【正文】 10．化簡 ? ?224 4 1 2 3x x x? ? ? ?得（ ） （ A） 2 （ B） 44x?? （ C） 2? （ D） 44x? 二、填空題 11．若 21x? 的平方根是 5? ，則 4 1 __ __ _x ?? ． 12．當 _____x 時，式子 534xx??有意義． 13．已知：最簡二次根式 4ab? 與 23ab? 的被開方數(shù)相同，則 _____ab?? ． 14．若 x 是 8 的整數(shù)部分， y 是 8 的小數(shù)部分，則 ____x? ， _____y? ． 15．已知 2022 xy??，且 0 xy?? ，則滿足上式的整數(shù)對 ? ?,xy 有 _____． 16．若 11x? ? ? ，則 ? ?21 1 _ _ _ _ _xx? ? ? ?． 17．若 0xy? ，且 32x y xy x?? 成立的條件是 _____． 18．若 01x??，則 221144xxxx? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?等于 _____． 三、解答題 1 9．計算下列各題：（ 1） 311 5 2 0 653??? ? ?????； （ 2） 321 3 42 7 3 1 0 8 .3 3 3aa a a aa? ? ? 20．已知 ? ? ? ? ? ? ? ?2 0 0 6 2 0 0 7 0 22 5 5 2 2 5 2 2a ? ? ? ? ? ? ?，求 2 4aa? 的值 ． A． 已知 yx, 是實數(shù)，且 3 299 22 ? ????? x xxy ，求 yx 65 ? 的值 . B． 若 42 ??yx 與 ? ?212 ?? yx 互為相反數(shù)，求代數(shù)式 32341 yyxx ??的值 . 23．若 a b S、 、 滿足 3 5 7 , 2 3a b S a b? ? ? ?，求 S 的最大值和最小值 . 5 一 元 二 次 方 程 一、知識結(jié)構(gòu)： 一元二次方程???????韋達 定理根的判 別解與解法 二、考點精析 考點一、概念 (1)定義： ① 只含有一個未知數(shù) ． ． ． ． ． ． ． ． ，并且 ② 未知數(shù)的最高次數(shù)是 ． ． ． ． ． ． ． ． ． 2． ，這樣的 ③ 整式方程 ． ． ． ． 就是一元二次方程。 (2)一般表達式： )0(02 ???? acbxax ⑶難點 ： 如何理解 “未知數(shù)的最高次數(shù)是 2”： ①該項 系數(shù)不為“ 0”； ②未知數(shù) 指數(shù)為“ 2”； ③若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。 典型例題： 例 下列方程中是關于 x 的一元二次方程的是（ ） A ? ? ? ?1213 2 ??? xx B 02112 ??? xx C 02 ??? cbxax D 12 22 ??? xxx 變式：當 k 時，關于 x 的方程 32 22 ??? xxkx 是一元二次方程。 例 方程 ? ? 0132 ???? mxxm m 是關于 x 的一元二次方程，則 m 的值為 。 針對練習： ★ 方程 78 2?x 的一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 。 ★ 若方程 ? ? 02 1 ?? ?mxm 是關于 x 的一元一次方程， ⑴求 m 的值；⑵寫出關于 x 的一元一次方程。 ★★ 若 方程 ? ? 11 2 ???? xmxm 是關于 x 的一元二次方程，則 m 的取值范圍是 。 ★★★ 若方程 nxm+xn2x2=0 是一元二次方程，則下列不可能的是（ ） =n=2 =2,n=1 =2,m=1 =n=1 考點二、方程的解 ⑴概念： 使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。 ⑵應用 ： 利用根的概念求代數(shù)式的值； 典型例題： 例 已知 32 2 ??yy 的值為 2，則 124 2 ?? yy 的值為 。 例 關于 x 的一元二次方程 ? ? 042 22 ????? axxa 的一個根為 0，則 a 的值為 。 例 已知關于 x 的一元二次方程 ? ?002 ???? acbxax 的系數(shù)滿足 bca ?? ，則此方程 必有一根為 。 例 已知 ba, 是方程 042 ??? mxx 的兩個根， cb, 是方 程 0582 ??? myy 的兩個根， 則 m 的值為 。 針對練習： ★ 已知方程 0102 ??? kxx 的一根是 2，則 k 為 ，另一根是 。 ★ 已知關于 x 的方程 022 ??? kxx 的一個解與方程 311???xx 的解相同。 ⑴求 k 的值； ⑵方程的另一個解。 ★ 已知 m 是方程 012 ??? xx 的一個根，則代數(shù)式 ??mm2 。 ★★ 已知 a 是 0132 ??? xx 的根，則 ?? aa 62 2 。 ★★ 方程 ? ? ? ? 02 ?????? acxcbxba 的一個根為（ ） A 1? B 1 C cb? D a? ★★★ 若 ????? yx則yx 324,0352 。 考點三、解法 ⑴方法： ①直接開方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵關鍵點： 降次 類型一、直接開方法： ? ? mxmmx ????? ,02 ※※對于 ? ? max ?? 2 ， ? ? ? ?22 nbxmax ??? 等形式均適用直接開方法 典型例題： 例 解方程： ? ? 。0821 2 ??x ? ? 216252 x? =0。 ? ?? ? 。0913 2 ??? x 例 若 ? ? ? ?22 21619 ??? xx ，則 x 的值為 。 6 針對練習： 下列方程無解的是（ ） A. 123 22 ??? xx B.? ? 02 2 ??x C. xx ??? 132 D. 092 ??x 類型二、因式分解法 :? ?? ? 021 ??? xxxx 21 , xxxx ??? 或 ※ 方程特點： 左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“ 0”， ※ 方程形式： 如 ? ? ? ?22 nbxmax ??? ， ? ?? ? ? ?? ?cxaxbxax ????? ， 02 22 ??? aaxx 典型例題： 例 ? ? ? ?3532 ??? xxx 的根為（ ） A 25?x B 3?x C 3,2521 ?? xx D 52?x 例 若 ? ? ? ? 04434 2 ????? yxyx ，則 4x+y 的值為 。 變式 1： ? ? ? ? ??????? 2222222 ,06 b則 ababa 。 變式 2：若 ? ?? ? 032 ????? yxyx ，則 x+y 的值為 。 變式 3：若 142 ??? yxyx ， 282 ??? xxyy ，則 x+y 的值為 。 例 方程 062 ??? xx 的解為（ ） A. 23 21 ??? ，xx B. 23 21 ??? ，xx C. 33 21 ??? ，xx D. 22 21 ??? ，xx 例 解方程： ? ? 04321322 ????? xx 例 已知 0232 22 ??? yxyx ,則yx yx??的值為 。 變式：已知 0232 22 ??? yxyx ,且 0,0 ?? yx ,則yx yx??的值為 。 針對練習： ★ 下列說法中： ①方程 02 ??? qpxx 的二根為 1x ， 2x ，則 ))(( 212 xxxxqpxx ????? ② )4)(2(862 ?????? xxxx . ③ )3)(2(65 22 ????? aababa ④ ))()((22 yxyxyxyx ????? ⑤方程 07)13( 2 ???x 可變形為 0)713)(713( ????? xx 正確的有（ ） 個 個 個 個 ★ 以 71? 與 71? 為根的一元二次方程是（） A． 0622 ??? xx B． 0622 ??? xx C． 0622 ??? yy D． 0622 ??? yy ★★ ⑴寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為 1，且兩根互為倒數(shù)： ⑵寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為 1，且兩根互為相反數(shù)： ★★ 若實數(shù) x、 y 滿足 ? ?? ? 023 ????? yxyx ，則 x+y 的值為（ ） A、 1 或 2 B、 1 或 2 C、 1 或 2 D、 1 或 2 方程： 2122 ??xx的解是 。 ★★★ 已知 066 22 ??? yxyx ，且 0?x ， 0?y ，求yx yx ??3 62的值。 ★★★ 方程 ? ? 01202219981999 2 ???? xx 的較大根為 r，方程 0120222022 2 ??? xx 的較小根為 s，則sr 的值為 。 類型三、配方法 ? ?002 ???? acbxax2224 42 a acbabx ???????? ?? ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式 的值或極值之類的問題。 典型例題： 例 試用配方法說明 322 ?? xx 的值恒大于 0。 例 已知 x、 y 為實數(shù)，求代數(shù)式 74222 ???? yxyx 的最小值。 7 例 已知 ， x、 yyxyx 0136422 ????? 為實數(shù)，求 yx 的值。 例 分解因式： 3124 2 ?? xx 針對練習： ★★ 試用配方法說明 4710 2 ??? xx 的值恒小于 0。 ★★ 已知 041122 ????? xxxx，則 ?xx 1 . ★★★ 若 91232 2 ????? xxt ，則 t 的最大值為 ，最小值為 。 ★★★ 如果 4122411 ????????? bacba ,那么 cba 32 ?? 的值為 。 類 型四、公式法 ⑴條件： ? ?04,0 2 ??? acba 且 ⑵公式： a acbbx 2 42 ???? ,? ?04,0 2 ??? acba 且 典型例題： 例 選擇適當方法解下列方程： ⑴ ? ? .613 2 ?? x ⑵ ? ?? ? .863 ???? xx ⑶ 0142 ??? xx ⑷ 0143 2 ??? xx ⑸ ? ?? ? ? ?? ?5211313 ????? xxxx 例 在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式： （ 1） 3222 ?? xx ； （ 2） 184 2 ??? xx . ⑶ 22 542 yxyx ?? 說明：①對于二次三項式 cbxax ??2 的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解， 一般情況要用求根公式，這種方法首先令 cbxax ??2 =0，求出兩根，再寫成 cbxax ??2 = ))(( 21 xxxxa ?? . ②分解結(jié)果是否把二次項系數(shù)乘進括號內(nèi)，取決于能否把括號內(nèi)的分母化去 . 類型五、 “降次思想”的應用 ⑴求代數(shù)式的值； ⑵解二元二次方程組。 典型例題： 例 已知 0232 ??? xx ，求代數(shù)式 ? ? 1 11 23? ??? x xx 的值。 例 如果 012 ??? xx ，那么代數(shù)式 72 23 ?? xx 的值。 例 已知 a 是一元二次方程 0132 ??? xx 的一根，求 1 152223 ? ??? a aaa 的值。 例 用兩種不同的方法解方程組 ??? ??? ?? )2(.065 )1(,6222 yxyxyx 說明：解二元二次方程組的