( 24 ??? xxxf 在閉區(qū)間 ]20[， 上 最大值為 25)2( ?? fM ，最小值為 2)1( ??? fm ． （ 2） 因為在 ]40[， 上 0)1( 2)( 2 ???? xxf，所以函數(shù) 11)( ??? xxxf 在 ]40[， 上單調(diào)增加，于是 最大值為 5/3)4( ?? fM ，最小值為 1)0( ??? fm ． 5． 求函數(shù) xxxf 2)( ?? 在區(qū)間 )40(， 內(nèi)的最值． 解：xxf 11)( ???，由 0)( ?? xf ，在區(qū)間 )40(， 內(nèi)得唯一駐點(diǎn) 1?x ， 又 ，xxxf 2 1)( ??? 021)1( ????f ，所以 1?x 是極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)， 所以函數(shù) xxxf 2)( ?? 在區(qū)間 )40(， 內(nèi) 最小值為 1)1( ??? fm ． 又 開區(qū)間的區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)無定義，所 以 無最大值 ． 6． 求函數(shù) xxxf 1)( ? 在區(qū)間 )0( ??， 內(nèi)的最值． 解：21 ln1)(x xxxf x ???? ，由 0)( ?? xf ，在區(qū)間 )0( ??， 內(nèi)得唯一駐點(diǎn) e?x ， 而在 e)0(，內(nèi) 0)( ?? xf ， )(xf 單調(diào)增加；在 )e( ??， 內(nèi) 0)( ?? xf ， )(xf 單調(diào)減少，所以 e?x 是 函數(shù) xxxf 1)( ? 在區(qū)間 )0( ??， 內(nèi) 的唯一極大值點(diǎn)，同時也是最大值點(diǎn)，所以函數(shù) xxxf 1)( ?在區(qū)間 )0( ??， 內(nèi)的 最大值為 e1e)e( ?? fM ，無最小值 ． 7． 借助現(xiàn)有的一面墻，圍建一個長方 形小院，求解下列問題： (1) 要使小院面積為 32(m2)，如何設(shè)計最省材料？ (2) 如果建筑材料只夠砌 16(m)長的墻，如何設(shè)計才能使小院面積最大？ 解： 如圖，設(shè)小院的長為 x （ m） ，寬為 y （ m），則所砌 圍墻的長度為 yxL 2?? （ m），小院面積為 A （ m2） ． （ 1） 由小院面積為 32(m2)，有 xy /32? ，所以 目標(biāo)函數(shù)為 xxyxL 642 ???? （ 0?x ） ，由 06412 ???? xL， 得唯一駐點(diǎn) 8?x ，此時 4?y ，由實際意義 L 有最小值，所以當(dāng)長為 8m、寬為 4m 時最省材料 ． （ 2）由 162 ??? yxL ，有 yx 216?? ，所以目標(biāo)函數(shù)為 2216 yyxyA ??? （ 0?y ）， 0416 ???? yA ，得唯一駐點(diǎn) 4?y ，此時 8?x ，由實際意義 A 有最大值，所以當(dāng)長為 8m、寬為 4m 時小院面積最大 ． 8． 一個周長為 5m 的窗戶如圖所示，問 d 和 h 為多少時窗戶 的采 光最好？ 解： 設(shè)窗戶的面積為 A ，則目標(biāo)函數(shù)為 82ddhA ??? ，而由 522 ??? dhd ? ，得 4210 ddh ???? ，目標(biāo)函數(shù)化為 2)4(8125 ddA ???? （ ???? 2100 d ）， 由 0)4(4125 ????? dA ?，得唯一駐點(diǎn) ???410d ，此時 ???45h ，由實際意義 A 有最大值，所以當(dāng) ???410d ， ???45h 窗戶的采光最好 ． 9． 某工廠在一個月內(nèi)生產(chǎn)某種產(chǎn)品 Q （噸）時，總成本為 2022)( ?? C （萬元），獲得的收益為 )( QR ?? （萬元），問一個月內(nèi)生產(chǎn)該種產(chǎn)品多少噸時所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？ 解： 設(shè)當(dāng)產(chǎn)量為 Q 時，該廠的利潤為 L ，則 2 ????? CRL （ 0?Q ）， 由 ???? QL ，得唯一駐點(diǎn) 250?Q ，又 )250( ?????L ， 于是 250?Q 是極大值點(diǎn)，也是最大 值點(diǎn)，所以當(dāng)產(chǎn)量為 250 噸時利潤最大， 最大利潤 425?L （萬元） ． 10． 在所有面積為 A 的長方形中，求對角線最短者． 解： 設(shè)長方形的邊長分別為 yx、 ，則 xAy /? ，設(shè)對角線長為 d ，為方便用 2dD? 作目標(biāo)函數(shù)，則22222 xAxyxD ???? （ 0?x ）， 由 02232 ???? xAxD ，得唯一駐點(diǎn)Ax? （ Ax ?? 舍去），由實際意義 D 有最小值，于是當(dāng) Ax? 時 ，此時 Ay? ，D 最小，所以當(dāng)兩個邊長都為 A （即正方形）時，對角線最短 ． 11． 證明下列不等式： （ 1）當(dāng) 1?x 時， xx ln1?? ； （ 2）當(dāng) 0?x 時， 3arc tan 3xxx ?? ； （ 3）當(dāng) 1?x 時， xxx ln1e 1 ??? ． 證明： （ 1）設(shè)函數(shù) xxxf ln1)( ??? （ 1?x ），則 xxf 11)( ??? ，當(dāng) 1?x 時， 0)( ?? xf ，由于函數(shù)在 1?x 點(diǎn)連續(xù)， 從而 當(dāng) 1?x 時， )(xf 單調(diào)增加，于是 當(dāng) 1?x 時，有0)1()( ?? fxf ，所以當(dāng) 1?x 時， xx ln1?? ． （ 2）設(shè)函數(shù) 3a rc ta n)( 3xxxxf ??? （ 0?x ），則2422 111 1)( xxxxxf ???????，當(dāng) 0?x 時， 0)( ?? xf ，由于函數(shù)在 0?x 點(diǎn)連續(xù)，從而當(dāng) 0?x 時， )(xf 單調(diào)增加，于是 當(dāng) 0?x 時，有 0)0()( ?? fxf ， 所以 當(dāng) 0?x 時， 3arc tan 3xxx ?? ． （ 3 ） 設(shè) 函 數(shù) ?)(xf xxx ln1e 1 ??? （ 1?x ）， 則 1lne)( 1 ???? ? xxf x ，xxf x 1e)( 1 ???? ? ， 當(dāng) 1?x 時， 0)( ??? xf ， )(xf? 單調(diào)增加，于是 0)1()( ???? fxf ， 進(jìn)而 )(xf 單調(diào)增加，于是 0)1()( ?? fxf ，所以當(dāng) 1?x 時， xxx ln1e 1 ??? ． 12． 證明方程 xx arcsin? 在 )11( ，? 內(nèi)有且只有一個實根． 證明： 設(shè)函數(shù) xxxf arcsin)( ?? （ ]11[ ，??x ），有習(xí)題 2 知 )(xf 單調(diào)減少，于是曲線)(xfy? 與 x 軸至多有一個交點(diǎn)，從而方程 xx arcsin? 在 )11( ，? 內(nèi)至多有一個實根． 又 函數(shù) xxxf arcsin)( ?? 在閉區(qū)間 ]11[ ，? 上連續(xù)， 并 且 02/1)1( ????? ?f ，02/1)1( ??? ?f ，由零點(diǎn)定理方程 xx arcsin? 在 )11( ，? 內(nèi)至少有一個實根． （或者，由 0?x 是方程的一個實根，所以方程 xx arcsin? 在 )11( ，? 內(nèi)至少有一個實根） 綜上，方程 xx arcsin? 在 )11( ，? 內(nèi)有且只有一個實根． 習(xí)題 3— 4（ B） 1． 貨車以速度 km/hx 行駛 200km ，按交通法規(guī)限制 10050 ??x ．假使汽油的價格是 5 元 / L，而汽車耗油的速率是 L/h)5004( 2x? ，司機(jī)的工資是 20 元 / h ，試問最經(jīng)濟(jì)的車速是多少？這次行車的總費(fèi)用是多少？ 解： 設(shè)行車的費(fèi)用為 y 元，由題意知行車的時間為 x200 ，則目標(biāo)函數(shù)為 xxxxy 4000200]20)5004(5[ 2 ?????? （ 10050