【正文】 ,22f x x x x? ? ? ? R. （ Ⅰ ）求函數(shù) ??fx的最小值和最小正周期； （ Ⅱ ）設(shè) ABC? 的內(nèi)角 A B C、 、 的對邊分別為 a b c、 、 ，且 ? ?3, 0c f C??，若向量? ?1,sin A?m 與向量 ? ?2,sin B?n 共線，求 ,ab的值 . 22． (本小題滿分 14 分 )設(shè) )0(1),(),(22222211 ???? babxayyxByxA 是橢圓上的兩點，已知向量 11( , )xyba?m， 22( , )xyba?n,若 0??nm 且橢圓的離心率 ,23?e短軸長為 2， O 為坐標原點 . (Ⅰ )求橢圓的方程； （ Ⅱ ） 若直線 AB 過橢圓的焦點 F （ 0， c），（ c 為半焦距），求直 線 AB 的斜率 k 的值； （ Ⅲ ） 試問： AOB? 的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由 . [來源 :學科網(wǎng) ZXXK] 參考答案 一、選擇題 :本大題共 12 小題 ，每小題 5 分，共 60 分 . ACACD AADBB BD 二、填空題：本大題共 4 個小題，每小題 4 分，共 16 分 . 13. 1 14. 3 15. 716 16. 5?m 三、解答題 :本大題共 6 小題，共 74 分 .解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 . 事件 M 由 6 個基本事件組成，因而 61()12 2PM ??． … ……………6 分 （ Ⅱ ）用 N 表示 “ 11,AB不全被選中 ”這一事件 ， 則其對立事件 N 表示 “ 11,AB全被選中 ”這一事件，由于 N? { 1 1 1 1 1 2( ) ( )A B C A B C， ， ， ， ，}，事件 N 有 2 個基本事件組成， 所以 21()12 6PN ??， 由對立事件的概率公式得 15( ) 1 ( ) 166P N P N? ? ? ? ?． …………… …12 分 [來源 :Z+xx +k .Co m] 18． (本小題滿分 12 分 ) 解 :（ I） 3 1 c o s 2 1( ) s in 22 2 2xf x x ?? ? ?= sin(2 ) 16x ??? …………3 分 則 ()fx的最小值是 2,最小正周期是 22T ? ???. ……………………6 分 （ II） ( ) si n ( 2 ) 1 06f C C ?? ? ? ?,則 sin(2 )6C ??=1, 0 , 0 2 2CC??? ? ? ? ?, 1126 6 6C?? ?? ? ? ? ?, 2 6C ?? ? ? 2? , 3C ?? , ………………………………………………8 分 向量 ? ?1,sinmA? 與向量 ? ?2,sinnB? 共線 ? 1 sin2 sinAB? ， ……………………………………………………10 分 由正弦定理得， 12ab? ① 由余弦定理得， 2 2 2 2 c o s3c a b a b ?? ? ?，即 3= 22a b ab?? ② 由 ①② 解得 1, 2ab??. …………………………………… ………………12 分 19． (本小題滿分 12 分 ) 證明：（ Ⅰ ） 直棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， BB1⊥ 平面 ABCD， ?BB1⊥ AC． …2 分 又 ∠ BAD＝ ∠ ADC＝ 90176。 2( ) 3 1 , ( ) 3 3 ,f x x x f x x? ? ? ? ? 由 39。( ) 0fx? 解得 xa?? 或 xa? ；由 39。 答汽車以 80 千米 /小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為 升。( ) 0,hx? 得 ? 當 (0,80)x? 時， 39。 14. 32? 1? 16. 2 12? ：根據(jù)題意可知函數(shù)對稱軸為 2x? ，由被 x 軸截得的弦長為 2，可得 ( ) 0fx? 的兩根 1 1x? ， 2 3x? ，可設(shè) ( ) ( 1)( 3)f x a x x? ? ?，由 ( 0) ( 0 1 ) ( 0 3 ) 3 6f a a? ? ? ? ?，∴ 2a? 18. 解：（ I） 最小正周期 T ?? 由 2 2 ( )222 3k k k Zx?????? ? ? ? ??，得 512 12kkx????? ? ? ?， ()y f x? 單調(diào)增區(qū)間為 5 , ( )1 2 1 2k k k Z??????? ? ????? （ Ⅱ ） 當 [0, ]2x ??時， 423 3 3x? ? ?? ? ?， 3 sin(2 ) 123x ?? ? ? ?，故值域為 3[ ,1]2? 19. 解：（ I） ? 2( 3 1) 40m?? ??得 312m??， 又由韋達定理得 sin c o s 3 1sin c o s m????? ? ?????? 由 si n cos 3 1??? ? ?得 sin c o 4 2 31 s2 ?? ??? ， 232 41 m ??? ，∴ 3 32m?? （ Ⅱ ） sin cos1 cot 1 ta n????? si n c os11c o s si nsi n c o s???????? 22s in c o sc o ssc s inin o s??? ??? ????22cos sinsincos???? ??? c os si n 3 1??? ? ? ? 20. 解：（ I）當 40x? 時，汽車從甲地到乙地行駛了 100 40?小時， 要耗沒 313( 4 0 4 0 8 ) 2 . 5 1 7 . 51 2 8 0 0 0 8 0? ? ? ? ? ?（升）。 x ：（ I）由表可知，樣本容量為 n ，由 ?n，得 50?n 由 ??nx； …… 3 分 142256350 ??????y ， ??? nyz 6 分 （ II）設(shè)樣本視力在 （ ， ]的 3 人 為 ,abc， 樣本視力在 （ ， ]的 2 人為 ,de． … .… .7 分 由題意從 5 人中任取兩人的基本事件空間為： { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) }a d a e b d b e c d c e a b a c b c d e?? ， … .9 分 ∴ 10n? ，且各個基本事件是等可能發(fā)生的． … .10 分 設(shè)事件Ａ表示“ 抽取的兩人的視力差的絕對值低于 ”，則事件 A 包含的基本事件有： ( , ), ( , ), ( , ), ( , )a b a c b c d e，∴ 4m? ∴ 2()5mPA n??， … . … . … .11 分 故抽取的兩人的視力差的絕對值低于 的概率為 25． … . … . … .12 分 21. （本小題滿分 12 分） 解： (Ⅰ ) 3 2 3 2( ) 2 ( 2 ) 2g x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 2( ) 3 2 1g x x? ? ? ? ? 由 ( ) 0gx? ? 得 13x??或 1x? ??????????????? 2 分 x 1( , )3??? 13? 1( ,1)3? 1 (1, )?? ()gx? ? 0 ? 0 ? ()gx 5927? 1? 所以函數(shù) ()gx 在 13x??處取得極小值 5927?；在 1x? 處取得極大值 1? ?????? 6 分 (Ⅱ ) 因為 2( ) 3 2 1f x x ax? ? ? ?的對稱軸為3ax?? （ 1）若 133a? ??即 1a? 時，要使函數(shù) ()fx在 1( , )3? ??上恒為單調(diào)遞 增函數(shù)，則有24 12 0a? ? ? ?，解得： 33a? ? ? ，所以 31a? ? ? ；????????? 8 分 （ 2）若 133a? ??即 1a? 時，要使函數(shù) ()fx在 1( , )3? ??上恒為單調(diào)遞增函數(shù)，則有21 1 1( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 03 3 3fa? ? ? ? ? ? ? ? ?，解得： 2a? ，所以 12a??；???? 10 分 綜上，實數(shù) a 的取值范圍為 32a? ? ? ??????????????? 12 分 22． 解： （Ⅰ）設(shè)拋物線 )0(2: 22 ?? ppxyC ，則有 )0(22 ?? xpxy ，據(jù)此驗證 4 個點知（ 3， 32? ）、（ 4， ? 4）在拋 物線上，易求 xyC 4: 22 ? ?????? 2 分 設(shè) 1C ： )0(:22222 ???? babyaxC，把點（ ? 2， 0）（ 2 ， 22 ）代入得： ??????????121214222baa 解得???????1422ba ∴ 1C 方程為 14 22 ??yx ???????????????????????? 6 分 （Ⅱ）法一： 假設(shè)存在這樣的直線 l 過拋物線焦點 (1,0)F ，設(shè)直線 l 的方程為 ,1 myx ?? 兩 交點坐標為 ),(),( 2211 yxNyxM ， 由?????????14122 yxmyx 消去 x ，得 ,032)4(22 ???? myym ?????????? 8 分 ∴43,42 221221 ??????? myym myy ① 21 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) 1 ( )x x m y m y m y y m y y? ? ? ? ? ? ? 44443421 2 2222 ???????????? m mmmm mm ② ????????? 11 分 由 OM ON? ，即 0??ONOM ，得 (*)02121 ?? yyxx 將①②代入（ *）式，得 043444 22 2 ?????? mm m， 解得21??m ??????? 13 分 所 以 假 設(shè)成 立 ，即 存 在直 線 l 滿 足 條 件， 且 l 的 方 程為 ： 22yx??或22yx?? ? ??????????????????? ???????????? 14 分 法二： 容易驗證 直線 l 的斜率不存在時，不滿足題意；??????????? 6 分 當直線 l 斜率存在時，假設(shè)存在直線 l 過拋物線焦點 (1,0)F ，設(shè)其方程為 ( 1)y k x??，與 1C 的交點坐標為 ),(),( 2211 yxNyxM 由 2 2 14( 1)x yy k x?? ???? ???消掉 y ，得 2 2 2 2(1 4 ) 8 4( 1 ) 0k x k x k? ? ? ? ?， ???? 10 分 于是 212 2814kxx k???， 212 24( 1)14kxx k?? ? ① 21 2 1 1 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) [ ( ) 1 ]y y k x k x k x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 即 2 2 2212 2 2 24