【正文】 ，結(jié)果顯示在圖 34 中。 圖 32 復(fù)擺作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)曲線和相軌跡 (2)任意角度復(fù)擺運(yùn)動(dòng) 將式乘以 d? 作積分，可得： 21 co s2 d Ed? ?????????? (37) 整理可得： 2 ( c o s )d Ed? ?? ? ? ? (38) 利用 Matlab 畫出復(fù)擺在不同初始值下對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng) 狀態(tài)變化情況的相圖。 16 由 (36)式可作出復(fù)擺的角速度 dd?? 與角位移 ? 的 關(guān)系圖像，即復(fù)擺作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相圖為一個(gè)圓。通過(guò)對(duì) ? 和 f 參數(shù)的調(diào)節(jié)，我們分別模擬研究復(fù)擺的無(wú)驅(qū)動(dòng)無(wú)阻尼振動(dòng)、阻尼振動(dòng)、有外力驅(qū)動(dòng)時(shí)的周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)。 復(fù)擺運(yùn)動(dòng)模型與振動(dòng)方程 對(duì)如圖 1 所示的圓形復(fù)擺，設(shè)其質(zhì)量為 m ；對(duì)轉(zhuǎn)軸 O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I ；質(zhì)心 C 到轉(zhuǎn)軸 O的距離為 h 。實(shí)際上，當(dāng)復(fù)擺在驅(qū)動(dòng)力矩及阻尼力矩的作用下，將出現(xiàn)復(fù)雜的非線性運(yùn)動(dòng)，而且在一定的條件下可通過(guò)倍周期分岔逐漸進(jìn)入到混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài) [7]。 本章給出了用 Matlab 進(jìn)行混沌演示的一些基本程序，包括產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)的混沌信號(hào)及其吸引子，演示非線性系統(tǒng)進(jìn)入混沌的途徑，以及混沌的初值敏感性。 167。 plot(t,y1(:,1),39。)。lorenz39。 圖 24 兩條取不同初值的 洛淪茲信號(hào) 軌跡 我們可以用程序 所產(chǎn)生的洛淪茲信號(hào)來(lái)演示初值敏感性。因此，混沌系統(tǒng)具有極強(qiáng)的初值敏感性。 初值敏感性 描述混沌動(dòng)力系統(tǒng)的微分方程、差分方程或迭代方程都是確定性方程，沒(méi)有概率性的因素。而當(dāng) ? 值為12 時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)開(kāi)始的不穩(wěn)定階段后，趨于穩(wěn)定的振蕩，在兩個(gè)定位之間來(lái)回跳越，進(jìn)人了周期為 2 的軌道。 %設(shè)定入值 x(1)=。在 ? 3 以后，系統(tǒng)開(kāi)始進(jìn)入周期狀態(tài)，開(kāi)始周期為2，隨著 ? 值的變大，不斷發(fā)生倍周期分岔。 %迭代初值 hold on?？梢杂妹枋鱿x日模型的 Logistic 方程來(lái)演示一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是如何通過(guò)倍周期分岔從規(guī)則運(yùn)動(dòng)進(jìn)人混沌運(yùn)動(dòng)的。,[0 30],[12,2,9])。 dy(2)=28*y(1)y(2)y(1)*y(3)?；煦缦到y(tǒng)存在混沌吸引子，洛淪茲吸引子就是著名的蝶形圖。洛倫茲提出了一個(gè)簡(jiǎn)化的天氣預(yù)報(bào)模型，這就是著名的洛倫茲方程組： ()()x a y xy b z x yz xy cz????? ? ?????? (21) 這個(gè)簡(jiǎn)化模型是一個(gè)完全確定的方程組。在各種軟件中， Matlab 是非常適合混沌的演示和仿真實(shí)驗(yàn)的。也正由此導(dǎo)致后來(lái)“混沌”理論的誕生。但他的方程對(duì)這些微小的不同卻是極其敏感的，他把這種現(xiàn)象叫作“ 蝴蝶效應(yīng)”。因?yàn)樗麄冋J(rèn)為，極小的影響和變化、差別是可以忽略不計(jì)的，事物運(yùn)動(dòng)之中都具有 一定的收斂性，極小的差別不會(huì)引起大的影響。 167。 如果繼續(xù)迭代下去，其結(jié)果仍然是在 8X 和 9X 上循環(huán)，這就是說(shuō)，其迭代的結(jié)果可能是兩個(gè)，我們就叫“分岔”，像這樣有兩個(gè)結(jié)果的就叫“二周期”。這就說(shuō)明，微小的初始條件的變化，可能引起不同的結(jié)果，這就是初始條件的敏感性。 簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)游戲 (1)令 1 2nnXX? ? ，如果是利用二進(jìn)制，按 Modell（去掉整數(shù)，只留小數(shù)的操作）進(jìn)行迭代 [21]，我們來(lái)看看其結(jié)果如何。這種隨機(jī)性又不同于傳統(tǒng)的隨機(jī)性理論研究的隨機(jī)性問(wèn)題，因?yàn)樗钟幸欢ǖ拇_定性。經(jīng)典物理的確定論和近代量子物理的隨機(jī)論，雖然都非常成功地解決了許多自然現(xiàn)象，但是 這兩種理論之間似乎存在著對(duì)立的矛盾，只適宜于不同的領(lǐng)域。 例 3 質(zhì)點(diǎn)在萬(wàn) 有引力作用下的運(yùn)動(dòng) ， 應(yīng)用了 Matlab 的 基本運(yùn)算功能，基本繪圖功能，在一個(gè)窗口下繪制多條圖形，并且利用 Matlab 的 ode45 命令求解常微分方程，最后 總結(jié)了 Matlab 的 ode45 命令 解常微分方程的一般過(guò)程。 本章小結(jié) 本章首先對(duì) Matlab 進(jìn)行了簡(jiǎn)單介紹，介紹了 Matlab 的發(fā)展及應(yīng)用前 景， 然后詳細(xì)介紹了基本運(yùn)算功能，基本繪圖功能，數(shù)值分析功能，并且簡(jiǎn)單介紹了 M 文件的編寫及 Matlab 的程序調(diào)試。 %ydot 表示 dy/dt 下面介紹 ode45 命令的用法， ode45 的一般調(diào)用格式為： [T,Y]=ode45(39。yxlcfun39。25 6 0]。 p*y(3)/sqrt(y(1).^2+y(3).^2).^3]。 子程序文件的格式特征如下： (1)由 Function 起頭，后跟的函數(shù)名必須與文件名相同； (2)由輸入輸出變量，可進(jìn)行變量傳遞； (3)除非用 global 聲明，程序中的變量均為局部變量，運(yùn)行后不保存在工作空間中。 167。 2 用 Matlab 的 ODE 命令求解常微分方程， Matlab 解常微分方程組的能力很強(qiáng)而且很方便，對(duì)于我們?cè)谄?通物理學(xué)中遇到的大多數(shù)動(dòng)力學(xué)方程都可以用命 ode45 求解 [3]。 Matlab 是集數(shù)值運(yùn)算、符號(hào)運(yùn)算、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)圖文字統(tǒng)一處理、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)仿真等功能于一體的數(shù)學(xué)軟件，具有很高的編程效率，在線性代數(shù)、矩陣分析、數(shù)值計(jì)算及優(yōu)化、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、建模與仿真等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用?；煦邕\(yùn)動(dòng)是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)所特有的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，是一種貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，混沌的發(fā)現(xiàn)被譽(yù)為繼相對(duì)論和量子力學(xué)后的第三次物理學(xué)革命，混沌的研究一直備受學(xué)術(shù)界的關(guān)注。 有驅(qū)動(dòng)力有阻尼的復(fù)擺運(yùn)動(dòng)，受迫運(yùn)動(dòng) .......... 19 167。 復(fù)擺運(yùn)動(dòng)模型與振動(dòng)方程 ......................................................14 167。 用 Matlab 產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)的混沌信號(hào) .................. 8 167。 混沌理論 .................................................................................... 5 167。 關(guān)鍵詞 ：混沌， Matlab，復(fù)擺，倍周期 分岔 ，奇怪吸引子 II THE COMPLEX BEHAVIOR OF CHAOTIC PENDULUM BASED ON MATLAB ABSTRACT There are many disorders, nonequilibrium, random plex systems in the nature. Chaos appears in nonlinear systems, it reveals the unity of order and disorder, certainty and randomness of unity. Chaos is a nonlinear dynamic system unique to the plex state of motion, is a seemingly random, irregular motion, chaos, following the discovery of relativity and quantum mechanics known as the third after the revolution in physics, Chaos has always been of academic attention. Matlab is a suitable for scientific puting, engineering design, numerical analysis of the various fields of puting, calculation and simulation analysis of highquality mathematical theory study nonlinear system which is difficult to express use analytic style and colud only have numerical solution, and Matlab will demonstrate its strong potential in this respect. In this thesis, a Matlab software for classical chaos characteristics, and the chaos of the characteristics and formation process of simulation studies?；煦邕\(yùn)動(dòng)是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)所特有的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，是一種貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，混沌的發(fā)現(xiàn)被譽(yù)為繼相對(duì)論和量子力學(xué)后的第三次物理學(xué)革命，混沌的研究一直備受學(xué)術(shù)界的關(guān)注。 混沌現(xiàn)象出現(xiàn)于非線性系統(tǒng)中，它揭示了有序與無(wú)序的統(tǒng)一，確定性與隨機(jī)性的統(tǒng)一。 本論文利用了 Matlab 軟件研究經(jīng)典的混沌現(xiàn)象的特征，并且對(duì)混沌的特點(diǎn)以及形成過(guò)程進(jìn)行模擬分析研究；并用 Matlab 模擬了復(fù)擺運(yùn)動(dòng)行為及混沌現(xiàn)象，對(duì)不同周期作出相圖及奇怪吸引子，可以看到隨著 外驅(qū)動(dòng)力的增加，復(fù)擺振動(dòng)逐漸由倍周期分岔走向混沌。 本章小結(jié) .................................................................................... 5 第二章 混沌行為與特性 ........................................................................ 5 167。 用 Matlab 演示混沌的基本性質(zhì) .......