【正文】 的軌線在特定的區(qū)域無(wú)規(guī)則地繞來(lái)繞去，開(kāi)始出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)。由此可見(jiàn)，如果驅(qū)動(dòng)力的振動(dòng)周期用 T 表示，隨著驅(qū)動(dòng)幅度的增加，復(fù)擺運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)倍周期分岔現(xiàn)象，由 1 2 4TTT??，相空間的環(huán)面由 1 環(huán)分岔到 2 環(huán)， 2環(huán)再分岔到 4 環(huán)。取無(wú)量綱阻尼系數(shù) ?? ，無(wú)量綱驅(qū)動(dòng)力頻率 1?? ，模擬結(jié)果顯示，在 f 較小時(shí)，相空間的軌線接近圓形，且正負(fù)半周比較對(duì)稱，如圖 36(a)所示，此時(shí)復(fù)擺仍然是穩(wěn)定的單倍周期運(yùn)動(dòng)，即振動(dòng)周期與驅(qū)動(dòng)力的周期相同。我們利用 Matlab 軟件中的 ode45 命令來(lái)對(duì)非線性方程 (41)求解，然后作圖。 有 驅(qū)動(dòng)力有阻尼的復(fù)擺運(yùn)動(dòng)，受迫運(yùn)動(dòng) 復(fù)擺在角位移較小的情況下可作為理想的線性諧振子來(lái)處理，但如果考察其在驅(qū)動(dòng)力作用下任意角位移下的運(yùn)動(dòng)，并考慮阻力，則其運(yùn)動(dòng)方程中將出現(xiàn)非線性項(xiàng)。但實(shí)際上過(guò)這一點(diǎn)很難實(shí)現(xiàn)，因?yàn)槠胶恻c(diǎn)是不穩(wěn)定的。如果初始值0dd????和 0? 較小，復(fù)擺不能到達(dá) (? ,0)位置時(shí)，這時(shí)它只在 平衡位置 (0,0)附近左右擺動(dòng)，最后靜止于 (0,0)。由于中心點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)，所以又稱不動(dòng)點(diǎn)吸引子或者定常吸引子。模擬時(shí)取無(wú)量綱阻尼系數(shù) ? =，無(wú)量綱驅(qū)動(dòng)力振幅 f =0，結(jié)果顯示在圖 34 中。 圖 32 復(fù)擺作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)曲線和相軌跡 (2)任意角度復(fù)擺運(yùn)動(dòng) 將式乘以 d? 作積分，可得： 21 co s2 d Ed? ?????????? (37) 整理可得： 2 ( c o s )d Ed? ?? ? ? ? (38) 利用 Matlab 畫(huà)出復(fù)擺在不同初始值下對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化情況的相圖。 由 (36)式可作出復(fù)擺的角速度 dd?? 與角位移 ? 的 關(guān)系圖像，即復(fù)擺作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相圖為一個(gè)圓。通過(guò)對(duì) ? 和 f 參數(shù)的調(diào)節(jié)，我們分別模擬研究復(fù)擺的無(wú)驅(qū)動(dòng)無(wú)阻尼振動(dòng)、阻尼振動(dòng)、有外力驅(qū)動(dòng)時(shí)的周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)。 復(fù)擺運(yùn)動(dòng)模型與振動(dòng)方程 對(duì)如圖 1 所示的圓形復(fù)擺，設(shè)其質(zhì)量為 m ；對(duì)轉(zhuǎn)軸 O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I ；質(zhì)心 C 到轉(zhuǎn)軸 O的距離為 h 。實(shí)際上，當(dāng)復(fù)擺在驅(qū)動(dòng)力矩及阻尼力矩的作用下，將出現(xiàn)復(fù)雜的非線性運(yùn)動(dòng)，而且在一定的條件下可通過(guò)倍周期分岔逐漸進(jìn)入到混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài) [7]。 本章給出了用 Matlab 進(jìn)行混沌演示的一些基本程序，包括產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)的混沌信號(hào)及其吸引子，演示非線性系統(tǒng)進(jìn)入混沌的途徑，以及混沌的初值敏感性。 167。 plot(t,y1(:,1),39。)。lorenz39。 圖 24 兩條取不同初值的 洛淪茲信號(hào) 軌跡 我們可以用程序 所產(chǎn)生的洛淪茲信號(hào)來(lái)演示初值敏感性。因此，混沌系統(tǒng)具有極強(qiáng)的初值敏感性。 初值敏感性 描述混沌動(dòng)力系統(tǒng)的微分方程、差分方程或迭代方程都是確定性方程，沒(méi)有概率性的因素。而當(dāng) ? 值為 時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)過(guò)開(kāi)始的不穩(wěn)定階段后，趨于穩(wěn)定的振蕩，在兩個(gè)定位之間來(lái)回跳越，進(jìn)人了周期為 2 的軌道。 %設(shè)定入值 x(1)=。在 ? 3 以后，系統(tǒng)開(kāi)始進(jìn)入周期狀態(tài)，開(kāi)始周期為2，隨著 ? 值的變大，不斷發(fā)生倍周期分岔。 %迭代初值 hold on?？梢杂妹枋鱿x(chóng)日模型的 Logistic 方程來(lái)演示一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是如何通過(guò)倍周期分岔從規(guī)則運(yùn)動(dòng)進(jìn)人混沌運(yùn)動(dòng)的。,[0 30],[12,2,9])。 dy(2)=28*y(1)y(2)y(1)*y(3)。混沌系統(tǒng)存在混沌吸引子，洛淪茲吸引子就是著名的蝶形圖。洛倫茲提出了一個(gè)簡(jiǎn)化的天氣預(yù)報(bào)模型，這就是著名的洛倫茲方程組： ()()x a y xy b z x yz xy cz????? ? ?????? (21) 這個(gè)簡(jiǎn)化模型是一個(gè)完全確定的方程組。在各種軟件中， Matlab 是非常適合混沌的演示和仿真實(shí)驗(yàn)的。也正由此導(dǎo)致后來(lái)“混沌”理論的誕生。但他的方程對(duì)這些微小的不同卻是極其敏感的，他把這種現(xiàn)象叫作“蝴蝶效應(yīng)”。因?yàn)樗麄冋J(rèn)為，極小的影響和變化、差別是可以忽略不計(jì)的，事物運(yùn)動(dòng)之中都具有一定的收斂性，極小的差別不會(huì)引起大的影響。 167。 如果繼續(xù)迭代下去，其結(jié)果仍然是在 8X 和 9X 上循環(huán)，這就是說(shuō)，其迭代的結(jié)果可能是兩個(gè)，我們就叫“分岔”，像這樣有兩個(gè)結(jié)果的就叫“二周期”。這就說(shuō)明，微小的初始條件的變化，可能引起不同的結(jié)果，這就是初始條件的敏感性。 簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)游戲 (1)令 1 2nnXX? ? ，如果是利用二進(jìn)制，按 Modell（去掉整數(shù)，只留小數(shù)的操作）進(jìn)行迭代 [21]，我們來(lái)看看其結(jié)果如何。這種隨機(jī)性又不同于傳統(tǒng)的隨機(jī)性理論研究的隨機(jī)性問(wèn)題，因?yàn)樗钟幸欢ǖ拇_定性。經(jīng)典物理的確定論和近代量子物理的隨機(jī)論，雖然都非常成功地解決了許多自然現(xiàn)象，但是這兩種理論之間似乎存在著對(duì)立的矛盾，只適宜于不同的領(lǐng)域。 例 3 質(zhì)點(diǎn)在萬(wàn)有引力作用下的運(yùn)動(dòng) ， 應(yīng)用了 Matlab 的 基本運(yùn)算功能，基本繪圖功能，在一個(gè)窗口下繪制多條圖形，并且利用 Matlab 的 ode45 命令求解常微分方程，最后 總結(jié)了 Matlab 的 ode45 命令 解常微 分方程的一般過(guò)程。 本章小結(jié) 本章首先對(duì) Matlab 進(jìn)行了簡(jiǎn)單介紹，介紹了 Matlab 的發(fā)展及應(yīng)用前景， 然后詳細(xì)介紹了基本運(yùn)算功能，基本繪圖功能，數(shù)值分析功能，并且簡(jiǎn)單介紹了 M 文件的編寫(xiě)及 Matlab 的程序調(diào)試。 %ydot 表示 dy/dt 下面介紹 ode45 命令的用法， ode45 的一般調(diào)用格式為： [T,Y]=ode45(39。yxlcfun39。25 6 0]。 p*y(3)/sqrt(y(1).^2+y(3).^2).^3]。 %選擇灰度色圖 mesh(X,Y,I)。 %開(kāi)辟圖形窗口 plot(x,I)。 %計(jì)算 sin(θ) arfa=pi*a*sinsita./lamda。 %光的波長(zhǎng) x=::。d=a+b。 mesh 是三維網(wǎng)格 作圖命令， mesh(x,y,z)畫(huà)出了每一個(gè)格點(diǎn) (x, y)上對(duì)應(yīng)的z 值（電勢(shì)）。 5::5,4::4 分別是選取橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的一系列數(shù)值，meshgrid 是生成數(shù)據(jù)網(wǎng)格的命令， [x,y]是 xy 平面上的坐標(biāo)網(wǎng)格點(diǎn)。 在命令窗口中輸入： () 9 [x,y]=meshgrid(5::5,4::4)。 子程序文件的格式特征如下： (1)由 Function 起頭，后跟的函數(shù)名必須與文件名相同； (2)由輸入輸出變量，可進(jìn)行變量傳遞； (3)除非用 global 聲明，程序中的變量均為局部變量，運(yùn)行后不保存在工作空間中。 167。,0,1) ans = 用 Matlab 的 ODE 命令求解常微分方程， Matlab 解常微分方程組的能力很強(qiáng)而且很方便，對(duì)于我們?cè)谄胀ㄎ锢韺W(xué)中遇到的大多數(shù)動(dòng)力學(xué)方程都可以用命 ode45 求解 [3]。 求方程 : 4 3 23 7 9 2 3 0x x x? ? ? ?的全部根。axis equal tight 圖 14 在 axis 命令后加不同的字符串控制 表 14 中是一些改變目前圖軸長(zhǎng)寬比的命令，這些命令必須在 plot 之后調(diào)用才能發(fā)揮作用。axis square subplot(2,2,3)。 subplot(2,2,1)。plot(x,x.^2)。plot(x,cos(x))。plot3(x,y,z) 5 圖 12 用 plot3 命令畫(huà)出的三維空間曲線 在一個(gè)窗口產(chǎn)生多個(gè)圖形，可在 plot 命令之前加上 subplot 程序命令： subplot(m,n,p)，表示將窗口劃分為 mn 個(gè)區(qū)域，而下一個(gè)命令 plot 命令則會(huì)繪圖與第 p 個(gè)區(qū)域，其中 p 的算法從左向右，一行一行算起，例如： x=0::4*pi。r39。y39。y39。my first plot39。 繪圖功 能 Matlab 的 plot 是最基本的繪圖命令，可以對(duì)一組 x 坐標(biāo)及相應(yīng)的 y 坐標(biāo)，進(jìn)行描點(diǎn)繪圖。)隔開(kāi)的數(shù)個(gè)表達(dá)式。例如： (5*2+)/5 ans = 說(shuō)明： 若不想讓 Matlab 每次都顯示運(yùn)算結(jié)果，只需在表達(dá)式最后加上分號(hào)(。Matlab 的界面是一個(gè) web 瀏覽器形式的工作環(huán)境，如圖 11 所示。 Matlab 的主界面是一個(gè)高度集成的工作環(huán)境 [1]，有 4 個(gè)不同職責(zé)分工的窗口 [3] 。在設(shè)計(jì)研究單位和工業(yè)開(kāi)發(fā)部門， Matlab 被廣泛的應(yīng)用于研究和解決各種具體問(wèn)題。 2 第一章 Matlab 基礎(chǔ)及應(yīng)用 167。 Matlab 是集數(shù)值運(yùn)算、符號(hào)運(yùn)算、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)圖文字統(tǒng)一處理、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)仿真等功能于一體的數(shù)學(xué)軟件，具 有很高的編程效率，在線性代數(shù)、矩陣分析、數(shù)值計(jì)算及優(yōu)化、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、建模與仿真等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。混沌運(yùn)動(dòng)是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)所特有的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，是一種貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，混沌的發(fā)現(xiàn)被譽(yù)為繼相對(duì)論和量子力學(xué)后的第三次物理學(xué)革命，混沌的研究一直備受學(xué)術(shù)界的關(guān)注。 有驅(qū)動(dòng)力有阻尼的復(fù)擺運(yùn)動(dòng)， 受迫運(yùn)動(dòng) .......... 27 IV 167。 復(fù)擺運(yùn)動(dòng)模型與振動(dòng)方程 ....................................................... 22 167。 用 Matlab 產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)的混沌 信號(hào) ................. 16 167。 混沌理論 .................................................................................... 14 167。 數(shù)值分析 ..................................... 7 167。 Matlab 簡(jiǎn)介 ................................................................................... 2 167。 混沌理論研究的是非線性問(wèn)題，難以用解析式表達(dá)，只能采用數(shù) 值解法，而 Matlab 在這方面便可展示其強(qiáng)大的潛能。 I 畢業(yè)論文 基于 Matlab 的復(fù)擺混沌行為研究 摘 要 自然界中 存在無(wú)數(shù)的 無(wú)序、非平衡和隨機(jī)的 復(fù)雜系統(tǒng) 。 Matlab 是一個(gè)適用于科學(xué)計(jì)算、工程設(shè)計(jì)、數(shù)值分析等領(lǐng)域的各種計(jì)算、演算和仿真分析的高性能的優(yōu)秀數(shù)學(xué)軟件。 and use Matlab to simulate the pendulum movement behavior and chaotic phenomena, on different cycles to the phase diagram and the strange attractor, As you can see the increase in external driving force, pendulum vibration gradually from perioddou bling bifurcation to chaos. KEY WORDS: Chaos, Matlab,pound pendulum,bifurcation,strange attractor III 目 錄 前 言 ......................................................................................................... 1 第一章 Matlab 基礎(chǔ)及應(yīng)用 ................................................................... 2 167。 繪圖功能 ..................................... 4 167。 本章小結(jié) .................................................................................... 13 第二章 混沌行為與特性 .......................................................................14 167。 用 Matlab 演示混沌的基本性質(zhì) .............................................. 16 167。 本章小結(jié) ....