【正文】 )](ln[)(lim xfxge 而 )](ln[)(lim xfxg 都 是 “ ??0 ”型，按 2 的情形處理 例 1 求 xx x 2sin0lim?? 解： 令 xxy 2sin? ， xxy lnsinln 2? 0lns inlimlnlim 200 ?? ?? ?? xxy xx ∴ 1lim 00 ???? eyx 例 2 設 0?a ， 0?b 常數(shù)，求 lim( )2nnnnab??? 解：先考慮 11lim ( )2xxxxab???? 它是 “ ?1 ”型 令 xxx bay )2( 11 ?? ， ]2ln)[ ln (ln 11 ??? xx baxy xbay xxxx 12ln)ln (limlnlim 11 ????????? 0ln( ) ln 2lim tttabt???? （ 00 型） abbaba bbaa tt ttt ln)ln( l n21lnlnl i m0 ?????? ?? 1 tx?令1 tx?令新東方在線 [] 網(wǎng)絡課堂電子教材系列 高等數(shù)學 16 因此， abba xxxx ????? )2(lim11 于是， abba nnnn ???? )2(lim 六、求分段函數(shù)的極限 例 求 )||s in12(lim410 xxeexxx ???? 解 ： 112))(s in12(lim410 ????????? xxeexxx 110)s in12(lim4340 ?????????? ? xxeeexxxx ∴ 1)||s in12(lim410 ????? xxeexxx 七、用導數(shù)定 義 求極限 例 1 設 0( ) 2fx? ? ，求 x xxfxxfx ????????)2()3(lim 000 解：原式 = x xfxxfxfxxfx ??????????)]()2([)]()3([l i m 00000 =)2( )()2(l i m23 )()3(l i m3 000000 x xfxxfx xfxxf xx ?? ????? ??? ???? = 0 0 03 ( ) 2 ( ) 5 ( ) 10f x f x f x? ? ???? 例 2 設曲線 )(xfy? 與 xy sin? 在原點相切，求 )2(lim nnfn ?? 17 解：由題設可知 0)0( ?f ， 0(0 ) (sin ) 1xfx????? 于是2( ) ( 0 )2l im ( ) l im 2 2 ( 0 ) 22 0nnffnn f fnn? ? ? ???? ? ? ?? 八、遞推數(shù)列的極限 例 1 設 30 1 ??x ， )3(1 nnn xxx ??? ，證明nn xlin??存在，并求其值。 解： )](ln)([ l n1l i m10 0])()([lim xfhxxfhhh hexfhxxf ??? ??? 0lim [ ln ( ) ln ( ) ] [ ln ( ) ]h x f x h x f x x f xhxee? ?? ??? 因此， 1[ln ( )]x f x x?? ，21[ln ( )]fx x??， 1ln ( )f x cx ?? ? ? xcexf 1)( ?? ，由 1)(lim ???? xfx，可知 1?c 則 xexf 1)( ?? 167。 2．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)（上）連續(xù)的定義 如果函數(shù) )(xfy? 在開區(qū)間（ ba, ）內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱 )(xf 在 ),( ba 內(nèi)連續(xù)。 第一類間斷點包括 可去間斷點和跳躍間斷點。 三、初等函數(shù)的連續(xù)性 1．在區(qū)間 I 連續(xù)的函數(shù)的和、差、積及商（分母不為零），在 區(qū) 間 I 仍是連續(xù)的。 5．初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連 續(xù) 的。同樣可以定義最 小值 m . 新東方在線 [] 網(wǎng)絡課堂電子教材系列 高等數(shù)學 20 定理 3 （介值定理） 如果函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和m ，則對于介于 m 和 M 之間的任何實數(shù) c ，在 ],[ ba 上至少存在一個 ? ，使得 cf ?)(? 推論：如果函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，且 )(af 與 )(bf 異號，則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一個點 ? ，使得 0)( ??f 這個推論也稱零點定理。 解 因 0l i m)(l i m)00( 100 ???? ?? ?? xxx exff 01s inlim)(lim)00( 00 ???? ?? ?? xxxff xx 0)0( ?f 即有 )0()00()00( fff ???? ，故 )(xf 在點 0?x 連續(xù)。 解： ?kx? ，考慮 )s ins inln (s ins inlim)(ln xtxt xxfxt ?? ?（用洛必達法則） xxxtxxtxxt s ins ins ins inc o sc o slim ??? ? ∴ )()( sin ?kxexf xx ?? 于 是 ?kx? （ k 整數(shù)）是間斷點， 0?x 是可去間斷點。 例 2 設 )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，且 aaf ?)( ， bbf ?)( , 證明 xxf ?)( 在 ),( ba 內(nèi)至少有一個根。求證：在 ]1,0[ 上至少存在一點 ? 使)()1( ?? fnf ?? （ 2?n 正整數(shù) ） 證：令 )()1()( xfnxfxG ??? ， ]1,0[ nnx ?? 則 )0()1()0( fnfG ?? )1()2()1( nfnfnG ?? )2()3()2( nfnfnG ?? ? )1()1()1( nnffnnG ???? 于是 0)0()1()1()1()0( ??????? ffnnGnGG ? （ ⅰ ） 如果 )1,1,0()( ?? niniG ?有 為 0，則已經(jīng)證明 23 ∵ 0)(, ?? ?? Gni ， )()1( ?? fnf ?? 成立。 。 所以其中一定有異號，不妨假設 10 21 ???? nii ， )(1niG 與 )(2niG 異號。 0)()( ??? aafag 0)()( ??? bbfbg 由介值定理的推論，可知 )(xg 在（ ba, ）內(nèi)至少有一個零點，即 xxf ?)( 在 ),( ba 內(nèi)至少有一個根。 三、用介值定理討論方程的根 例 1 證明五次代數(shù)方程 0155 ??? xx 在區(qū)間（ 1， 2）內(nèi)至少有一個根。 解： 當 1|| ?x 時， 0lim 2 ??? nn x， xxf ??? 1)( 當 1|| ?x 時， xxf ??)( 當 1|| ?x 時， xxf ??1)( 所以?????????????1||,11||,1||,1)(xxxxxxxf 它是分段函數(shù)， 分段點為 1? ， 0)01(,2)01(,1)1( ??????? fff ， 11( ??f ， 2)01( ???f ，0)01( ???f 。對于分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性，若函數(shù)在分段點兩側表達式不同時，需根據(jù)函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件進行討論。 定理 1 （有界定理）如果函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 [a, b]上連續(xù)，則 f(x)必在 [a, b]上有界。 3．在區(qū)間 I 連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)的反函數(shù)，在對應區(qū)間仍 連續(xù)且單調(diào)。 常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點。 二、函數(shù)的間斷點及其分類 1． 函數(shù)的間斷點的定義 如果函數(shù) )(xfy? 在點 0x 處不連續(xù)，則稱 0x 為 )(x