【正文】 镲镲犏 輊 睚臌犏 镲镲鉿臌 229。 具有獨(dú)立增量性 ,有 ( ) ( ) RsE R t ER t輊輊 犏臌臌 F ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }RsE R t R s E R t R s R s E R s輊= + 犏臌 F 一類雙 險(xiǎn)種復(fù)合非齊次 Poisson 風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的破產(chǎn)概率 第 14 頁(yè) 共 23 頁(yè) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )R s E R s E R t R s E R t R s輊= + 犏臌 ( ) ( )R s ER s= 證畢。 0 ,RRtFt=?F 其中 1 2 1 2M M N NRt t t t t= 譖 ?F F F F F 定理 ( ) ( )R t ER t 是 RF 鞅。 有限時(shí)間破產(chǎn)概率的一個(gè)上界 為方便起見(jiàn)，令 ? ? ? ?? ?1 iii ict vt???? ，則首先可以得到 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?121 1 2 2 11e xp e xpN t N tijijE rR t E rc t M t rc t M t r X r Y????????? ? ? ? ? ??? ?????????? ?? 一類雙 險(xiǎn)種復(fù)合非齊次 Poisson 風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的破產(chǎn)概率 第 13 頁(yè) 共 23 頁(yè) ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2200111!!i iik kAt Btki ir k c tikkiie A t e B te h rkk? ?????????? ???? ??? ? ? ??? ???????????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2211e x p 1 e x pir c ti i iiiA t e B t h r????? ???? ?????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 1e x p 1ir c ti i ii A t e B t h r????? ? ?????? ? ? ? ?2 1e x p ,iii B t g r t???? ????? 其中 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?,1ir c ti i ig r t v t e h r?? ? ? 容易看到，盈余過(guò)程 ? ?? ?。 以上 ? ? ? ?,ijA t B t 均為連續(xù)非減函數(shù)，滿足 ? ? ? ?0 0 , 0 0ijAB??，對(duì)每一個(gè)t?? ，均有 ? ?iAt?? ， ? ?jBt?? ? ?, 1,2ij? 。保險(xiǎn)公司當(dāng)然希望 0,t?? 有 ? ? ? ?iiA t B t ? ?1,2i? ，否則這種保險(xiǎn)產(chǎn)品就沒(méi)有經(jīng)營(yíng)的價(jià)值。0jN t t ? 是相互獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程 ? ?1, 2。 模型的建立 假設(shè)保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)獨(dú)立的險(xiǎn)種。在風(fēng)險(xiǎn)理論中，古典風(fēng)險(xiǎn)模型是研究歷史較長(zhǎng)、理論最為完善的風(fēng)險(xiǎn)模型，但也是最簡(jiǎn)單的風(fēng)險(xiǎn)模型，模型中保險(xiǎn)公司單位時(shí)間內(nèi)收到的保費(fèi)是一常數(shù)，且索賠到達(dá)是一齊次 Poisson過(guò)程。 由定義 知，知道了到時(shí)刻 t 的歷史，我們就可以知道是不是 Tt? 。 一個(gè) F 鞅 ? ?( )。 0 ，定義 ? ?( )。因此 ,我們可以定義 ()t? 的反函數(shù)如下 : 對(duì)于每一個(gè) 0t? 1 in f { , ( ) }( ) ( ) 0 , ( )u u sst u s u? ? ???? ? ? ? ??? 若 對(duì) 所 有 的 (23) 鞅論的基礎(chǔ)知識(shí)及有關(guān)結(jié)果 條件期望的平滑性：設(shè)隨機(jī)變量 ??和 , 則： [ ( | )]E E E? ? ?? 。 累積強(qiáng)度 定義 []12 帶時(shí)倚強(qiáng)度 ()t? 的泊松過(guò)程 ??? ?。 (3) 有獨(dú)立增量 。另外，由 Poisson 分布的性質(zhì)知道，? ?()E N t t?? ， 于是可認(rèn)為 ? 是單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生事件的平均次數(shù)，一般稱 ? 是Poisson 過(guò)程的強(qiáng)度或速率，在有些著作中它被為“發(fā)生率”。 睚镲镲鉿 229。故本論文模型對(duì)古典風(fēng)險(xiǎn)模型的推廣主要有三個(gè)方向： 險(xiǎn)種的推廣：由單一險(xiǎn)種推廣至雙險(xiǎn)種； 保費(fèi)收入由單位時(shí)間常數(shù)速率到達(dá)推廣為保單到達(dá)計(jì)數(shù)過(guò)程均為非齊次Poisson 過(guò)程； 索賠到達(dá)計(jì)數(shù)過(guò)程由齊次 Poisson 過(guò)程推廣為非齊次 Poisson 過(guò)程； 本論文的主要結(jié)果： 有限時(shí)間破產(chǎn)概率的一個(gè)上界： ( ) ( ), uu t P T ty =? ( ) ( )20 1s u p e x p ,ru iist ie B s g r s＃ =禳镲镲163。由于它不能很好地反映保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)的現(xiàn)實(shí)情況，已有許多風(fēng)險(xiǎn)理論研究者 對(duì)古典風(fēng)險(xiǎn)模型作出了各種更符合經(jīng)營(yíng)實(shí)際的推廣。但隨著國(guó)外實(shí)力雄厚的保險(xiǎn)公司對(duì)國(guó)內(nèi)業(yè)務(wù)的滲透，風(fēng)險(xiǎn)理論在我國(guó)飛速發(fā)展，日益成為一個(gè)熱門(mén)研究領(lǐng)域。很多條件都是為數(shù)學(xué)上處理方便而假設(shè)的，不能刻劃保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)的實(shí)際情況，因此很多風(fēng)險(xiǎn)理論研究者們對(duì)古典風(fēng)險(xiǎn)模型作出了各種推廣。并令 ? ? ? ?0 1rzh r e d F z????。 根據(jù)保費(fèi)定價(jià)的均值原理，保費(fèi)收入應(yīng)大于索賠期望，即 [ ( )] ( ) 0E U t c t??? ? ?。0N N t t??與隨機(jī)變量序列 ? ?12,XX 相互獨(dú)立； （ 3） 假設(shè) ? ?12,XX 有共同 的分布函數(shù) ??Fx滿足 ? ?00F ? ,并且有期望 ? ，方差 2? 則定義： 一類雙 險(xiǎn)種復(fù)合非齊次 Poisson 風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的破產(chǎn)概率 第 4 頁(yè) 共 23 頁(yè) () 011U ( t) = , ( 0 )Ntkkkkc t X X??????令 其中， c 為正的常量。 令 ? ?,P?F 是一個(gè)完備的概率空間，模型中的隨機(jī)變量和隨機(jī)過(guò)程都是定義在這個(gè)概率空間上。 古典風(fēng)險(xiǎn)模型主要結(jié)果及 其推廣 到目前為止，古典風(fēng)險(xiǎn)模型已經(jīng)是較為成熟風(fēng)險(xiǎn)模型。若不考慮利息和其它除了保費(fèi)和理賠之外的影響盈余的因素，例如附加費(fèi)和保單持有人的分紅等等，并假設(shè)保費(fèi)以常數(shù)率 0c? 連續(xù)收取，? ?0Uu? 為時(shí)刻 0 時(shí)的初始盈余（即初始準(zhǔn)備金），則有 一類雙 險(xiǎn)種復(fù)合非齊次 Poisson 風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的破產(chǎn)概率 第 3 頁(yè) 共 23 頁(yè) ? ? ? ?1NtiiU t u ct X?? ? ? ?， 0t? (14) 其中 ??Nt為直到時(shí)刻 t 所發(fā)生的索賠次數(shù)， iX 為第 i 次的索賠額， ??1Ntii X??即為直到時(shí)刻 t 的總索賠量。 以上關(guān)心的是固定短時(shí)期內(nèi)用 N 的分布和 iX 所服從的共同分布來(lái)表示 S的分布，稱為短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型。 另一種是聚合風(fēng)險(xiǎn)模型 (collective risk model),視個(gè)別保單理賠的產(chǎn)生是隨機(jī)過(guò)程，記 N 是給定時(shí)期中保單的理賠次數(shù)， iX 是第 i 次的理賠量，則 12 NS X X X? ? ? ? (12) 表示這一時(shí)期的總理賠。歷史上對(duì) S 的分布有兩種類型假設(shè)：一種是個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)模型 (individual risk model),即 12 nS X X X? ? ? ? (11) 其中 iX 是保險(xiǎn)單 i 的損失， n 是保單總數(shù)。 （ 2） Grandell, Aspects of Risk Theory， 1991,書(shū)中，從索賠到達(dá)過(guò)程的角度介紹了古典風(fēng)險(xiǎn)模型、更新模型、 Cox 模型、平穩(wěn)模型等 []2 。 有關(guān)風(fēng)險(xiǎn)理論的專著主要有 : （ 1） Hans 。 一類雙 險(xiǎn)種復(fù)合非齊次 Poisson 風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的破產(chǎn)概率 第 1 頁(yè) 共 23 頁(yè) 1 緒論 風(fēng)險(xiǎn)理論簡(jiǎn)介 隨著保險(xiǎn)業(yè)在世界范圍內(nèi)的迅猛發(fā)展，風(fēng)險(xiǎn)理論的研究不僅在理論上具有較高的意義，更是成為保險(xiǎn)公司生存發(fā)展的迫切需要。應(yīng)用隨機(jī)過(guò) 程的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果來(lái)研究風(fēng)險(xiǎn)理論，不僅大大簡(jiǎn)化了經(jīng)典結(jié)果的證明，而且可以解決許多新問(wèn)題，比如平均破產(chǎn)時(shí)間、破產(chǎn)前最大盈余的分布、引起破產(chǎn)索賠的分布、破產(chǎn)瞬間前后盈余額的分布、以及從破產(chǎn)到恢復(fù)期間最大盈余額的分布等，風(fēng)險(xiǎn)理論的研究取得了重大的突破。破產(chǎn)理論主要包括有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)破產(chǎn)的概率、 seal 方法、關(guān)于Ψ（ x）的若干泛函 方程、關(guān)于調(diào)節(jié)系數(shù)的兩個(gè)不等式、（已知破產(chǎn)發(fā)生時(shí)）在破產(chǎn)時(shí)刻的負(fù)盈余的條件分布、破產(chǎn)時(shí)刻的矩、紅利界限對(duì)于破產(chǎn)概率的影響等 []1 。對(duì)于保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)，其某種風(fēng)險(xiǎn)的隨機(jī)損失（理賠）記為 S ,隨機(jī)變量 S 的概率分布是需要知道的。若設(shè)保單總數(shù) n 在所考慮的周期一開(kāi)始就已知且固定，就是封閉模型 (closed model), 若對(duì)保單增減作出假設(shè)，就得到開(kāi)放模型(open model)。 2? 隨機(jī)變量 N , 12,XX,?相互獨(dú)立。用數(shù)學(xué)模型表示，盈余過(guò)程 (surplus process) ??Ut是一隨機(jī)過(guò)程 ? ? ? ? ? ?U t A t L t?? ， 0t? (13) 其中 ??At 表示時(shí)刻 t 的 實(shí)際資產(chǎn)， ??Lt 表示在時(shí)刻 t 的實(shí)際負(fù)債， ??Ut表示在時(shí)刻 t 保險(xiǎn)人的盈余。但是，破產(chǎn)發(fā)生的概率（即破產(chǎn)概率 ??u? ）畢竟是衡量一個(gè)保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)金融風(fēng)險(xiǎn)的極其重要的尺度，可以為保險(xiǎn)公司決策者提供一個(gè)早期風(fēng)險(xiǎn)的警示手段。但它做為一個(gè)較為完善的風(fēng)險(xiǎn)模型，為風(fēng)險(xiǎn)模型的研究奠定了基礎(chǔ)，具有較高的理論意義。0N N t t??， ? ?00N ? ，是一個(gè)強(qiáng)度為 ? （ 0?? 為實(shí)常數(shù)）的齊次 Poisson 過(guò)程； （ 2）各次的索賠額構(gòu)成一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量 ? ?12,XX ； 并且計(jì)數(shù)過(guò)程? ?? ?。并且其期望值： [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( )kE U t c t E N t E X c t??? ? ? ? 定義相對(duì)安全負(fù)荷 ? ?? ? ? ? 1iUtE cE E XNt? ??????? ? ?????。 當(dāng)初始準(zhǔn)備金為 u 時(shí)，最終破產(chǎn)概率定義為 ? ? ? ?? ?0 , 0u P U t t? ? ? ? ?，則生存概率 ? ? ? ?1uu?? ? ? 。 盡管古典風(fēng)險(xiǎn)模型已經(jīng)較為成熟，但仍具有較大的局限性。 我國(guó)的保險(xiǎn)事業(yè)起步較晚，風(fēng)險(xiǎn)理論在我國(guó)的發(fā)展才只有十 幾年歷史，風(fēng)險(xiǎn)理論在實(shí)際中的應(yīng)用還不夠深入。0N t t? 表示索賠到達(dá)計(jì)數(shù)過(guò)程，并且保費(fèi)收入以單位時(shí)間常數(shù)速率到達(dá)，這樣的假設(shè)過(guò)于理想化 。 本論文的主要內(nèi)容及結(jié)果 由于在實(shí)際中，保費(fèi)到達(dá)計(jì)數(shù)過(guò)程與索賠到達(dá)計(jì)數(shù)過(guò)程的強(qiáng)度均有可能不是一個(gè)常數(shù)，而與時(shí)間有關(guān)系。 =禳镲镲163。 Poisson 過(guò)程是具有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量的計(jì)數(shù)過(guò)程，它的定義如下： 定義 []12 計(jì)數(shù)過(guò)程 ? ?( ), 0N t t? 稱為參數(shù) 為 ? ( 0)?? 的 poisson 過(guò)程，如果 （ 1） ( (0) 0) 1PN ??； （ 2） 過(guò)程有獨(dú)立增量； （ 3） 對(duì)任意的 ,0st? ， ? ? ? ?( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , . . .! nt tP N t s N s n e nn? ??? ? ? ? ? 從定義 中 (3)可見(jiàn) ( ) ( )N t s N s?? 的分布不依賴于 s ，所以定義 中（ 3）蘊(yùn)含了過(guò)程具有平穩(wěn)增量性。 (2) 對(duì)任意實(shí)數(shù) 0t? 和 0s? ,增量 ( ) ( )N t s N t?? 滿足參數(shù)為 ( ) ( )t s t? ? ?? 的泊松分布 ,這里 ( ) [ ( )]t E N t?? 是 R? 上的非負(fù)單調(diào)不減連續(xù)函數(shù) ,并稱做過(guò)程的累積強(qiáng)度 (或簡(jiǎn)稱累積強(qiáng)度 )。 (2) 過(guò)程是普通