第3章力學(xué)量用算符表達(dá)2教學(xué)課件-wenkub
2022-09-09 17:00:52 本頁(yè)面
【正文】 ????? ermemn???2s i n?? 可見(jiàn)， 0???eer JJ2s i n mne rmeJ?? ???? ??中的 r和 部分是實(shí)數(shù)。 主量子數(shù) 決定電子的能量。 最低的幾條能級(jí)的徑向波函數(shù)是： 在半徑 r 到 r+dr 的球殼內(nèi)找到電子的 概率 徑向概率密度為： 計(jì)算表明徑向波函數(shù) 的節(jié)點(diǎn)數(shù) 通常把節(jié)點(diǎn)數(shù)為零（ ）的“態(tài)”，稱為 圓軌道，例如： 1s,2p,3d,… ， 它們極大值的位 置： ，其中 是第一玻爾軌道半徑。, 177。 1, 177。 徑向概率幅； ? 橫向 概率 幅 ? 方向 概率 幅 討論： 對(duì)于給定的能級(jí) En（ 即 n一定）， l=0,1,2,3, 這里 : l：已知為角量子數(shù) ,取值為 l=0,1,2,3,... nr:稱為徑量子數(shù) ,取值為 nr=0,1,2,3,... n：稱為主量子數(shù)，取值為 n=1,2,3,... 能量本征值可求得為： , . . .3,2,1,2 224??? nneE sn ??可見(jiàn)在粒子處于束縛態(tài)（能量 E0）時(shí)，粒子的能量取分立值。方程（ ）解出后，中心勢(shì)場(chǎng)的定態(tài)波函數(shù)的形式為： （有關(guān)的常系數(shù)已吸收到 R(r) 因此，中心勢(shì)場(chǎng)問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)勢(shì) )(rVEtie),()(),( ?????lmYrRtr ??R(r) 中，最后由歸一化條件確定） ：氫原子 取核為坐標(biāo)原點(diǎn) ,則電子受核吸引的勢(shì)能為 : )4(,4)r(0202????eerereVss ?????代入式（ ） , 得到 : 0])1()(2[ 22222 ????? urllreEdrud s?? （ ） 問(wèn)題歸結(jié)為方程（ ）的求解。因此，在中心勢(shì)場(chǎng)問(wèn)題中，我們的重點(diǎn)是求解相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程（ ）。 如何求解？－－分離變量法。,(2221112222222222221221221212222111tzyxzyxVzyxzyxtzyxzyxti?????????????????????????????() 式中 (x1,y1,z1)為第一個(gè)粒子的坐標(biāo)， (x2,y2,z2)為第二個(gè)粒子坐標(biāo)。dinger方程是 : )。 中心勢(shì)場(chǎng)中的粒子 氫原子 勢(shì)場(chǎng)中的守恒量 ：氫原子 內(nèi)容： 引力場(chǎng) 庫(kù)侖場(chǎng) —— 原子結(jié)構(gòu)中占有特別重要的地位 各向同性諧振子場(chǎng) 無(wú)限深球方勢(shì)阱 原子核結(jié)構(gòu)中占有重要的地位 中心勢(shì)場(chǎng)的特征：球?qū)ΨQ場(chǎng)，勢(shì) )()( rVrV ??哈密頓算符 )(2)(?2 1? 222 rVrVpH ?????????)(]s i n 1)( s i ns i n1)([2 222222rVrrrr ??????????????? ????????)(2 ?)(2 22222rVrLrrrr ???????? ???]s i n 1)( s i ns i n1[? 22222?????? ????????? ?L????????????????????????????????????????iLc t giLc t giLzyx?s i n( c o s?)c o s( s i n?角動(dòng)量（分量）算符和 角動(dòng)量平方算符 : （ ） 討論如下： 中心勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子 能量 守恒， 角動(dòng)量 守恒 0]?,?[ ?HHH? 不顯含時(shí)間 t,且 ，故 能量 守恒； 0]?,?[ ?HL? 0]?,?[ 2 ?HL在球坐標(biāo)系中，角動(dòng)量的算符表達(dá)式與徑向坐標(biāo) r和時(shí)間 t無(wú)關(guān) ，且上節(jié)已證明 ，故 由（ ）式，有 0]?,?[ 2 ?LL?即 角動(dòng)量 守恒。 勢(shì)場(chǎng)中的守恒量 由上述討論可知， 角動(dòng)量 和 能量 均是守恒量，且 兩兩對(duì)易，可見(jiàn) zLLH ?,?,?2 構(gòu)成守恒量的完全集合，有共同的本征函數(shù)。,。 下面將坐標(biāo)系變換到質(zhì)心坐標(biāo)系： 第一個(gè)粒子相對(duì)于第二個(gè)粒子的坐標(biāo)為 x=x1x2,y=y1y2,z=z1z2, 體系的質(zhì)心坐標(biāo)為 MzzZMyyYMxxX 221122112211 , ?????? ?????? 其中 21 ?? ??M 為體系的總質(zhì)量。 )t()Z,Y,X()z,y,x( ????????令 代入上面的方程并用 除方程兩邊 ,有： ),()(2)(2[ 22222222222222zyxVzyxZYXMdtdi ????????????????? ??? ??????? ???可分解為三個(gè)方程 : E ) t(Ei cCe( t ) ????? ?? ??? EEdtdic)2(E)ZYX(2M 2222222CRpC MEpeCi ???????????? ? ???? ＝－ ??????? E),()(2 2222222?????????? zyxVzyx?－（ ） （ ） （ ） ⅰ .方程（ ）是時(shí)間因子，已解出。
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