【正文】 6CP? 時， EM 與 EN 的比值是多少？ 經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過 E 作直線平行于 BC 交 DC ， AB 分別于 F ， G ，如圖 2 ，則可得： DF DEFC EP? ，因為 DE EP? ，所以 DF FC? .可求出 EF和 EG 的值，進而可求得 EM 與 EN 的比值 . (1) 請按照小明的思路寫出求解過程 . (2) 小東又對此題作了進一步探究，得出了 DP MN? 的結(jié)論 .你認為小東的這個結(jié)論正確嗎？如果正確，請給予證明；如果不正確，請說明理由 . （ 1）解：過 E 作直線平行于 BC 交 DC ， AB 分別于點 F ， G ， 則 DF DEFC EP? ， EM EFEN EG? ， 12GF BC??. ∵ DE EP? ，∴ DF FC? . 8 分 (第 22 題 ) (第 22 題 ) H B C D E M N A P 5. （ 2020山東威海， 24， 11分）如圖， ABCD是一張矩形 紙片， AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的邊 AB上取一點 M，在 CD上取一點 N，將紙片沿 MN折疊，使 MB與 DN交于點 K，得到△ MNK． （ 1）若∠ 1=70176。． （ 2）不能． 過 M點作 ME⊥ DN，垂足為點 E，則 ME=AD=1, 由（ 1）知∠ KNM=∠ KMN． ∴ MK=NK． 又 MK≥ ME, ∴ NK≥ 1． ∴ 1122M N KS N K M E? ? ? ?． ∴△ MNK的面積最小值為 12，不可能小于 12． （ 3）分兩種情況： 情況一：將矩形紙片對折，使點 B與點 D重合，此時點 K也與點 D重合． 設 MK=MD=x，則 AM=5x，由勾股定理，得 2 2 21 (5 )xx? ? ? , 解得， ? ． 即 ND??． ∴ 1 1 2 . 6 1 . 32M N K A C KSS??? ? ? ? ?． （情況一） 情況二：將矩形紙片沿對 角線 AC對折，此時折痕為 AC． 設 MK=AK= CK=x，則 DK=5x，同理可得 即 NK??． ∴ 1 1 2 . 6 1 . 32M N K A C KSS??? ? ? ? ?． ∴△ MNK的面積最大值為 ． （情況二） 6. （ 2020山東煙臺， 24,10分） 已知：如圖，在四邊形 ABCD中， ∠ ABC＝ 90176。 ， ∴∠ BAE＝∠ CBF，∴△ BAE≌△ CBF. ∴ AE＝ BF. ∴ BE＝ BF＋ EF ＝ AE＋ CD. 7. (2020 浙江湖州， 22， 8) 如圖已知 E、 F分別是 □ ABCD的邊 BC、 AD上的點，且 BE=DF． (1) 求證：四邊形 AECF是平行四邊形； (2) 若 BC＝ 10，∠ BAC＝ 90176。－∠ 1，∴∠ 3＝∠ 4，∴ AE＝ BE，∴ BE＝ AE＝ CE＝ 12 BC＝ 5. 8． （ 2020寧波市， 23， 8分）如圖，在 □ ABCD中， E、 F分別為邊 ABCD的中點， BD是對角線，過 A點作 AGDB交 CB的延長線于點 G． （ 1）求證： DE∥ BF； （ 2）若∠ G＝ 90，求證四邊形 DEBF是菱形． （第 22 題） 解：（ 1） □ ABCD 中， AB∥ CD， AB＝ CD ∵ E、 F分別為 AB、 CD 的中點 ∴ DF＝ 12DC， BE＝ 12AB ∴ DF∥ BE， DF＝ BE ∴四邊形 DEBF為平行四邊形 ∴ DE∥ BF (2)證明：∵ AG∥ BD ∴∠ G＝∠ DBC＝ 90176。 ）， ① 試用含 ? 的代數(shù)式表示 ∠ HAE； ② 求證： HE=HG； ③ 四邊形 EFGH是什么四邊形？并說明理由． AB CDHEFG（第 23 題圖 2） EBFGDHAC（第 23 題圖 3） （第 23 題圖 1） AB CDHEFG【答案】（ 1）四邊形 EFGH是正方形． (2) ①∠ HAE=90176。 ， ∴∠ HAE=360176。 －（ 180176。 ＋ a＝ ∠ HAE． ∵△ HAD是等腰直角三角形， ∴ HA=HD， ∴△ HAE≌△ HDG， ∴ HE=HG． ③ 四邊形 EFGH是正方形． 由 ② 同理可得： GH=GF， FG=FE， ∵ HE=HG（已證）， ∴ GH=GF=FG=FE， ∴ 四邊形 EFGH是菱形；∵△ HAE≌△ HDG（已證）， ∴∠ DHG=∠ AHE，又 ∵∠ AHD=∠ AHG＋ ∠ DHG=90176。 ∴△ A1AD1≌△ CC1B（ SAS）。 【答案】 （ 1）由折疊可知 EF⊥ AC， AO=CO ∵ AD∥ BC ∴∠ EAO=∠ FCO，∠ AEO=∠ CFO ∴△ AOE≌△ COF ∴ EO=FO ∴四邊形 AFCE是菱形。 AP 即 2AE2=2AO ∵ AD=8cm， AB=6cm，∴ BD=10cm，∴ OD=5cm. 當四邊形 PBQD是菱形時， PQ⊥ BD，∴ ∠ POD=∠ A，又 ∠ ODP=∠ ADB， ∴△ ODP∽△ ADB， A B C D E F O P ∴ OD ADPD BD?，即 588 10t ??， 解得 74t?,即運動時間為 74秒時，四邊形 PBQD是菱形 . 解法二： PD=8t 當四邊形 PBQD是菱形時， PB=PD=(8t)cm， ∵四邊形 ABCD是矩形，∴ ∠ A=90176。此時點 O運動到了點O1處（即點 B處），點 C運動到了點 C1處，點 B運動到了點 B1處；小慧又將正方形紙片 AO1C1B1繞 B1點按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90176。時，求點 P的坐標 。∴點 P的坐標為（ a22 ， a22 ） （ 2）過點 P分別作 x軸、 y軸的垂線垂 足分別為 M、 N，則有∠ PMA=∠ PNB=∠ NPM=∠ BPA=90176。 19. （ 2020山東濟寧， 17， 5分）如圖，在平行四邊形 ABCD中，對角線 AC、 BD相交于點O，過點 O作直線 EF⊥ BD，分別交 AD、 BC于點 E和點 F，求證：四邊形 BEDF是菱形． 【答案】證明： ∵ 四邊形 ABCD是菱形， ∴ AD∥ BC， OB=OD， ????????????????1 分 ∴∠ EDO=∠ FBO， ∠ OED=∠ OFB， ??????????2 分 ∴ △OED≌△OFB ， ∴ DE=BF， ?????????????????????3 分 又 ∵ DE∥ BF， ∴ 四邊形 BEDF是平行四邊形， ??????????? ?4 分 OFE DCBA第 17 題 ∵ EF⊥ BD， ∴ 四邊形 BEDF是菱形． ???????????????5 分 20． （ 2020山東聊城， 25， 12分）如圖，在矩形 ABCD中， AB＝ 12cm， BC＝ 8cm，點 E、 F、 G分別從點 A、 B、 C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向移動，點 E、 G的速度均為2cm/s，點 F的速度為 4cm/s，當點 F追上點 G（即點 F與點 G重合）時，三個點隨之停止移動．設移動開始后第 t秒時， △ EFG的面積為 S（ cm2）． （ 1）當 t＝ 1秒時， S的值是多少？ （ 2）寫出 S和 t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量 t的取值范圍． （ 3）若點 F在矩形的邊 BC上移動，當 t為何值時，以點 E、 B、 F為頂點的三角形與以F、 C、 G為頂點的三角形相似？請說明理由． 【答案】（ 1）如圖甲，當 t＝ 1秒時， AE＝ 2， EB＝ 10， BF＝ 4， FC＝ 4， CG＝ 2，由 S＝ S梯形 EGCG－ SEBF－ SFCG＝ 21 (10＋ 2)8 － 21 104 － 21 42 ＝ 24 (2)如圖（甲），當 0≤t≤2 時，點 E、 F、 G分別在 AB、 BC、 CD上移動，此時 AE＝ 2t，EB＝ 12－ 2t， BF＝ 4t， FC＝ 8－ 4t， S＝ 8t2－ 32t＋ 48（ 0≤t≤2 ） （ 3）如圖乙，當 點 F追上點 G時， 4t＝ 2t＝ 8，解得 t＝ 4，當 2＜ t≤4 時， CF＝ 4t－ 8，CG＝ 2t， FG＝ CG－ CF＝ 8－ 2t，即 S＝－ 8t＋ 32(2＜ t≤4) ， (3)如圖（甲），當點 F在矩形的邊 BC上移動時， 0≤t≤2 ，在 EFF和 FCG中， B＝ C＝ 90，① 若 CGBFFCEB? ，即 tttt 2448 212 ??? ，解得 t＝ 32 ，又 t＝ 32 滿足 0≤t≤2 ，所以當 t＝ 32 時△ EBF∽△ GCF② 若 CFBFGCEB? ，即 ttt t 48 42 212 ??? ，解得 t＝ 23 ，又 t＝ 23 滿足 0≤t≤2 ，所以當 t＝ 23 時 △ EBF∽△ GCF，綜上知，當 t＝ 32 或 23 時，以點 E、 B、 F為頂點的三角形與以 F、 C、 G為頂點的三角形相似 21. （ 2020山東濰坊， 18， 8分）已知正方形 ABCD的邊長為 a，兩條對角線 AC、 BD相交于點 O， P是射線 AB上任意一點，過 P點分別做直線 AC、 BD的垂線 PE、 PF，垂足為 E、F. （ 1）如圖 1，當 P點在線段 AB 上時，求 PE+PF的值； （ 2）如圖 2，當 P點在線段 AB 的延長線上時，求 PE－ PF的值 . 【解】（ 1）∵四邊形 ABCD為正方形，∴ AC⊥ BD. ∵ PF⊥ BD，∴ PF//AC，同理 PE//BD. ∴四邊形 PFOE為矩形，故 PE=OF. 又∵∠ PBF=45176。 ∴ BC=AC=AD 又 ∵ DE∥ AC ∴ ACED為平行四邊形 ∴ CE=AD=BC DE=AC ∴ DE=CE=BC 圖 5 ∴ DE=12BE 23. (2020江蘇南京， 21， 7分 )如圖，將 □ABCD 的邊 DC延長到點 E，使 CE=DC，連接 AE，交 BC于點 F． ⑴ 求證： △ ABF≌△ ECF ⑵ 若 ∠ AFC=2∠ D，連接 AC、 BE．求證：四邊形 ABEC是矩形． 【答案】 證明： ⑴∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴ AB∥ CD,AB=CD． ∴∠ ABF=∠ ECF. ∵ EC=DC, ∴ AB=EC． 在 △ ABF和 △ ECF中， ∵∠ ABF=∠ ECF， ∠ AFB=∠ EFC， AB=EC， ∴⊿ ABF≌⊿ ECF． （ 2）解法一： ∵ AB=EC ， AB∥ EC， ∴ 四邊形 ABEC是平行四邊形． ∴ AF=EF， BF=CF． ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴∠ ABC=∠ D，又 ∵∠ AFC=2∠ D， ∴∠ AFC=2∠ ABC． ∵∠ AFC=∠ ABF+∠ BAF， ∴∠ ABF=∠ BAF． ∴ FA=FB． ∴ FA=FE=FB=FC, ∴ AE=BC． ∴ 口 ABEC是矩形． 解法二： ∵ AB=EC ， AB∥ EC， ∴ 四 邊形 ABEC是平行四邊形． ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ D=∠ BCE． 又 ∵∠ AFC=2∠ D， ∴∠ AFC=2∠ BCE， ∵∠ AFC=∠ FCE+∠ FEC， ∴∠ FCE=∠ FEC． ∴∠ D=∠ FEC． ∴ AE=AD． 又 ∵ CE=DC， ∴ AC⊥ DE．即 ∠ ACE=90176。的數(shù)量關系，并給予證明； （ 2） 當α＝ 30176。 即∠ AOE′＋∠ AOF′＝∠ BOF′＋∠ AOF′ ∴∠ AOE′＝∠ BOF′ 又∵ OA＝ OB＝ OD， OE′＝ 2OD， OF′＝ 2OA ∴ OE′＝ OF′ ∴△