【正文】 12在點(diǎn) M??? ???π4， 0 處的切線的斜率為 ( )． A．－ 12 C．－ 22 D. 22 解析 本小題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力． y′ ＝ cos x?sin x＋ cos x?－ sin x?cos x－ sin x??sin x＋ cos x?2 ＝ 11＋ sin 2x，把 x＝ π4代入得導(dǎo)數(shù)值為12. 答案 B 4． (2020g(x)]′ ＝ f′ (x)177。江蘇 )請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒．如圖所示， ABCD 是邊長為 60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得 A， B， C， D 四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn) P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒． E、 F 在 AB 上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè) AE＝FB＝ x(cm)． (1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積 S(cm2)最大，試問 x 應(yīng)取何值？ (2)某廠商要求包裝盒的容積 V(cm3)最大，試問 x 應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值． [審題視點(diǎn) ] 由實(shí)際問題抽象出函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最優(yōu)解，注意變量的實(shí)際意義． 解 設(shè)包裝盒的高為 h(cm)，底面邊長為 a(cm)．由已知得 a＝ 2x， h＝ 60－ 2x2 ＝2(30－ x)， 0＜ x＜ 30. (1)S＝ 4ah＝ 8x(30－ x)＝－ 8(x－ 15)2＋ 1 800， 所以當(dāng) x＝ 15 時(shí)， S 取得最大值． (2)V＝ a2h＝ 2 2(－ x3＋ 30x2)， V′ ＝ 6 2x(20－ x)． 由 V′ ＝ 0 得 x＝ 0(舍去 )或 x＝ 20. 當(dāng) x∈ (0,20)時(shí)， V′ ＞ 0；當(dāng) x∈ (20,30)時(shí)， V′ ＜ 0. 所以當(dāng) x＝ 20 時(shí)， V 取得極大值，也是最大值． 此時(shí) ha＝ 12. 在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí)，一般先設(shè)自變量、因變量、建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合，用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問題中的最大 (小 )值，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么根據(jù)實(shí)際意義該極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)． 【訓(xùn)練 3】 統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中，每小時(shí)的耗油量 y(升 )關(guān)于行駛速度 x(千米 /小時(shí) )的函數(shù)解析式可以表示為： y＝ 1128 000x3－ 380x＋8(0x≤ 120)． 已知甲、乙兩地相距 100 千米． (1)當(dāng)汽車以 40 千米 /小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？ (2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ 解 (1)設(shè)汽車以 x 千米 /小時(shí)的速度行駛時(shí)，其耗油量為 f(x)＝ 100x ??? ???1128 000x3－ 380x＋ 8 ＝ x21 280＋800x －154 (0x≤ 120) f(40)＝ (升 ) 因此從甲地到乙地要耗油 升． (2)f′ (x)＝ x640－ 800x2 ＝ x3－ 512 000640x2 ＝ ?x－ 80??x2＋ 80x＋ 6 400?640x2 又 0x≤ 120，令 f′ (x)＝ 0 解得 x＝ 80，當(dāng) 0x80 時(shí)， f′ (x)0； 當(dāng) 80x≤ 120 時(shí)， f′ (x)0. 則當(dāng) x＝ 80 時(shí)， f(x)取到最小值 f(80)＝ (升 ) 因此當(dāng)汽車以 80 千米 /小時(shí) 行駛時(shí)耗油最省，最小耗油量為 升． 難點(diǎn)突破 7—— 有關(guān)導(dǎo)數(shù)熱點(diǎn)問題的求解策略 導(dǎo)數(shù)的工具性使得導(dǎo)數(shù)在高考中的應(yīng)用有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，特別是在研究函數(shù)的性質(zhì)、相切問題以及實(shí)際優(yōu)化的問題方面．近年，各地高考都從不同的方面對(duì)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容進(jìn)行考查，既有考查導(dǎo)數(shù)的小題，又有考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的大題．這些問題構(gòu)成了高考試卷中一道亮麗的風(fēng)景線． 一、研究曲線切線的導(dǎo)數(shù)問題 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是我們解決有關(guān)直線與曲線相切的問題以及切線的斜率問題的有力武器，它使得 復(fù)雜的圖象關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)問題、因而常常與導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)的函數(shù)值一起作為列出方程的重要依據(jù)． 【示例】 ? (2020山東 )已知某生產(chǎn)廠家的年利潤 y(單位：萬 元 )與年產(chǎn)量 x(單位：萬件 )的函數(shù)關(guān)系式為 y＝－ 13x3＋ 81x－ 234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為 ( )． A． 13 萬件 B． 11 萬件 C． 9 萬件 D． 7 萬件 解析 y′ ＝－ x2＋ 81，令 y′ ＝ 0 解得 x＝ 9(－ 9 舍去 )．當(dāng) 0＜ x＜ 9 時(shí)， y′ ＞ 0；當(dāng) x＞ 9 時(shí)， y′ ＜ 0，則當(dāng) x＝ 9 時(shí)， y 取得最大值，故選 C. 答案 C 4． (2020福建 )若 a＞ 0， b＞ 0，且函數(shù) f(x)＝ 4x3－ ax2－ 2bx＋ 2 在 x＝ 1 處有極值，則 ab 的最大值等于 ( )． A． 2 B． 3 C． 6 D． 9 解析 f′ (x)＝ 12x2－ 2ax－ 2b，由函數(shù) f(x)在 x＝ 1 處有極值，可知函數(shù) f(x)在 x＝ 1 處的導(dǎo)數(shù)值為零， 12－ 2a－ 2b＝ 0，所以 a＋ b＝ 6，由題意知 a， b 都是正實(shí)數(shù)，所以 ab≤ ??? ???a＋ b2 2＝ ??? ???62 2＝ 9，當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b＝ 3 時(shí)取到等號(hào)． 答案 D 2．已知函數(shù) f(x)＝ 14x4－ 43x3＋ 2x2，則 f(x)( )． A．有極大值，無極小值 B．有極大值，有極小值 C．有極小值，無極大值 D．無極小值，無極大值 解析 f′ (x)＝ x3－ 4x2＋ 4x＝ x(x－ 2)2 f′ (x)， f(x)隨 x 變化情況如下 x (－ ∞ ， 0) 0 (0,2) 2 (2，＋ ∞ ) f′ (x) － 0 ＋ 0 ＋ f(x) 0 43 因此有極小值無極大值． 答案 C 3． (2020安徽 )設(shè) f(x)＝ ex1＋ ax2，其中 a 為正實(shí)數(shù)． (1)當(dāng) a＝ 43時(shí)，求 f(x)的極值點(diǎn)； (2)若 f(x)為 R上的單調(diào)函數(shù)，求 a 的取值范圍． 解 對(duì) f(x)求導(dǎo)得 f′ (x)＝ ex1＋ ax2－ 2ax?1＋ ax2?2 .① (1)當(dāng) a＝ 43時(shí)，若 f′ (x)＝ 0，則 4x2－ 8x＋ 3＝ 0， 解得 x1＝ 32， x2＝ 12. 綜合 ① ，可知 x ??? ???－ ∞ ， 12 12 ??? ???12， 32 32 ??? ???32，＋ ∞ f′ (x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 極大值 極小值 所以， x1＝ 32是極小值點(diǎn)， x2＝ 12是極大值點(diǎn)． (2)若 f(x)為 R上的單調(diào)函數(shù)，則 f′ (x)在 R上不變號(hào)，結(jié)合 ① 與條件 a＞ 0，知ax2－ 2ax＋ 1≥ 0 在 R上恒成立． 因此 Δ＝ 4a2－ 4a＝ 4a(a－ 1)≤ 0， 由此并結(jié)合 a＞ 0，知 0＜ a≤ 1. 考向二 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) 【例 2】 ?已知 a 為實(shí)數(shù)，且函數(shù) f(x)＝ (x2－ 4)(x－ a)． (1)求導(dǎo)函數(shù) f′ (x)； (2)若 f′ (－ 1)＝ 0，求函數(shù) f(x)在 [－ 2,2]上的最大值、最小值． [審題視點(diǎn) ] 先化簡再求導(dǎo)，求極值、端點(diǎn)值，進(jìn)行比較得最值． 解 (1)f(x)＝ x3－ ax2－ 4x＋ 4a，得 f′ (x)＝ 3x2－ 2ax－ 4. (2)因?yàn)?f′ (－ 1)＝ 0，所以 a＝ 12， 有 f(x)＝ x3－ 12x2－ 4x＋ 2，所以 f′ (x)＝ 3x2－ x－ 4. 令 f′ (x)＝ 0，所以 x＝ 43或 x＝－ 1. 又 f??? ???43 ＝－ 5027， f(－ 1)＝ 92， f(－ 2)＝ 0， f(2)＝ 0， 所以 f(x)在 [－ 2,2]上的最大值、最小值分別為 9－ 5027. 一般地，在閉區(qū)間 [a， b]上的連續(xù)函數(shù) f(x)必有最大值與最小值，在開區(qū)間 (a， b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值與最小值，若函數(shù) y＝ f(x)在閉區(qū)間 [a，b]上單調(diào)遞增，則 f(a)是最小值， f(b)是最大值；反之，則 f(a)是最大值， f(b)是最小值． 【訓(xùn)練 2】 函數(shù) f(x)＝ x3＋ ax2＋ b 的圖象 在點(diǎn) P(1,0)處的切線與直線 3x＋ y＝ 0 平行 (1)求 a， b； (2)求函數(shù) f(x)在 [0， t](t0)內(nèi)的最大值和最小值． 解 (1)f′ (x)＝ 3x2＋ 2ax 由已知條件 ??? f?1?＝ 0，f′ ?1?＝－ 3， 即 ??? a＋ b＋ 1＝ 0，2a＋ 3＝－ 3， 解得 ??? a＝－ 3，b＝ 2. (2)由 (1)知 f(x)＝ x3－ 3x2＋ 2， f′ (x)＝ 3x2－ 6x＝ 3x(x－ 2)， f′ (x)與 f(x)隨 x 變化情況如下： x (－ ∞ ， 0) 0 (0,2) 2 (2，＋ ∞ ) f′ (x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 2 － 2 由 f(x)＝ f(0)解得 x＝ 0，或 x＝ 3 因此根據(jù) f(x)的圖象 當(dāng) 0t≤ 2 時(shí)， f(x)的最大值為 f(0)＝ 2 最小值為 f(t)＝ t3－ 3t2＋ 2； 當(dāng) 2t≤ 3 時(shí)， f(x)的最大值為 f(0)＝ 2， 最小值為 f(2)＝－ 2； 當(dāng) t3 時(shí)， f(x)的最大值為 f(t)＝ t3－ 3t2＋ 2，最小值為 f(2)＝－ 2. 考向三 用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 【例 3】 ?(2020(即寬度變?yōu)榱撕穸?)，枕木的安全負(fù)荷會(huì)變大嗎？為什么？ (2)現(xiàn)有一根橫截面為半圓 (半圓的半徑為 R)的柱形木材，用它截取成橫截面為長方形的枕木，其長度即為枕木規(guī)定的長度，問如何截取，可使安全負(fù)荷最大？ 第 1 講 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 【高考 會(huì)這樣考】 1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在某點(diǎn)處的切線方程． 2．考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)計(jì)算，尤其是簡單的函數(shù)求導(dǎo)． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)充分利用具體實(shí)際情景，理解導(dǎo)數(shù)的意義及幾何意義，應(yīng)能靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行某些函數(shù)求 導(dǎo) . 基礎(chǔ)梳理 1．函數(shù) y＝ f(x)從 x1到 x2的平均變化率 函數(shù) y＝ f(x)從 x1到 x2的平均變化率為 f?x2?－ f?x1?x2－ x1. 若 Δx＝ x2－ x1， Δy＝ f(x2)－ f(x1)，則平均變化率可表示為 ΔyΔx. 2． 函數(shù) y＝ f(x)在 x＝ x0處的導(dǎo)數(shù) (1)定義 稱函數(shù) y＝ f(x)在 x＝ x0處的瞬時(shí)變化率 li mΔx→ 0 ΔyΔx＝ li mΔx→ 0 f?x0＋ Δx?－ f?x0?Δx 為函數(shù) y＝ f(x)在 x＝ x0處的導(dǎo)數(shù)，記作 f′ (x0)或 y′ |x＝x0，即 f′ (x0)＝ li mΔx→ 0 ΔyΔx. (2)幾何意義 函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù) f′ (x0)的幾何意義是在曲線 y＝ f(x)上點(diǎn) (x0， f(x0))處切線的 斜率． 相應(yīng)地，切線方程為 y－ f(x0)＝ f′ (x0)(x－ x0)． 3． 函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù) 稱函數(shù) f′ (x)＝ li mΔx→ 0 f?x＋ Δx?－ f?x?Δx 為 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作 y′ . 4． 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 若 f(x)＝ c，則 f′ (x)＝ 0； 若 f(x)＝ xα(α∈ R)，則 f′ (x)＝ αxα－ 1； 若 f(x)＝ sin x，則 f′ (x)＝ cos x； 若 f(x)＝ cos x，則 f′ (x)＝－ sin x； 若 f(x)＝ ax(a0，且 a≠ 1)，則 f′ (x)＝ axln_a； 若 f(x)＝ ex，則 f′ (x)＝ ex； 若 f(x)＝ logax(a0，且 a≠ 1)，則 f′ (x)＝ 1xln a； 若 f(x)＝ ln x，則 f′ (x)＝ 1x. 5． 導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則 (1)[f(x)177。ux′ . 一個(gè)區(qū)別 曲線 y＝ f(x)“ 在 ” 點(diǎn) P(x0， y0)處的切線與 “ 過 ” 點(diǎn) P(x0， y0)的切線的區(qū) 別： 曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) P(x0， y0)處的切線是指 P 為切點(diǎn)，若切線斜率存在時(shí)，切線斜率為 k＝ f′ (x0)，是唯一的一條切線；曲線 y＝ f(x)過點(diǎn) P(x0， y0)的切線，是指切線經(jīng)過 P 點(diǎn)，點(diǎn) P 可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條． 兩種法則 (1)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則． (2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則． 三個(gè)防范 1．利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆． 2．要正確理解直線與曲線相切和直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的區(qū)別． 3．正確分解復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，做