【正文】 20 合基 FFT 算法；如果 N 為質(zhì)數(shù)，則 fft函數(shù)采用原來的 DFT 算法。 目前， MATLAB 已經(jīng)在自動控制原理、數(shù)字信號處理、數(shù)字圖像處理、時間序列分析、數(shù)理統(tǒng)計、動態(tài)系統(tǒng)仿真等課程教學中得到廣泛應用，是理工類本科學生和研究生必須掌握的基本工具。第五部分是 MATLAB API 函數(shù)，這使得 C 語言、 FORTRAN 語言可以與 MATLAB 混合應用，這種交互可以取長補短，提高程序的運行效率，豐富程序開發(fā)的手段。第一部分是 MATLAB 語言，與 C 語言、 FORTRAN 等高級語言近似，用于實現(xiàn)各種算法， MATLAB 包含的編譯器還可以將 MATLAB 的算法和應用程序文件轉(zhuǎn)變成獨立可執(zhí)行的應用程序。表 31列出了 N=8 時自然順序以及相應的倒位序的二進制數(shù)。這種不斷分成奇偶子序列的過程可用二進制樹狀圖 37來描述。這樣只需 N個存儲結(jié)構(gòu)單元，雖然進入蝶形的組合關系有差異，但下一級的運算也可采用這種運算方式。直接 DFT 算法運算量，復數(shù)乘法： 2N ，復數(shù)加法：31( 0) ( 0) ( 0)x x x?? 31(1) ( 2 ) ( 4 )x x x?? 41( 0 ) (1 ) ( 2 )x x x?? 41(1) ( 3 ) ( 6 )x x x?? 52( 0 ) ( 0 ) (1 )x x x?? 52(1 ) ( 2 ) ( 5 )x x x?? 62( 0 ) (1 ) ( 3 )x x x?? 62(1 ) ( 3 ) ( 7 )x x x?? 4N 點 DFT 4N 點 DFT 4N 點 DFT 4N 點 DFT (0)X (1)X (2)X (3)X (4)X (5)X (6)X (7)X 湖北理工學院 畢業(yè)設計 (論文 ) 16 ( 1)NN? 。 圖 33 由兩個 4N 點 DFT組合成一個 2N 點 DFT 根據(jù)上面同樣的分析知道，最后剩下的是 2點 DFT，對于此例 N=8，就是四個2點 DFT，其輸出為 3()Xk， 4()Xk， 5()Xk， 6()Xk (k=0,1)，這由式（ 313）至（ 316）可以計算出來。因而通過這第一 步分解后，工作量總體得到大幅降低。 圖 31蝶形運算流圖 采用這種表示法，其過程可圖 32說明。但是， 1()xr， 2()xr以及 1()Xk， 2()Xk都是 N/2 點的序列，即 r,k 滿足 r,k=0,1,? , 21N ? 。根據(jù)論文要求，我們只考慮前一種方法。觀察 DFT 的運算形式可看出，利用系數(shù) nkNW 的以下特性，就可以減少 DFT 的運算量： nkNW 的共軛對稱性 *()nk nkNNWW?? nkNW 的周期性 ( ) ( )nk n N k n k NN N NW W W???? nkNW 的可約性 湖北理工學院 畢業(yè)設計 (論文 ) 10 nk nkmN NmWW? ， nknk mNNmWW? 由此可得出 ( ) ( )N k n N n k nkNNNWWW? ? ???， 2 1NNW ?? ， ()2W Nk kNNW? ?? 這樣，通過這些性質(zhì)，使 DFT 運算中有些項合并；利用 nkNW 的對稱性，周期性及可約性 ,將較長序列的 DFT 分解成較短序列的 DFT，從而使 DFT 計算過程轉(zhuǎn)化成許多迭代運算過程。直到庫利和圖基提出機器計算傅里葉級數(shù)的一種算法，并經(jīng)過后來人們的改進發(fā)展，完善了一套高 速有效的運算方法，使得DFT 的計算量得到簡化，運算時間一般可以縮短一，二個數(shù)量級，從而使 DFT 的運算在實踐中得到真正廣泛應用。如前面所講，有限長序列的特點是其頻域可離散化成有限長序列。（ 3）中如果頻域抽樣的抽樣間隔0 sfF N?，則造成時域 ( ) ( )xndn 的周期 延拓的混疊失真，使得在 01nN? ? ? 范圍內(nèi)，時域序列也不等于 x(n)。頻域抽樣造成時域 ( ) ( )xndn 的周期延拓，只要頻域抽樣間隔 0F 滿足0 sfF N?（即頻域一個周期抽樣點數(shù) M? N），則這個周期延拓是不會產(chǎn)生時域混疊失真的。由于頻域限帶，故時域 ()aXt一定是無線長的。 利用 DFT 對非周期連續(xù)時間信號傅里葉變換逼近的誤差分析 我們已經(jīng)討論了用數(shù)學表達式分析了逼近過程，需關注的是最后得到的 ()nXn是否是 ()aXt的抽樣？以及 ()nXn的 DFT 的系數(shù) ()NXk是否是 ()aXt的頻譜 ()aXj?的準確抽樣？如果不是的話，誤差產(chǎn)生在哪些運算過程中，如何減少這些誤差？ 前面已經(jīng)談到，從理論上說，信號的時域長度和頻域帶寬不可能同時是有限長的，也就是說，時域是有限長的，則頻域帶寬是無限的，反之亦對。其模型如圖 21。如果頻域是限帶信號，則有可能不產(chǎn)生混疊，成為連續(xù)周期頻譜序列，頻域周期為 1/sfT?（即時域的抽樣頻率）。而對于無線長信號，通常截取有湖北理工學院 畢業(yè)設計 (論文 ) 4 限個點進行傅里葉變換。 線性性質(zhì) 設 ()Xk和 ()yn 是長度均為 N 的兩個有限長序列，它們的離散傅里葉變換分別為 ()Xk和 ()Yk，則線性組合 的離散傅里葉變換為 共軛對稱性 設 *()xn為 ()xn 的復共軛序列，則有 **[ ( ) ] ( )D F T x n X N k?? ( ) ( ) jtX j x t e dw? ?????? ? 1() 2 jtx t e d? ? ?????? ()xn 與 ()Xk的奇，偶，虛，實關系如表 21所示。但電子信息類教學，如果沒有頻譜儀輔助觀察，學生只能從書中抽象理解信號特性，可能對教學產(chǎn)生影響。因此，頻譜分析是揭示信號特征的重要方法，也是處理信號的重要手段。而頻譜分析是處理通信信息的關鍵一環(huán)。而快速傅里葉變換的出現(xiàn)使得 DFT 的運算量下降明顯，從而極大提高了 DFT 的計算效率。 連續(xù)信號的頻譜分析 信號的譜分析，就是計算信號的 傅里葉變換，即將信號源發(fā)出的信號強度按頻前置濾波器 A/D 變換器 信號處理器 D/A變換器 模擬濾波器 湖北理工學院 畢業(yè)設計 (論文 ) 2 率順序展開，使其成為頻率的函數(shù)，并考察其變化規(guī)律。其方框圖如圖 11 所示： 圖 11 數(shù)字信號處理簡單方框圖 圖 11表示的是模擬信號數(shù)字處理系統(tǒng)的方框圖，實際的系統(tǒng)并不一定要包括它的所有框圖。 信號可以從不同角度進行分類，如周期信號和非周期信號，確定信號和隨機信號，能量信號和功率信號，連續(xù)信號和離散信號等。 matlab。 verify the conjugate symmetry of DFT Based on the results of spectral analysis。 本文主要涉及用 FFT 對連續(xù)信號的頻譜分析，概述了信號的頻譜分析，介紹了譜分析的重要性，連續(xù)信號譜分析的過程， FFT 算法的思想及性質(zhì)；利用 matlab軟件 編制信號產(chǎn)生子程序， 對 典型信號 進行 譜分析 并 用 仿真實現(xiàn)，繪制不同采樣下的時域波形和頻譜特性；根據(jù)譜分析的結(jié)果驗證 DFT 的共軛對稱性； 了解可能出現(xiàn)的分析誤差及其原因 。各種應用一般都以卷積和相關運算 的具體計算為依據(jù)，或者以 DFT 為連續(xù)傅里葉變換的近似為基礎。 use the matlab software to develop signal generation subroutine to achieve the typical signal spectral analysis and simulation, draw timedomain waveform and spectrum characteristics under different sampling。Fast Fourier Transform。數(shù)字信號處理是把信號用數(shù)字或符號表示的序列，通過計算機等處理設備，用數(shù)字的數(shù)值計算方法處理已達到提取有用信息便于應用的目的。首先把模擬信號變換為數(shù)字信號，然后在進行數(shù)字化處理，最后在恢復出模擬信號。 自從 1965 年庫利（ Cooley）和圖基（ Tukey）在《計算數(shù)學》上發(fā)表了“用機器計算復序列傅里葉級數(shù)的一種算法”即“快速傅里葉變換算法”以來，數(shù)字信號處理這樣一門學科蓬勃發(fā)展，逐漸形成了一整套較為完整的學科領域和理論體系，其中就包括譜分析與快速傅里葉變換（ FFT），快速卷積與相關算法。但直接計算 DFT，其計算量與區(qū)間長度的平方成正比，當長度較大時，計算量很大。隨著我國科學技術的發(fā)展和國內(nèi)外競爭加劇，對通信水平的要求也日益突出，如果通信水平跟不上，社會成員的合作程度就會受到限制，生產(chǎn)力也會受到影響。在此基礎上，可實現(xiàn)對信號的跟蹤控制，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)的早期預測，發(fā)現(xiàn)潛在的危險并診斷可 能發(fā)生故障的原因，對系統(tǒng)參數(shù)進行識別及校正。由于頻譜分析儀價格昂貴，高等院校只有少數(shù)實驗室配有頻譜儀。 離散傅里葉變換的性質(zhì) 本節(jié)討論 DFT 的一些性質(zhì)，它們本質(zhì)上是和周期序列的 DFS 概念有關，而且是由有限長序列及其 DFT 表示式隱含的周期性得出的。因此，為防止時域采樣后產(chǎn)生頻譜失真，對頻譜范圍較寬的信號，常采用預濾波法濾除幅度較小的高頻成分，使連續(xù)信號的帶 寬小于折疊頻率。 表 21 序列對應關系 對連續(xù)非周期信號的傅里葉變換的 DFT 逼近 連續(xù)時間非周期信號 ()xt 的傅里葉變換對為： ( ) ( ) jtX j x t e dw? ?????? ? (21) 1() 2 jtx t e d? ? ?????? (22) 計算方法如下： (1)將 x(t)在 x軸上等間隔分段，每一段用一個矩形脈沖代替，脈沖的幅度為其起點的抽樣值 ( ) ( ) ( )x t x nT x n??,然后把所有矩形脈沖的面積相加，而 t nT? dt T? ndt T???? ?????? x(n)[或 X(k)] X(k)[或 x(n)] 偶對稱 偶對稱 奇對稱 奇對稱 實數(shù) 實部偶對稱，虛部奇對稱 虛數(shù) 實部奇對稱，虛部偶對稱 實數(shù)偶對稱 實數(shù)偶對稱 實數(shù)奇對稱 虛數(shù)奇對稱 虛數(shù)偶對稱 虛數(shù)偶對稱 虛數(shù)奇對稱 實數(shù)奇對稱 湖北理工學院 畢業(yè)設計 (論文 ) 5 從而可得頻譜密度 ( ) ( ) jtX j x t dwe? ?????? ?的近似值為： ( ) ( ) j n TnX j x n T Te? ??? ??? ? ?? (23) (2)將序列 ( ) ( )x n x nT? 截斷成從 0t? 開始長度為 0T 的有限長序列，包含有 N個抽樣，則上式 (23)變?yōu)椋? 10( ) ( )N jn TnX j T x n T e? ???? ? ? ? 由于時域抽樣的抽樣頻率為 1/sfT? ，則頻域產(chǎn)生以 sf 為周期的周期延拓。推導如下： 經(jīng)過前兩步：時域抽樣，截斷，即 ( ) ( ) j n TnX j x n T Te? ??? ??? ? ?? 01( ) ( )2 s j n Tx n T X j de? ??? ? ?? 再由第三步：頻域抽樣，則得 0100( ) ( ) [ ( ) ]N jk n TnX jk T x n T e T D F T x n? ???? ? ? ? ?? 湖北理工學院 畢業(yè)設計 (論文 ) 6 010 00( ) ( )2N jk n Tkx n T X jk e?? ?????? 21000 ()N jkn NkF X jk e?????? 21001 ()N jkn Ns kf X jk eN???? ? ?? 0[ ( )]sf ID FT x jk? ? ? 即 0( ) [ ( ) ]X jk T D F T x n? ? ? 01( ) [ ( ) ]x n ID F T X jkT?? 此為從離散傅里葉變換法求連續(xù)非周期信號的傅里葉變換的抽樣值的方法。 再將頻域離散序 列加以截斷，使它成為有限長序列，如果這個截斷長度正好等于一個周期（即時域抽樣造成的頻域周期延拓的一個周期），則式 (25)變成 01 00( ) ( )N jkn Tnx n T X jk e? ????? 1 200 ()N jk nNn X jk e???? ? ?