【正文】 運用此定理時，先確定定義域，再證明其單調(diào)性，然后就求極限 . 例 14 設 1 1x? ,1 1 1 nn nxx x? ???,證明 :limnx x??存在 ,并求之 . 證明 2132xx??,若 1kkxx?? ,則 ? ? ? ?111 01 1 1 1k k k kkk k k k kx x x xxx x x x x??? ?? ? ? ? ?? ? ? ? , 所以 ??nx 單調(diào)增加 ,且 110 1 21knkxx x??? ? ? ??,于是由定理可知 :limnx x??存在 ,設lim nx xa?? ? ,兩邊求極限 ,有 : 1 1aa a??? ,即 : 2 10aa? ? ? ,所以 ,a = 132? ,即limnx x?? ? 132? . 16 柯西準則 設函數(shù) f 在 ),( 00 ‘?xU 內(nèi)有定義 , ? ?0limxxfx?存在的充要條件是 :任給 0?? ,存在正數(shù) ? ?39。 ?xUx ? 有 ： ? ? ? ?39。39。39。 1 1, 2 ,2 2nxnn ?????,顯然有 39。1sin 0 0nx ??,39。39。 沒有這 三年半 知識的積淀，我沒有這么大的動力和信心完成這篇論文。 感謝所有與我共享陽光和快樂的同學，有你們的陪伴和支持，我的大學充實而精彩 。 。 感恩之余，誠懇地請各位老師對我的論文多加批評指正，使我及時完善論文的不足之處。值此論文完成之際，謹向 數(shù)學與統(tǒng)計學院 全體老師表示衷心的感謝并致以崇高的敬意，他們在我本科 學習期間，不僅傳授我更多的專業(yè)知識，而且在 生活 方面也給予了很多 幫助 。 當然 ,有些題目有可能可以用多 種方法來解決 ,此時 ,我們不可以死搬硬套 ,要從繁瑣中找復雜 ,在復雜中找簡單 ,而關(guān)于如何做到這一點 ,就必須在做題中不斷總結(jié)、摸索、領悟各種方法的精髓 ,才能熟練而有靈活的掌握與運用各種求極限的方法 。1sin 1 1nx ??? ?n??,所以 ,39。39。 1nx n??, ? ?39。,xx ，然后作出 )()( 39。39。x , ),( 0039。 32 39。f (x)= xyx ???? 0lim = x xfxxfx ??????)()(lim0， 如果 39。對 0/0 和 ??/ /型 的，用洛必達法則，還有一些待定型函數(shù)的極限，先化為 0/0 或 ??/ 的再用此法則 。 而在運用 夾逼準則 時 ， 關(guān)鍵在于構(gòu)建兩個函數(shù) )()( xgxf 和 。 運用極限四則運算時，要注意 分子分母有理化 ，當然對于 簡單的一類，直接 代 入 ， 如果 代 入后分母為零，就化簡，比如分解因式，然后 代 入其中 。 本文介紹了 一些求 極限的 方 法 有 ： 利用 ??? 或 n?? 定義求極限、函數(shù)連續(xù)性求極限、四則運算、兩個重要極限、等價無窮小量代替求極限、 洛必達法則 、泰勒展式求極限、 微分中值定理、積分中值定理、 夾逼準則等等。除這些常規(guī)方法外 ,還有許多技巧 ,這些技巧隱含在函數(shù)的相關(guān)理論中 ,對這些技巧進行探討歸納 ,不僅有教材建設的現(xiàn)實意義 ,而且便于解決極限相關(guān)問題。求極限的主要方法有用定義 ,四則運算 ,兩邊夾法則 ,函數(shù)連續(xù)性等。Hospital Rule Important limit Equivalent infinitesimal 引言 極 限是研究變量變化趨勢的基本工具，《數(shù)學分析》中許多基本概念，如連續(xù)，導數(shù)，定積分，無窮級數(shù)都是建立在極限的基礎上，極限方法又是研究函數(shù)的一種最基 本的方法，因此學好極限在高等數(shù)學學習中具有重要意義。運用 連續(xù) 性求極限時 ，在定義域范圍內(nèi)求極限，可以將該點直接代入得極限值，因為連續(xù)函數(shù)的極限值就等于在該點的函數(shù)值 。在利用等價無窮小量求極限，那就要求要先熟記幾個替換了，如： tan ( 0)x x x??， sin ( 0)x x x??，也要注意到只有對所求函數(shù)式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量替換 ,而對于極限式中的相加或相減的部分則不能隨 便替換。 也可以用等價無窮小代換進行化簡，化簡之后再考慮用洛必達法則。f (x)為差商 y? / x? 的極限： 39。已知函數(shù) xxf ?)( 在 [0， 1]可積，于是由定積分求和式有 ??xlim ?? ?nk nk1 n1 = dxx?10 =32 . 5 利用函數(shù)極限的四則運算求極限 利用函數(shù)極限的四則運算法則求極限是最基本 、 最直接的方法 ， 但需注意的是各個函數(shù)的極限必須存在且分母的極限不能為零 .有些情況下能直接利用極限的四則運算法則 ， 而有時我們無法直接利用極限的四則運算法則 ， 這時就要求我們對所給的函數(shù)進行化簡變形 ， 之后再利用四則運算法則求解 . 例 5 求 43 842lim23232 ?????? xxxxxx 解 由于 2?x 時， 0842 23 ???? xxx ， 043 23 ??? xx 故無法直接用四則運算，應先化簡原函數(shù) 原式 =43 842lim 23 232 ?? ???? xx xxxx=)4()2( )2(4)2(lim 22322 ??????? xxxxxxx = ???? ???? )1)(2)(2( )2)(2)(2(lim2 xxx xxxx 34)1