【正文】 ??1）依次可得，為已知，由方程（設(shè) 10y01 ayy ?0212 yaayy ??0323 yaayy ???? .100xxxxCaYCyyay???通解為）的方程（為任意常數(shù)，于是差分滿足差分方程，令容易驗(yàn)證，01 yaayyxxx ?? ?特征根法)0(01 為常數(shù)???? aayy xx ??1）變形為方程（ 1? ? )0(01 為常數(shù)????? ayay xx? ?.1函數(shù)的形式一定為某一指數(shù)可以看出，根據(jù)xxxy??? ???）得，代入（設(shè) 1)0( ?? ?? xxy01 ??? xx a ??0?? a?即a＝?特征方程 特征根 ）的一個解，是（于是 1xx ay ?.1 ）的通解是（從而 xx Cay ?? ?2 ? ? )00)((1 ????? xfaxfayy xx 為常數(shù)，.xxYy分方程的通解另一項(xiàng)是對應(yīng)的齊次差，解一項(xiàng)是該方程的一個特的和組成：差分方程的通解由兩項(xiàng)一階常系數(shù)非齊次線性?.2 ??? xxx yYy）的通解為即差分方程（ ? ?型xpxf n?)(? ?為方程 2 ? ?xpayy nxx ??? 1? ? ? ?xpyay nxx ???? 1即是它的解，代入上式得設(shè) ?xy? ? ? ?xpyay nxx ???? ?? 1? ?? ? .1 次多項(xiàng)式是次多項(xiàng)式，是且也應(yīng)該是多項(xiàng)式，是多項(xiàng)式，因此由于?? ???nynyyxpxxxn(1) nnnnx bxbxbxQy ????? ?? ??110)(令011 ?? a不是特征方程的根，即(2) ? ?nnnnx bxbxbxxxQy ????? ?? ??110)(令011 ?? a是特征方程的根，即綜上討論 ，設(shè) )( xQxy nkx ????????是特征方程的根不是特征方程的根1110k? ?型xpxf nx??)(? ? 101 ，?? 1類型? ? 102 ，??xxx zy ?? ?設(shè)代入方程得? ?為方程 2 ? ?xpayy nxx x???? 1? ?xpzaz nxx xxx ??? ???? 11? ?xpazz nxxx ??? 1?? ，即得消去 1類型.?? ?? xxx zy ?于是型xbxbxf ?? s i nco s)( 21 ??xbxbayy xx ?? s i nc o s 211 ????差分方程為(1) 時當(dāng) 0s i n)(c o s 22 ???? ?? aD，為待定系數(shù)令 ),(s i nc o s 2121 BBxBxBy x ?? ???代入原方程得到11 s i n)(c o s 2 bBaB ??? ??221 )(c o ss i n baBB ???? ??? ??? s i n)(c os1 211 babDB ???解方程組得? ??? s i n)(c os1 122 babDB ???xBxBAay xx ?? s i nc o s 21 ???通解為(2) )s i nc o s(0 21 xBxBxyD x ?? ??? ?時，令當(dāng)代入原方程得? ?? ?xbxbxBBxBBaxBBxBBa????????????s i nc o ss i n)s i nc o s(]s i n)[ ( c o sc o s)s i nc o s(]s i n)[ ( c o s2112122121??????????????的充要條件為注意到 0?D??????????????????1)12(12,0s i n0c osakaka ??????或即? ?得為整數(shù)，將上式代入其中 ?k22112211 , bBbBbBbB ?????? 或，故得方程的通解為或由于 11 ??? aa? ?xkbxkbAyxkbxkbxAytxx????)12si n()12c o s()1()2si n2c o s(2121?????????或，代入得為對應(yīng)齊次方程一個解設(shè) )0( ?? ?? xxY012 ??? ?? xxx ba ???02 ??? ba ??即其根程的特征方程此方程稱為對應(yīng)齊次方 ,24,24 2221baabaa ???????? ??.稱為相應(yīng)方程的特征根.42 式的符號來確定其通解形現(xiàn)根據(jù) ba ?11 .二 階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解 如下形式：，此時的通解具有與有兩個相異的實(shí)特征根 21 ??),( 212211 為任意常數(shù)AAAAy xxx ?? ??(2)第二種情形 時ba 42 ?的通解具有如下形式：，此時征根方程有兩個相等的實(shí)特221a??? ??),()2)(( 2121 為任意常數(shù)AAaxAAy xx ???(1)第一種情形 時ba 42 ?(3)第三種情形 時ba 42 ?,征根方程有一對共軛的復(fù)特??????iabiaiabia????????????2221421421：把它們化為三角表示式aabbr 222 4tan, ???????????????? s i n,c o s rr ??則)s i n(c o s),s i n(c o s 21 ?????? irir ?????)s i n(c os)s i n(c os2)2(1)1(??????iryiryxxxxxx???????解．可以證明都是對應(yīng)齊次方程的特)(21)(21 )2()1()2()1( xxxx yyiyy ?? 及有以下形式的通解：也都是特解．故可得具),()s i nc os(2121是任意常數(shù)AAxAxAry xx ?? ??.xxYy分方程的通解另一項(xiàng)是對應(yīng)的齊次差，解一項(xiàng)是該方程的一個特的和組成：差分方程的通解由兩項(xiàng)二階常系數(shù)非齊次線性?.2 ??? xxx yYy）的通解為即差分方程（12. 二階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解 即方程為為常數(shù) ),()()1( ccxf ?cbyayy xxx ??? ?? 12.sx kxy ??可設(shè)其特解形式為代入原方程得，即時，取當(dāng) ,001) kysbai x ????? ?back??? 1bacyx ?????1所求特解ack?? 2acxyx ????2此時有特解，即時，取且當(dāng) 22201) kxysabai i i x ??????? ?221 cxyx ??，即取時且當(dāng) kxysabaii x ??????? ?,1,201)代入原方程得此時有特解?，即方程為都是常數(shù) )1,()()2( ?? qccqxf xxxxx cqbyayy ??? ?? 12.的特解設(shè)其具有形式為 xsx qkxy ??，得其特解為取時當(dāng) 0,0) 2 ???? sbaqqibaqqcqy xx ????2得其特解為時，取但當(dāng) 1020) 2 ?????? saqbaqqiiaqcxy qxx ????21得其特解為時，取但當(dāng) 2020) 2 ?????? saqbaqqi i iaqcxy qxx ????41，即方程為為常數(shù) )()()3( ccxxf n?nxxx cxbyayy ??? ?? 12).,()(1010為待定系數(shù)其中的特解設(shè)其具有形式為nnnsxBBBxBxBBxy?? ?????。2s i n81*2 xxy ??.)(),(1)()(2此方程的通解（２）的表達(dá)式；（１），試求：的齊次方程有一特解為，對應(yīng)有一特解為設(shè)xfxpxxxfyxpy ?????例 6 解 （１） 由題設(shè)可得： ??????????),()1)((2,02)(223xfxxpxxxp解此方程組，得 .3)(,1)( 3xxfxxp ???（２）原方程為 .31 3xyxy ?????，的兩個線性無關(guān)的特解程是原方程對應(yīng)的齊次方顯見 221 ,1 xyy ??是原方程的一個特解，又 xy 1* ?由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為 .1221 xxCCy ???一、 選擇題 : 1. 一階線性非齊次微分方程)()( xQyxPy ???的通解是 ( ). (A)( ) d ( ) d[ ( ) d ]P x x P x xy e Q x e x C??????； (B)( ) d ( ) d( ) dP x x P x xy e Q x e x?????； (C)( ) d ( ) d[ ( ) d ]P x x P x xy e Q x e x C??????； (D)( ) dP x xy c e??? . 2. 方程yyxyx ????22是 ( ). (A) 齊次方程； (B) 一階線性方程； (C) 伯努利方程； (D) 可分離變量方程 . 測 驗(yàn) 題 3. 22dd0 , ( 1 ) 2yxyyx? ? ?的特解是 ( ). (A)222?? yx； (B)933?? yx； (C)133?? yx； (D) 13333??yx. 4. 方程xy s i n????的通解是 ( ). (A)322121co s CxCxCxy ???? ； (B)322121s in CxCxCxy ???? ； (C)1c os Cxy ??； (D)xy 2s i n2?. 5 . 方程0?????? yy的通解是 ( ) . (A )1c oss i n Cxxy ???； (B )321c oss i n CxCxCy ???；