【正文】 2 a acbabx ???????? ?? ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式 的值或極值之類的問題。 變式：已知 0232 22 ??? yxyx ,且 0,0 ?? yx ,則yx yx??的值為 。 變式 1： ? ? ? ? ??????? 2222222 ,06 b則 ababa 。0821 2 ??x ? ? 216252 x? =0。 ★ 已知 m 是方程 012 ??? xx 的一個根，則代數(shù)式 ??mm2 。 例 已知 ba, 是方程 042 ??? mxx 的兩個根， cb, 是方 程 0582 ??? myy 的兩個根， 則 m 的值為 。 ★★★ 若方程 nxm+xn2x2=0 是一元二次方程，則下列不可能的是（ ） =n=2 =2,n=1 =2,m=1 =n=1 考點二、方程的解 ⑴概念： 使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。 例 方程 ? ? 0132 ???? mxxm m 是關(guān)于 x 的一元二次方程，則 m 的值為 。 3.211?＋321?＋431?＋?＋10099 1? 21915 ????? xx ，試求 xx ??? 1519 的值。 2 C． 2 D．177。 化簡 )0(|| 2 ???? yxxyx 的結(jié)果是（ ） A． xy 2? B． y C． yx?2 D． y? 已知： 221 aaa ??? =1，則 a 的取值范圍是（ ）。2?x （ 2）12 1??x （ 3） xx ??? 21 （ 4）45??x x （ 5）1213 ??? xx （ 6） 若 1)1( ??? xxxx ，則 x 的取值范圍是 （ 7）若1313 ????? xxxx，則 x 的取值范圍是 。 “二次根式”經(jīng)典練習(xí)題 【 典型例題 】 一 . 利用二次根式的雙重非負性來解題 （ 0?a （ a≥ 0），即一個非負數(shù)的算術(shù)平方根是一個非負數(shù)。 知識點九： 二次根式的加法和減法 1 同類二次根式 一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。√b=√a247。 知識點八： 二次根式的乘法和除法 √ab=√a 注： 化簡 時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù) a 是正數(shù)還是負數(shù)，若是正數(shù)或 0，則等于 a 本身，即；若 a 是負數(shù)，則等于 a 的相反數(shù) a,即 ； 中的 a 的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論 a 取何值， 一定有意義； 化簡 時，先將它化成 ，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡。這個性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多，如若 ，則 a=0,b=0；若 ，則a=0,b=0；若 ，則 a=0,b=0。 知識點二：取值范圍 1. 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng) a≧ 0 時， 有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。 注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負數(shù)沒有平方根，所以 是 為二次根式的前提條件，如 ， ， 等是二次根式，而 ，等都不是二次根式。 注：因為二次根式 （ ）表示 a 的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)， 0 的算術(shù)平方根是 0，所以非負數(shù)（ ）的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即 0（ ），這個性質(zhì)也就是非負數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若 ，則 ，如： ， . 知識點五：二次根式的性質(zhì) 文字語言敘述為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。因而它的運算的結(jié)果是有差別的， ，而 相同點：當(dāng)被開方數(shù)都是非負數(shù)，即 時， = ； 時， 無意義，而 . 知識點七： 二次根式的性質(zhì)和最簡二次根式 如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有 √2 、 √3 、 √a （ a≥0 ）、 √x+y 等； 含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有 √4 、 √9 、 √a^2 、 √ （ x+y） ^ √x^2+2xy+y^2 等 （ 3）最終結(jié)果分母不含根號。 √a247。 如果兩個含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個代數(shù)式叫做有理化根式 ,也稱有理化因式。 知識點十： 二次根式的混合運算 1 確定運算順序 2 2 靈活運用運算定律 3 正確使用乘法公式 4 大多數(shù)分母有理化要及時 5 在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化 知識點十一： 分母有理化 分母有理化有兩種方法 如 :√a/√b=√a√b/√b√b=√ab/b 要利用平方差公式 如 1/√a ＋ √b=√a － √b/(√a ＋ √b)(√a － √b)=√a － √b/a － b 如圖 注意： 。 （ 1） 。 9. 若 m 適合關(guān)系式 3 5 2 2 3 1 9 9 1 9 9x y m x y m x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，求 m 的值． a、 b、 c 滿足 3442 ???? baa =0，則第三邊 c 的取值范圍是 0|84| ????? myxx ，當(dāng) 0?y 時， m的取值范圍是（ ） A、 10 ??m B、 2?m C、 2?m D、 2?m 二． 利用二次根式的性質(zhì) 2a =|a|=?????????)0()0(0)(aaabaa (即一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值 )來解題 3 23 3xx ? ＝－ x 3?x ，則（ ） ≤ 0 ≤－ 3 Ｃ .x≥－ 3 D.－ 3≤ x≤ 0 2.．已知 ab，化簡二次根式 ba3? 的正確結(jié)果是（ ） A． aba ?? B． aba? C． aba D． aba ? |1x| 1682 ?? xx 的結(jié)果為 2x5則 x的取值范圍是（） A、 x為任意實數(shù) B、 1≤ x≤ 4 C、 x≥ 1 D、 x≤ 4 a， b， c為三角形的三邊，則 222 )()()( acbacbcba ???????? = 5. 當(dāng) 3x5 時，化簡 251096 22 ????? xxxx = 。 ） ： （ 1）833 （ 2） 22 4041 ? （ 3）2255m （ 4） 224 yxx ? 是同類二次根式： （ 1） 75 ，271， 12 ， 2 ，501， 3 ，101； （ 2） ,5 33 cba 323 cba ，4cab， abca ：（ 1） 6 )33(27 ?? （ 2）49123aab ? ； （ 3）accbba 53654 ?? （ 4）24182 （ 5）－545321 ? （ 6） )(23522cabc ba ?? （ 1） 2 5051122183133 ???? （ 2） )254414()3 191( 3323 yyxxyyxx ??? 5．已知 1018222 ??? xxxx，則 x等于（ ） A． 4 B．177。 2..已知 :x=23 23,23 23 ????? y，求代數(shù)式 3x2－ 5xy+3y2的值。 典型例題： 例 下列方程中是關(guān)于 x 的一元二次方程的是（ ） A ? ? ? ?1213 2 ??? xx B 02112 ??? xx C 02 ??? cbxax D 12 22 ??? xxx 變式：當(dāng) k 時，關(guān)于 x 的方程 32 22 ??? xxkx 是一元二次方程。 ★★ 若 方程 ? ? 11 2 ???? xmxm 是關(guān)于 x 的一元二次方程，則 m 的取值范圍是 。 例 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 ? ?002 ???? acbxax 的系數(shù)滿足 bca ?? ，則此方程 必有一根為 。 ⑴求 k 的值； ⑵方程的另一個解。 考點三、解法 ⑴方法： ①直接開方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵關(guān)鍵點： 降次 類型一、直接開方法： ? ? mxmmx ????? ,02 ※※對于 ? ? max ?? 2 ， ? ? ? ?22 nbxmax ??? 等形式均適用直接開方法 典型例題： 例 解方程： ? ? 。 6 針對練習(xí)： 下列方程無解的是（ ） A. 123 22 ??? xx B.? ? 02 2 ??x C. xx ??? 132 D. 092 ??x 類型二、因式分解法 :? ?? ? 021 ??? xxxx 21 , xxxx ??? 或 ※ 方程特點： 左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“ 0”， ※ 方程形式： 如 ? ? ? ?22 nbxmax ??? ， ? ?? ? ? ?? ?cxaxbxax ????? ， 02 22 ??? aaxx 典型例題： 例 ? ? ? ?3532 ??? xxx 的根為（ ） A 25?x B 3?x C 3,2521 ?? xx D 52?x 例 若 ? ? ? ? 04434 2 ????? yxyx ，則 4x+y 的值為 。 例 方程 062 ??? xx 的解為（ ） A. 23 21 ??? ，xx B. 23 21 ??? ，xx C. 33 21 ??? ，xx D. 22 21 ??? ，xx 例 解方程： ? ? 04321322 ????? xx 例 已知 0232 22 ??? yxyx ,則yx yx??的值為 。 ★★★ 方程 ? ? 01202219981999 2 ???? xx 的較大根為 r，方程 0120222022 2 ??? xx 的較小根為 s，則sr 的值為 。 7 例 已知 ， x、 yyxyx 0136422 ????? 為實數(shù)，求 yx 的值。 類 型四、公式法 ⑴條件： ? ?04,0 2 ??? acba 且 ⑵公式： a acbbx 2 42 ???? ,? ?04,0 2 ??? acba 且 典型例題： 例 選擇適當(dāng)方法解下列方程： ⑴ ? ? .613 2 ?? x ⑵ ? ?? ? .863 ???? xx ⑶ 0142 ??? xx ⑷ 0143 2 ??? xx ⑸ ? ?? ? ? ?? ?5211313 ????? xxxx 例 在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式： （ 1） 3222 ?? xx ； （ 2） 184 2 ??? xx . ⑶ 22 542 yxyx ?? 說明：①對于二次三項式 cbxax ??2 的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解， 一般情況要用求根公式，這種方法首先令 cbxax ??2 =0，求出兩根，再寫成 cbxax ??2 = ))(( 21 xxxxa ?? . ②分解結(jié)果是否把二次項系數(shù)乘進括號內(nèi)，取決于能否把括號內(nèi)的分母化去 . 類型五、 “降次思想”的應(yīng)用 ⑴求代數(shù)式的值； ⑵解二元二次方程組。 例 用兩種不同的方法解方程組 ??? ??? ?? )2(.065 )1(,6222 yxyxyx 說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：①先消元，再降次；②先降次，再 消元。 例 已知二次三項式 2)6(9 2 ???? mxmx 是一個完全平方式，試求 m 的值 . 例 m 為何值時，方程組??? ?? ?? .3 ,62 22 ymx yx 有兩個不同的實數(shù)解？有兩個相同的實數(shù)解？ 針對練習(xí)： ★ 當(dāng) k 時，關(guān)于 x 的二次三項式 92 ??kxx 是完全平方式。