【正文】 3．函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系 如果函數(shù) )(xfy? 在點 0x 處可導(dǎo)，則 )(xf 在點 0x 處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù))(xfy? 在點 0x 處連續(xù)，卻不一定在點 0x 處可導(dǎo)。 導(dǎo) 數(shù) 定 義 的 另 一 等 價 形 式 ， 令 xxx ??? 0 ， 0xxx ??? ，則0000( ) ( )( ) l i mxxf x f xfx xx??? ? ? 我們也引進(jìn)單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 24 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) 167。如果上面的極限不存在，則稱函數(shù) )(xfy? 在點 0x 處不可導(dǎo)。 切線方程 ： 0 0 0( ) ( ) ( )y f x f x x x?? ? ? 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 25 法線方程：0 0 001( ) ( ) ( ( ) 0 )()y f x x x f xfx ?? ? ? ? ?? 設(shè)物體作直線運動時路程 S與時間 t的函數(shù)關(guān)系為 )(tfS? ，如果 0()ft? 存在，則 0()ft?表示物體在時刻 0t 時的瞬時速度。 我們定義自變量的微分 dx 就是 x? 。 7．高階導(dǎo)數(shù)的概念 如果函數(shù) )(xfy? 的導(dǎo)數(shù) ()y f x??? 在點 0x 處仍是可導(dǎo)的，則把 ()y f x??? 在點 0x 處的導(dǎo)數(shù)稱為 )(xfy? 在點 0x 處的二階導(dǎo)數(shù)，記以0xxy ???，或 0()fx?? ，或022xxdxyd ?等，也稱 )(xf 在點 0x 處二階可導(dǎo)。 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 27 由 1lim)(lim)01( 211 ???? ?? ?? xxff xx babaxxff xx ?????? ?? ?? )(lim)(lim)01( 11 要使 )(xf 在點 1?x 處連續(xù)，必須有 1??ba 或 ab ??1 又 21 1 1( ) ( 1 ) 1( 1 ) l i m l i m l i m ( 1 ) 211x x xf x f xfxxx? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? 1 1 1( ) ( 1 ) 1 ( 1 )( 1 ) l im l im l im1 1 1x x xf x f a x b a xfax x x? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 要使 )(xf 在點 1?x 處可導(dǎo)，必須 (1) (1)ff????? ，即 a?2 . 故當(dāng) 1211,2 ??????? aba 時， )(xf 在點 1?x 處可導(dǎo) . 例 2 設(shè) 1lim)()1()1(2 ? ??????? xnxnn ebaxexxf ，問 a 和 b 為何值時， )(xf 可導(dǎo)，且求 ()fx? 解： ∵ 1?x 時 ， ?????? )1(lim xnn e， 1?x 時， 0lim )1( ???? xnn e ∴ ??????????????，xbax，xba，xxxf1,1,2 11,)(2 由 1?x 處連續(xù)性， 1lim)(lim 211 ?? ?? ?? xxf xx， 12 1)1( ???? baf ，可知 1??ba 再由 1?x 處可導(dǎo)性， 21(1)(1) lim 1xxff x?? ??? ? ?存在 1( ) (1 )(1 ) lim 1xa x b ff x?? ???? ? ?存在 且 (1) (1)ff????? 根據(jù)洛必達(dá)法則12(1) lim 21xxf?? ?? ?? 1(1) lim 1xafa?? ?? ??， ∴ 2?a 于是 11 ???? ab 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 28 ??????????,1,12,1,1,1,)(2xxxxxxf 2 , 1 ,() 2, 1 ,xxfx x ??? ? ? ?? 三、運用各種運算法則求導(dǎo)數(shù)或 微分 例 1 設(shè) )(xf 可微， )()(ln xfexfy ?? ，求 dy 解： )( ln)( ln )()( xdfedexfdy xfxf ?? ( ) ( )1( ) ( l n ) ( l n )f x f xf x e f x d x f x e d xx???? () 1[ ( ) ( l n ) ( l n ) ]fxe f x f x f x d xx?? 例 2 設(shè) xxxy? )0( ?x ，求 dxdy 解： xxy x lnln ? 對 x 求導(dǎo)，得 11( ) lnxxy x x xyx???? 再令 xxy ?1 ， xxy lnln 1 ? ，對 x 求導(dǎo)， 111 ln 1yxy ???， ∴ ( ) (ln 1)xxx x x??? 于是 ? ? xxxx xxxxxdxdy 1ln)1( ln ???? （ 0?x ） 例 3 設(shè) )(xyy? 由方程 xy yx ? 所確定，求 dxdy 解：兩邊取對數(shù)，得 yxxy lnln ? ， 對 x 求導(dǎo)， ln lnyxy x y yxy??? ? ? ( ln ) lnxyy x yyx? ? ? ?， 22 nlny xy yy x xy x??? ? 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 29 例 4 設(shè) ??????????t uttuduueyuduex20 )1ln (s in2 2 求dydx 解：)21ln (2s ins in222 24tetettedtdydtdxdydxttt???? 四、求切線方程和法線方程 例 1 已知兩曲線 )(xfy? 與 2arctan0 x ty e dt???在點 （ 0， 0）處的切線相同，寫出此切線方程 ，并求 2lim ( )n nf n??。 解：由題設(shè)可知 )1()6( ff ? ， (6) (1)ff??? ，故切線方程為 (1) (1)( 6 )y f f x?? ? ? 所以關(guān)鍵是求出 )1(f 和 (1)f? 由 )(xf 連續(xù)性 )1(2)]s in1(3)s in1([lim0 fxfxfx ?????? 由所給條件可知 0)1(2 ?? f ， ∴ 0)1( ?f 再由條件可知 8)s i n )(s i n8(l i ms i n )s i n1(3)s i n1(l i m00 ?????? ?? xxxxx xfxf xx ? 令 8)1(3)1(lim,s in0 ????? ? t tftftx t，又 ∵ 0)1( ?f ∴ 上式左邊 =)( )1()1(lim3)]1()1([lim 00 t ftft ftf tt ? ????? ?? = (1) 3 (1) 4 (1)f f f? ? ??? 則 4 (1) 8f? ? (1) 2f? ? 所求切線方程為 )6(20 ??? xy 即 0122 ??? yx 五、高階導(dǎo)數(shù) 1． 求二階導(dǎo)數(shù) 例 1 設(shè) )ln ( 22 axxy ??? ，求 39。axxxaxy???????? 該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 31 例 2 設(shè)2ln(1 )x arctantyt??? ??? 求 22dxyd 解： ttttdtdxdtdydxdy 2111222 ????? 2222( ) ( ) 2/ 2 ( 1 )11d y d yddd y d xd x d x td x d x d t d tt? ? ? ? ?? 例 3 設(shè) )(xyy? 由方程 122 ??yx 所確定，求 39。39。 [注：數(shù)學(xué)三不考泰勒定理，數(shù)學(xué)四不考泰勒定理 ] 這部分有關(guān)考題主要是證明題，其中技巧性比較高，因此典型例題比較多，討論比較詳細(xì)。 結(jié)論說明曲線 )(xfy? 在點 A 和點 B 之間 [不包括點 A 和點 B ]至少有一點，它的切線平行于 x 軸。 推論 1 若 ()fx在 (, )ab 內(nèi)可導(dǎo)，且 ( ) 0fx? ? ，則 ()fx在 (, )ab 內(nèi)為常數(shù)。羅爾定理看作 拉 格朗日中值定理的預(yù)備定理，柯西中值 定理雖然更廣，但用得 不 太多。0039。39。 00?x 時，也稱為麥克勞林公式 。 ??f 證：由積分中值定理可知，存在 2[ ,1]3c? ，使得 ? ??132 )321)(()( cfdxxf 得到 ? ?? 132 )0()(3)( fdxxfcf 對 )(xf 在 [0， c]上用羅爾定理，（三個條件都滿足） 故存在 )1,0(),0( ?? c? ，使 ( ) 0f ?? ? 例 3 設(shè) )(xf 在 [0,1]上連續(xù)， (0， 1)內(nèi)可導(dǎo)，對任意 1?k ，有 ? ?? k x dxxfxekf 10 1 )()1(，該套資料由蕓蕓視頻整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待廣大考生咨詢 推薦： 09 年新東方考研數(shù)學(xué)英語政治視頻課程 提供試看文件 提供試用下載網(wǎng)盤 09 課程已經(jīng)更新 37 求證存在 )1,0(?? 使 1( ) (1 ) ( )ff? ? ??? ?? 證：由積分中值定理可知存在 1[0, ]c k? 使得 )01)(()( 110 1 ?? ??? kcfcedxxfxe ck x 令 )()( 1 xfxexF x?? ，可知 )1()1( fF ? 這樣 1 110( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( )xckF