第3章力學(xué)量用算符表達(dá)2教學(xué)課件-全文預(yù)覽
【正文】 14 ?????????例題 氫原子基態(tài)的歸一化波函數(shù)為 1/311),( arear ?????? ，求： (1) r的概然值和平均值； (2) 動能和勢能的平均值； 解： (1) 處于基態(tài)的氫原子，電子在 r+dr球殼內(nèi)出 現(xiàn)的概率為 1/22312210104)()( arerarrRrW???令 132110 , ,0 0)( arrrdrrdW ?????? ，當(dāng) 0)( ,0 1021 ???? rWrr 時(shí)，為概率最小位置 08)482(4)( 231/22211312102111?????? ????eaeraraadr rWdararar∴ 1ar ?是最概然半徑。 。 例題 對于類（核電荷為 Ze） ,計(jì)算處于 束縛態(tài) nlm?的氫原子中電子的 。 為負(fù)時(shí)，稱為自旋向下。 Z m 2 1 0 –1 –2 角動量空間的方向 氫原子的狀態(tài)必須用四個(gè)量子數(shù) 才能完全確定。 歸一化條件： 因此上式中徑向積分等于 1，同時(shí)角部分 的積分也必須歸一。 (n1) 而對于每個(gè) l， m=0, 177。 221sea ???代入 R(r)得到粒子的徑向函數(shù)為： )2()2()(11211narLnareNrR llnlnarnlnl????由歸一化條件可算出 : 21331}])![(2 )!1()2{( lnn lnnaN nl ?????綜上討論 ,庫侖場中運(yùn)動的電子能量小于 0時(shí) : 定態(tài)波函數(shù)是 : EtiEti e),(e),()(),( ?? ??????? rYrRtrn l mlmnln l m ???（ 空間部分： ),()(),( ?????lmnlnl m YrRr ? ） 能級能量是 : , . . .3,2,1,2 224??? nneE sn ??思考題： 若討論的是類氫離子，其波函數(shù)和能級的結(jié)果如何？ ? 能量、角動量平方及角動量的 Z 分量的本征方程、本征值及其量子數(shù)。 ?????????0 !e 的相鄰兩項(xiàng)系數(shù)之比當(dāng) 而級數(shù) 時(shí)也為 ????? /1)!1/(! 所以級數(shù)（ ）在 ??????時(shí)的行為與 ?e 相同 ,因而 ???? ??? ??? ???????2/2/ )( efeR因此 ,級數(shù)（ ）只能含有限項(xiàng)，設(shè)其最高次冪 rrnsnb ??項(xiàng)是 ， 則 01 ??rnb ，由（ ）得 nln r ???? 1? 為整數(shù)。 在球坐標(biāo)系中，式（ ） 的形式為： ),),)(),]s i n1)( s i ns i n1)([2 222222????????????????rErrVrrrrr（（（????????????????),()(),( ????? YrRr ?),(Y)r(Rr2 22???? ?用分離變量法求解 ,設(shè) 代入上式 ,并用 除方程 兩邊，有： ]s i n 1)( s i ns i n1[1))((2)(1 222222?????????????????? YYYrVErdrdRrdrdR ? ??zyx0]))((2[)(1 2222 ???? RrrVEdrdRrdrdr ???YYs i n 1)Y( s i ns i n1 222 ????????????????（ ） （ ） 方程 ()的解已知 ,為球諧函數(shù) ), ??rY im（且 ?,2,1,0),1( ??? lll?從而方程 ()變?yōu)?: 0])1())((2[)(1 2222 ????? RrllrVEdrdRrdrdr ? ?（ ） 或： 令 0])1())((2[2 2222?????? RrllrVEdrdRrdr Rd ? ?rrurR /)()( ?（ ） （ ） 得到 : 0)(])1())((2[)( 2222????? rurllrVEdr rud ? ? （ ） 的具體形式，求解方程（ ）。而方程（ ）正是描寫兩粒子的相對運(yùn)動狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程。dinger方程為 : 其中 稱為約化質(zhì)量。,。 1?2?1? 2? 如圖 ,設(shè)有質(zhì)量分別為 和 的兩粒子，其相互作用勢只依賴于兩粒子的相對位置 這一體系的 Schr246。167。 }?,?,?{ 2 zLLH習(xí)題 證明在中心勢場中 0]?,?[ ?HL?0],?[ 2 ?HL 實(shí)際上遇到的中心勢場問題常常是兩體問題，但可將其化為單體問題處理。,(])(2)(2[)。 利用上述變換式，可求得： XMxXxXxxxx ?????????????????? 1111??????? ???????????????? ???????????? XMxXxXXMxxxxx 1111212 ??22221122 2XMXxMx ??????????? ??同樣可求得： 222211222122 YMYyMyy ????????????? ?
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