【正文】 是不要求 等于零這個條件就可以達到極小值，即 無條件極小值。 用矩陣表示為： TSS RSS ESS 2)?( ii YY ??kn? 2)?( YYi ??1?k2Yn??? YY2?? Yn??? YYee???實際上，由（ ）和（ ）式知 即有 （ ） )??()(???????2????)?()?(22YnYn ??????????????????????????????????????YYYYYYYYβXXβYYβXXβYXβYYβXXββXYYXβYYβXYβXYee)??()( 22 YnYn ??????? YYeeYY?這里，回歸平方和 RSS越大，殘差平方和 ESS就越小，從而被解釋變量觀測值總變差中能由解釋變量解釋的那部分變差就越大，回歸模型對觀測值的擬合程度就越高。于是（ ）式中用 代替 等式成立，即 （ ） 從而，綜合（ ）和（ ）式，得到 這里我們把估計量 稱為 的約束最小二乘估計。 cβ?cβ?bDβ ?βbβD ?c?bDβ ? β)?()?()()( cc βXYβXYX βYX βY ???????bβD ?c??下面我們只驗證第二個結論即可。 )(2)()()(2)()(),(1bD βλX βYX βYβdX βYX βYλβ?????????????? ??piii bg ?),( 1 ?? p?? ?λ ),( λβgk??? , 21 ?0λDX βXYX ????????為方便表述，我們用 和 表示（ ）式和（ ）式的解。 ββbDβ ?kp?1?p?我們用 Lagrange乘子法求模型（ ）滿足線性約束（ ）式的最小二乘估計量。即 （ ） 實際上， 利用最小二乘基本等冪矩陣 M的性質(zhì)，以及 ()式，可以得到殘差平方和為 0MX ?0XXX)XX(XXXX)XX(IMX???????????11 )(nM εεM εMεM εM εee???????? )()(?由于 和 都是標量，由矩陣代數(shù)的知識知 , 標量應與其跡相等，并由跡的輪換性定理知，即 ee? Mεε?)]([)()()]([)]([)]([)(12122XX)XX(IXX)XX(IMεεMεM εM εεee??????????????????trtrtrtrEtrtrEtrEEnn????再由跡的輪換性知 （ ） 從而， 即 定義 （ ） 則 為 的無偏估計量，即 。 M有如下的性質(zhì)： 對稱性。 反映了模型誤差以及觀測誤差的大小，在線性回歸分析中起著重要的作用。 ?下面需要證明，任何其他線性無偏估計量 的方差都大于 ，不妨假設 （ ） cβ?β?εCAX βCAεX βCAYCAβ)()())(()(??????????c?由于 為 的無偏估計量，即有 （ ） 這樣只有 或 那么有 （ ） cβ? βCX ββCX βX βXXXCX βAX βεCAX βCAβ????????????? 1)()()()()?( EEc0CX ? 0CX ???))(())(()(])?)(?[(]))?(?))(?(?[()?(2?????????????????CACACAεεCAβββββββββ?EEEEEV a rccccccc?在（ ）式中 從而 （ ） CCXXCCXXCXCXXXXXXXXXCCACCAAACACA????????????????????????????????11111)()()()()())((CCβCCXXβ??????? ?2212)?()()?(???V arV ar c?根據(jù)矩陣代數(shù)的知識，任何矩陣與自身轉(zhuǎn)置的乘積都是半正定矩陣，（ ）式中的 為半正定矩陣，其對角線上的元素必然是非負的，因此得知，任意其他線性無偏估計量的方差都大于最小二乘估計量的方差。 εAYAkkkkββ?????11?kk ??? ??? 111 ])[( XXXA XXX ?? ?1)(β?ε無偏性 ?由（ ）式知 （ ） 這里需要提及的是，這個性質(zhì)從概率分布的角度反映了最小二乘估計量與參數(shù)真實值之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用無偏性通過最小二乘估計量的概率分布可以推斷參數(shù)情況和范圍等。 ?下面我們逐一證明。于是正則方程左邊的系數(shù)行列 式＝ n 。 ?這里需要提及的是，根據(jù)微積分的極值理論， 只是函數(shù) 的一個駐點，應該證明 確實使得 達到最小。 εX βY ??? ??? k??? , 21 ?βkXXX , 32 ?ββββ??求參數(shù)估計值矩陣 的方法是最小二乘 (OLS) 法，即求 使得殘差平方和 達到最小。如何識別這些假定條件是否滿足，以及假定條件不成立時如何進行參數(shù)估計和檢驗，我們將在下一章討論。 nV a r Iε 2)( ??nIε0εX ?? )(Ekiii XXX , 32 ?無多重共線性的假定 ?假設各解釋變量之間不存在線性關系，或者說各解釋變量的觀測值之間線性無關，在此條件下，數(shù)據(jù)矩陣 X列滿秩 此時，方陣 滿秩 () 從而， 可逆， 存在。 eβXY ?? ?βXY ?? ?)1(21????????????????????nnYYY?Y)1(21????????????????????kk????β)1(21????????????????nneee?eY? β? β?這里需要說明的是，在構建線性回歸模型時，要以總體回歸方程 ()式描述的內(nèi)容為理論基礎，利用樣本通過統(tǒng)計推斷建立樣本回歸方程（ ）式，然后借助樣本回歸模型（ ）式，解釋總體回歸模型（ )式所描述的實際經(jīng)濟問題。 iYiYkiii XXX , 32 ?kiii XXX , 32 ?i? i? iY?這里應該注意到，由于 的影響使 變化偏離了 決定的 維空間平面。第二章 線性回歸模型 線性模型的參數(shù)估計 線性模型的檢驗 預 測 實證分析 第一節(jié) 線性模型的參數(shù)估計 模型假定及最小二乘估計 估計量的性質(zhì)及參數(shù)的估計 約束最小二乘法 模型假定及最小二乘估計 一、模型及模型的假定 ?線性模型的一般形式是 () 其中， 為被解釋變量（因變量）， 為解釋變量（自變量）， 是隨機誤差項， j = 1,2, … , k 為模型參數(shù)。計量經(jīng)濟學中的多種估計、檢驗、預測等分析方法，是針對不同性質(zhì)的擾動項引入的。 )(322322213121111knknnnkkXXXXXXXXX????????????????????????X)|( XYE kiii XXX , 32 ?ni ,2,1 ?? iYkiii XXX , 32 ??那么，樣本回歸模型為 () 樣本回歸方程為 () 其中， 這里 表示 Y的樣本估計值向量； 表示回歸 系數(shù)估計值向量； e表示殘差向量。 假定隨機干擾項 與解釋變量相互獨立，即 () 這里通常假定 X中的元素 為非隨機變量。 εε 2( , )nN ?0I?在實際經(jīng)濟問題中，這些假定條件有時可能并不成立。只能通過統(tǒng)計推斷的思想，用有限的樣本對 矩陣進行估計，得出參數(shù)估計值矩陣 。X) 是一個非退化矩陣，所以有 （ ） 這就是線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計量。已知得到 Y和 X的一組觀測值（ , ）（ ），于是有