【正文】 ??＝－溢價＝價出售時，我們就稱債券按溢超過其償還值當債券價格變形，可得：對上面的基本公式進行三 基價公式 nnnnnnnvGCGCvvGCvGi aCvr F aPrFiGrF)()1(,??????????＝代入基本公式可得基價即收入說必需的投資額，相等的利息了獲得與息票收入債券的基價是投資者為四 Makeham公式 )()(1KCigKCvCigCvCvivgCCvr F aPnnnnnn??????????????? ????例 ? 債券的面值為 1000元，年息票率為 5％，期限為 6年，到期按面值償還，投資者要求的年收益率為 %，試計算債券購買價格。方法所支付的利息也相兩種，兩種方法等價。減過去已經(jīng)償還本金的金余額等于借款本金扣在過去法下，未償還本法計算：過去法和將來法兩種方未來法 nkRaB iknk , .. .. ,2,1, ?? ?值，即總金額在計算時點的現(xiàn)是將來需要償還的將來法未償還本金余額證明兩種方法的一致性 iknknkknikkinikkkinRaivRiiiivRRsiRaRsiBBRaB???????????? ??????????????11)1()1(1)1()1(00分期償還表（等額貸款為例） 時期 每次還款額 每次償還利息 每次償還本金 貸款余額 0 1 1 k 1 n 1 0 總計 n ??????????nanv?1 nv1?na11 ??? knv 1??knvkna?v?1 vnan? na例 ? 某借款人每月末還款一次，每次等額還款，共分 15年還清貸款。 分期償還 ? 常見分期償還類型 ? 等額分期償還 ? 不等額分期償還 ? 遞增分期償還 ? 遞減分期償還 ? 分期償還五要素 ? 時期 ? 每次還款額 ? 每次償還利息 ? 每次償還本金 ? 未償還貸款余額 （一）等額分期償還 。 ? 時間加權(quán)方法得到的是在這種市場條件下能達到的理論收益率。 該基金每年年末按 7%的年實質(zhì)利率返還利息，假如利息可按 5%實質(zhì)利率再投資，問 10年后這 10萬元的積累金額等于多少？ 0 1 2 10 例 利息再投資帳戶 基金帳戶 例 1 0 5 %1000 00 7000njP i Pss????利息的再投資問題（二） ? 例 （例 ） ? 假如此人在 10年期內(nèi)每年年初都投資 1萬元進基金 A， 本金按 7%年實質(zhì)利率計息，而利息可按 5%實質(zhì)利率再投資，那么第 10年末該這10萬本金的積累金額又等于多少？ 0 1 2 10 例 基金帳戶 利息再投資帳戶 基金收益率計算 ? 基本符號 ? A=初始資金 ? B=期末資金 ? I=投資期內(nèi)利息 ? Ct= t時期的凈投入（可正可負） ? C= ? 在 b時刻投資 1元，經(jīng)過 a時期的積累，產(chǎn)生的利息 tt C?abi1ab??幣值加權(quán)方法 ( 1 )1( 1 ) [ ( 1 ) 1 ] ( 1 )( 1 )( 2)1a ss um e t ha t ne t prin c i pa l c on t r i bu t i on s oc c ur a t t i m e t = ,22( 1 ) ( )tt t t t tt t tttttI i A C i i A C i i A C t iIiA C tB A C It he nI I I IiA C t A C A B A I B A I??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???時間加權(quán)方法 ? 原理 時間 0 1 2 m1 m 投資 C1 C2 C3 Cm1 金額 B0 B1 B2 Bm1 Bm 收益率 j1 j2 j3 jm1 jm 基本公式 111210 0 1 11 , 1 , 2 , ,1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1kkkkmmmmBj k mBCi j j jBBiB C B C????? ? ??? ? ? ? ?? ? ???例 ? 某投資基金 ? 1月 1日，投資 100000元 ? 5月 1日，該筆資金額增加到 112022元 ,并再投資 30000元 ? 11月 1日，該筆資金額降低為 125000元，并抽回投資 42022元。 ? 收益率唯一性的判定定理二 ? 整個投資期間未動用投資余額始終為正。也稱為 “ 內(nèi)返回率 ” ? 用線形插值法求得上例中收益率為 % ? 收益率投資方希望收益率越高越好，借貸方希望收益率越低越好。（精算時刻） 例 1414 14 14 141415 141414 14 .21 1410 0 10 00 14 .21( 1 ) 10 00 ( 5 ) 10 0 20 .0712 7 ( )( 2) 20 .07 5 21 .07 ( )( 3 ) 10 00 ( 5 ) 10 0 20 .07 5 20 .27nanFD sR R FD ba l l oo n pa y me ntFDR FD dr op pa y me ntFD sR FD? ? ?? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?變利率年金問題 ? 類型一：時期利率 (第 K個時期利率為 ) ki1 1 1 1 1 11 1 2 1 211 11 1 111 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 )nntnst sn n n n nntnnst sa i i i i i iis i i i i i ii? ? ? ? ? ??? ?????? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ?? ?變利率年金問題 ? 類型二：付款利率（第 K次付款的年金始終以利率 計息） ki1212121 1 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nntntntnntn n n tnta i i i is i i i i? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???例 : ? 某人每年年初存進銀行 1000元 ,前 4年的年利率為 6%,后 6年由于通貨膨脹率 ,年利率升到 10%,計算第 10年年末時存款的積累值 . 例 :%)101(,10%106??????兩筆年金積累值之和為年的積累值為后六年年金積累到第十積累值為年年末的年利率積累到第這筆存款再按年年末積累值為前四年的積累值在第四ss????例 : ? 某人每年年初存進銀行 1000元 ,前 4次存款的年利率為 6%,后 6次付款的年利率升到10%,計算第 10年年末時存款的積累值 . 例 :%)61(,10%66??????兩筆年金積累值之和為年的積累值為后六年年金積累到第十積累值為年年末的年利率積累到第這筆存款再按積累值為前四次付款第四年年末ss????三、一般年金 ? 一般年金 ? 利率在支付期發(fā)生變化 ? 付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率不一致 ? 每次付款金額不恒定 ? 分類 ? 支付頻率不同于計息頻率的年金 ? 支付頻率小于計息頻率的年金 ? 支付頻率大于計息頻率的年金 ? 變額年金 支付頻率不同于計息頻率年金 ? 分類 ? 支付頻率小于利息轉(zhuǎn)換頻率 ? 支付頻率大于利息轉(zhuǎn)換頻率 ? 方法 ? 通過名義利率轉(zhuǎn)換，求出與支付頻率相同的實際利率。這筆財產(chǎn)頭10年的利息付給受益人 B， 第 2個 10年的利息付給受益人 C， 此后的利息都付給慈善機構(gòu) D。在時刻公式右側(cè)表示投資的回進行投資，投資本金是刻意義：公式左側(cè)表示時這個公式有明顯的經(jīng)濟ivnnianinn011010求證 11)1()1(11??????????nnnnnnnnssaaissiaa????????一年多次收付的年金 ])1(1[111111. . .1111/1)()(11/)1()1(21)()(mmmnmnnmmnmmmnmnimddvvvmvmvmvmvmmaammn???????????????????????＝，可得年金現(xiàn)值，以元的期首付次，每次年定期，每年收付對于????續(xù)上 )()()()(/1)()(/2/1)()(1)1(1)1(/1]1)1[(11. ..11/1mnmnmnmnmmmnnmmmnmniisdisnmmnimiivvmvmvmaamm???????????????????年末的終值為元的期首付年金在次，每次年定期年金，每年收付＝表示，可得元期末付年金現(xiàn)值以次，每次每年收付例 ? 一項年金在 20年內(nèi)每半年末付 500元，設利率為每半年轉(zhuǎn)換 9%，求此項年金的現(xiàn)時值。 ? 分類 ? 基本年金 ? 等時間間隔付款 ? 付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率一致 ? 每次付款金額恒定 ? 一般年金 ? 不滿足基本年金三個約束條件的年金即為一般年金 二、基本年金 ? 基本年金 ? 等時間間隔付款 ? 付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率一致 ? 每次付款金額恒定 ? 分類 ? 付款時刻不同：初付年金 /延付年金 ? 付款期限不同：有限年金 /永久年金 基本年金圖示 0 1 2 3 n n+1 n+2 1 1 1