【正文】 ?， (0 1)??? ． 又 DxxxxP nn ????? ),( 01101 ?? ? ，所以 ， )()( 11 PgPfii xx ???， ni ,2,1 ?? ．即 ?? ?? ????? ni ixni ix xPgxPf ii 1 11 1 )()( ． 所以 ， 10 1 0 10 0( , , ) ( , , )n n nf x x x x f x x? ? ? ? ? 10 1 0 10 0( , , ) ( , , )n n ng x x x x g x x? ? ? ? ? ?． 即 )]()([)()( 00 PgPfPgPf ??? ． 設(shè) CPgPf ?? )()( 00 ，則 DP?? ， 有 CPgPf ?? )()( ， 其中 C 是常數(shù) ． 例 證明 ： 設(shè) n 元函數(shù) f 在凸開域 nRD? 上可微 ， 對 D 內(nèi)任意兩點 ),( 020211 nxxxP ? ， 2 10 1 20 2 0( , , , )nnP x x x x x x D? ? ? ? ? ? ?， 有 ),(),( 0100110 nnn xxfxxxxf ?? ????? ， 且 DPaPf ix ???? ,)( （ a 是常數(shù)且 0?a ） 其中 ? ?1,2, ,in? ． 則 01 ????ni ix ． 證明 因為 n 元函數(shù) f 在 D 上滿足 n 元函數(shù)的羅爾定理的條件 ， 所以 ，)1,0(??? ， 使得 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No 18 0),(1 0110 ?????????ni innx xxxxxf i ?? ?， 由 已知條件， 點 DxxxxP nn ????? ),( 01103 ?? ? ， 有 aPfix ?? )( 3， ni ,2,1 ?? ． 所以 ， 01 ????ni ixa ， 01 ????ni ixa ． 因此 ， 01 ????ni ix． 例 若 ( , , ) si n si n si nf x y z x y z? ， 證明對某 )1,0(?? 有 6c os4s i n3s i n66s i n4c os3s i n46s i n4s i n3c os38 6 ????????????????????? ??? ． 證明 三元函數(shù) zyxzyxf s ins ins in),( ? 在凸開域 3RD? 上連續(xù) ， 在 D 的所有內(nèi)點都可微 ， 則對 D 內(nèi)任意兩點 1 1 1 1( , , )P x y z ， 2 1 1 1 1 1 1( , , )P x x y y z z D? ? ? ? ? ? ?， 根據(jù) n 元函數(shù)的拉格朗日定理 ， )1,0(??? ， 使得 ),(),( 111111111 zyxfzzyyxxf ??????? ?????????? 1111111 ),( xzzyyxxf x ??? ????????? 1111111 ),( yzzyyxxf y ??? 1 1 1 1 1 1 1( , , )zf x x y y z z z? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?． 即 111111111 s i ns i ns i n)s i n ()s i n ()s i n ( zyxzzyyxx ??????? ????????? 1111111 )s i n ()s i n ()c o s ( xzzyyxx ??? ???????? 1111111 )s i n ()c o s ()s i n ( yzzyyxx ??? 1111111 )c o s ()s i n ()s i n ( zzzyyxx ??????? ??? 令 6,4,3111 ??? ?????? zyx， 則 111111 s i ns i ns i n)6s i n()4s i n()3s i n( zyxzyx ???? ??? 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No 19 ?????? 3)6s i n()4s i n()3c os ( 111 ??????? zyx 1 1 1s in ( ) c o s ( ) s in ( )3 4 6 4x y z? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 6)6c os ()4s i n()3s i n( 111 ??????? ???? zyx． 取 1 1 1 0x y z? ? ? ， 則 ??? ????????????????? 6s i n4c os3s i n46s i n4s i n3c os36s i n4s i n3s i n s in s in c o s6 3 4 6? ? ? ?? ? ?， 即 6c os4s i n3s i n66s i n4c os3s i n46s i n4s i n3c os38 6 ????????????????????? ??? ． 例 若在區(qū)域 nRD? 內(nèi) f 的諸偏導(dǎo)數(shù) )(Pfix? ),2,1( ni ??存在且 有界 ， 則函數(shù) f 在 D 內(nèi)連續(xù) ． 證明 假 設(shè) MPfix ?? |)(|， DP? ， ni ,2,1 ?? ． 任取 DP? ， 設(shè) ),( 2211 nn xxxxxxPP ????????? ?， 與連接 P 及 PP ?? 的直線段 (設(shè) || PP ?? 充分小 )全部包含在 D 內(nèi) ， 則由 n 元函數(shù)的拉格朗日定理 ， 得 |)(||)()(|1?? ????????ni ix xPPfPfPPf i ? |||||)(|1 PnMxPPf ini x i ???????? ?? ? ?? ??ni ixnM 12)( ， 10 ??? ． 于是 ， 0??? ， nM/?? ?? ， 使 得 當(dāng) ???? || PP 時 ， 有 ????? |)()(| PfPPf ． 所以 ， 函數(shù) f 在點 P 連續(xù) ． 由 P 的任意性知 ， 函數(shù) f 在 D 內(nèi)連續(xù) ． 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No 20 例 將函數(shù) x y zzyxzyxf 3),( 333 ???? 在點 ? ?1,1,1 展成泰勒公式 ． 解 0)1,1,1( ?f ． 0)1,1,1()1,1,1()1,1,1( ?????? zyx fff ， 6)1,1,1()1,1,1()1,1,1( ????????? zzyyxx fff ， 3)1,1,1()1,1,1()1,1,1( ?????????? zxyzxy fff ， 6)1,1,1()1,1,1()1,1,1( 333 ???????????? zyx fff ， 3)1,1,1( ?????xyzf ， 0)1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1()1,1,1( 222222 ???????????????????????? xzzyyxzxyzxy ffffff ， 且 高于 3 階的偏導(dǎo)數(shù)都恒為 0． 于是 ， 由 n 元函數(shù)的泰勒公式 ， 有 x y zzyxzyxf 3),( 333 ???? 223[( 1) ( 1)xy? ? ? ? ? 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ]z x y y z z x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )1)(1)(1(3)1()1()1( 333 ????????? zyxzyx ． 小結(jié) n 元函數(shù)微分中值定理的表述形式與二元函數(shù)中值定理的形式類似，都是函數(shù)值與各偏導(dǎo)數(shù)和增量乘積的關(guān)系．在證明上也是采用了構(gòu)造“輔助函數(shù)”的方法． 在實數(shù)域中，微分中值定理聯(lián)系了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，無論是一元函數(shù)、二元函數(shù)還是 n 元函數(shù)， 微分中值定理都對研究函數(shù)性質(zhì)有重要的輔助作用，那么如果函數(shù)定義在復(fù)數(shù)域中，微分中值定理還適用嗎？ 3 微分中值定理在復(fù)數(shù)域上的推廣 由于二元函數(shù)在固定某個變量為暫時常量下可以看作一元函數(shù) ， 再由偏導(dǎo)數(shù)的定義 ， 我們可先將一元微分中值定理推廣到二元實函數(shù)上 ． 而二元實函數(shù)與復(fù)函數(shù)都是以有序數(shù)對為自變量的函數(shù) ， 它們之間有著密切的聯(lián)系 ，因此在有關(guān)性質(zhì)上也應(yīng)該有著密切聯(lián)系 ， 所以又可利用二元實函數(shù)的微分中值定理 ， 將實數(shù)域上的微分中值定理推廣到復(fù)數(shù)域上 ， 得到解析函數(shù)的微分 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No 21 中值定理 ， 為應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究解析函數(shù)的性質(zhì) 提供了新工具 ， 構(gòu)建了有用的平臺 ． 復(fù)數(shù)域 上的 中值定理 引理 1（可微的充要條件） 設(shè)函數(shù) ? ? ? ? ? ?yxivyxuzf , ?? 在區(qū)域 D 內(nèi)一點iyxz ?? 可微的充要條件是 ： (1)二元函數(shù) ? ?yxu , 、 ? ?yxv , 在點 ? ?yx, 可微 ； (2) ? ?yxu , 、 ? ?yxv , 在點 ? ?yx, 滿足 .. RC? 方程 ， 即xvyuyvxu ??????????? ,． 上述條件滿足時 ， ??zf 在點 iyxz ?? 的導(dǎo)數(shù)可以表示為下列形式之一： ? ? u v v uf z i ix x y y? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? xviyvyuixu ????????????． 證明 ? ?? 設(shè) ??zf 在 D 內(nèi)一點 z 可微 ， 則 ? ? ? ?f z f z z z??? ? ? ? ?， 其中 ? 是隨 0??z 而趨于零的復(fù)數(shù) ． 若 令 ? ?f z i??? ??， z x i y? ?? ? ? ， ? ?f z u i v? ? ? ? ?， 則 ? ? ? ?f z f z z z??? ? ? ? ?可寫成 ? ? 21 ?????? iyxiyxviu ????????????? ， 這里 ? ? ? ?zx ?????? ???? Im,Re 21 是 ? ? ? 22 yzz ????? 的高階無窮小 ． 比較上式兩端的實、虛部 ， 即得 1??? ?????? yxu ， 2??? ?????? yxv ． 由數(shù)學(xué)分析二元函數(shù)的微分定義即知 ， ? ?yxu , 與 ? ?yxv , 在點 ? ?yx, 可微 ， 且 沈陽大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） No 22 xyuv???，yxuv??? ??． ? ?? 由 ? ?yxu , 與 ? ?yxv , 的 可微性 即知 ， 在點 ? ?yx, 有 1??????? yuxuu yx ， 2??????? yvxvv yx ． 其中 1? 與 2? 是 ? ? ? ?22 yz ??? 的高階無窮小 ． 再由 .. RC? 方程 ， 可設(shè) ?? ?????? xyyx vuvu , ． 于是 ， 有 ? ?21 ?????? ??????????????? yxiyxviuf ? ?? ? 21 ???? iyixi ??????? ． 所以 ， ?? izfz ?????? 0lim． 即 ? ? u v v uf z i i ix x y y?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? xviyvyuixu ????????????． 定理 1（費馬定理） 設(shè)函數(shù) ? ? ? ? ? ?yxivyxuzf , ?? 在定義域內(nèi)一點 000 iyxz ??的某領(lǐng)域 ? ?0zU 內(nèi)有定義 ， 并且在 0z 處可導(dǎo) ， 若對任意 iyxz ?? ? ? ?0zU 有 ? ? ? ?yxuyxu , 00 ? 或 ? ? ? ?yxuyxu , 00 ? ， ? ? ? ?yxvyxv , 00 ? 或 ? ? ? ?yxvyxv , 00 ? ． 則必有 ? ?0 0fz? ? ． 證明 根據(jù)引理可知 函數(shù) ? ?yxu , 和 函數(shù) ? ?yxv , 在點 ? ?00,yx 可微 ， 且 ? ?0fz? ? ? ? ? ?0 0 0 0,xxu x y iv x y? ． 要使 ? ?0 0fz? ? ， 只需 ? ?00,0xu x y ? ， ? ?00,