【正文】 etrically unbiased discretization of the contacting surfaces. A proposed twodimensional contact element is specifically designed to unconditionally allow for exact transmission of constant normal traction through interacting surfaces. KEY WORDS frictionless contact。不考慮離散化使用空間的元素（例如三角形的三個定點和四邊形的四個點）的線性規(guī)則。 有限元區(qū)域 在這節(jié)中假設(shè)一個具體的接觸有限元是建立在方程式 (10a) 的 (12)的基礎(chǔ)上。因此每個接觸單元 )(?eC 在接觸面 )(?C 上的立體空間元素與其對立面相聯(lián)系。這里待確定的兩個關(guān)鍵問題是接觸單元的幾何作圖和有限元近似值的可允許區(qū)域的選擇。在提出的明確表達(dá)中關(guān)鍵的一步是 (10a) 和 (10b),易于接受的規(guī)則化的罰數(shù)的引入，例如 ???? )()( ?? ? gp 由 (12)，等式 (10a)可以寫為 5 }:{ )(2 1 ???? ???? ? dtwdvbwpdvtdi v w q xtt nxxx ??? ? ? ??? ? ???? 0)2()1( 22)2(11)1( ??????????? ?? CC dnwgdnwg ???? (13) 上面的 (13)中的任意兩個積分在形式上是相同的， 即積分邊界來源于一個新問題的規(guī)則化罰數(shù)。 當(dāng) 4 整式 (9)表明，在每個物體的范圍內(nèi)，適當(dāng)?shù)慕o定一個 拉 格朗日區(qū)域 )(?p ， (5b)可以在每個接觸面上分別作用。 為了證明方程式 (5a)的正確性，把這項工作看做是允許函數(shù) 1w 和 2w 上沿 C 的觸點壓力，即為 ? ? ??????? C Cc dnwwpdnwwpW ?? 221121 )()( (6) 在 C 上，在沒有摩擦和回顧時 21 nn ?? ，柯西引理應(yīng)力矢量意味著 12 )(1 )( :21 pntt nn ???? (7) 借助于方程 (7)，方程 (6)可寫為 ?? ??????? CCc dynwwpdynwwpW 221121 )()( 這表明 拉 格朗日乘數(shù)區(qū)域是自然等同于正常的在接觸范圍內(nèi)的牽動引力（壓力）。 在不存在慣性效應(yīng)時，方程式的局部形式控制著如下給出的每個物體的運動， div 0?? ??? ? bt in ?t? (4a) ?? ??uu on ?u? （ 4b） ??? ?ntnt ? on ?q? (4c) 0)( ??g on ?t? (4d) 當(dāng) ?t 是克西的應(yīng)力張量， ?? 是質(zhì)量密度， ?b 是每單位質(zhì)量的質(zhì)量力， ?u 是法定的界壁位移， ??nt是在 ?q? 上的法定牽引向量。( 2122 nxxx ? 滿足 0)( 221 ??? nxx 。 不連續(xù)函數(shù) )(?g ，可能是多值的，每個 物體的邊界按照如下的定義：對每一個22 tx ??? ， ?????? ?12)1( : ttg 是給定的為 112)1( )( nxxg ??? （ 2a） 當(dāng) )。并且 ?t?? 的外在的單位標(biāo)準(zhǔn)記作 ?n 。至少有一個物體是假定可變的。 接觸力學(xué)的一個簡潔的闡述在第 2 節(jié)中出現(xiàn)，特別強調(diào)在接連發(fā)生的算法的發(fā)展中常常用公式表示。 根據(jù)兩機構(gòu)問題接近于連續(xù)的兩同時發(fā)生問題， 目前的文章的重要貢獻是鑒定一般的程序 。拉格朗日算子方法和它們的規(guī)格化（罰數(shù)和增廣的拉格朗日方法） 是典型地被用在執(zhí)行不可測知中。一個相當(dāng)廣泛的在題目中的調(diào)查在參考書目中發(fā)現(xiàn)。 一個表面接觸單元是特定 設(shè)計在無條件下，允許在兩接觸表面間進行一直的牽引動力的傳輸。 這個方法是基于兩結(jié)構(gòu)接觸性問題變成兩個同時發(fā)生的問題的分解，最終結(jié)果是在幾何學(xué)上而不是在離散的接觸表面上。 從康里和瑟瑞 吉，禪和圖巴的早期作品以后，很多方法論都在接觸機械學(xué)的文獻中被提出了。 各種商業(yè)和科研計算機編碼采用的算法，以解決這種 問題。 假設(shè)存在一些連續(xù)的接觸表面， 另外的整合法則也都是合適的 。 根據(jù)源于鐐銬的工作 中的斑貼試驗 ，及其以后的概括，恒壓（在大小和方向）的精確代表性的能力被看做是一個健全的必要條件和總體接觸算法的收斂。 2. 兩物體接觸問題 考慮物體 ,2,1, ?? ?? 認(rèn)為等同于線性空間 3? 的開連通集 ?? ，配有標(biāo)準(zhǔn)基( 1E , 2E , 3E )和歐幾里德準(zhǔn)則。向量 ?，在線性結(jié)構(gòu)（以 t 變化）中它的范圍是用 ?t? 和 ?t?? 來確定的，因此，則有 ),(: tt ??? ? ??? 和 ),(: tt ??? ? ????? 。雖然沒有明白的之處，但 2 是一般依照時間來說，它應(yīng)該不包含 ?u? , ?q? 和 C。?????? ?21)2( : ttg 的一個完整的相似的定義生成下面的結(jié)果： 221)2( )(: nxxg ??? (2b) 又有對每一 11 tx ??? , )。( 2)2(1)1( ??????? CgCgCg tt (3) 因此不可測知條件（ 1）根據(jù)上面的不連續(xù)函數(shù)被重寫作 0,0 )2()1( ?? gg 。位移區(qū)域 ?u 屬于空間 ?? 即 ?????? ??????? ???uxxx onuuHu |)(1 質(zhì)量函數(shù) ?w 也屬于空間 x? ，定義為 }0|)}({ 1 ??? uxx onwHw ?????? 允許函數(shù) p ≥ 0 是分段連續(xù)的。 為了進一步證明 拉 格朗日乘數(shù)在兩物體接觸問題中的作用，為接著發(fā)生的近似數(shù)值提供了一些動機，用 (2b) 和 (8)改寫 (5b)中在接觸面 C 上構(gòu)成整體所 必需的，即 ?? ???? CC dynxxqgdypq ])[()( 221 ?? ?????)2()1( 2211 CC dyxqxdynqx (9) 符號 )(?C 僅僅被用來強調(diào)接觸面 C 不普遍的看做 ?t?? 的一部分，就像 (3)中所表明的。 (5a) 和 (5b)的典型的罰數(shù)調(diào)整是在 ???? gp ? 的條件下獲得。 由于罰數(shù)參數(shù)的有限值的普及率，接觸面 C 的一個獨特的定義和缺陷函數(shù)并不是容易地應(yīng)用在 (11)中的。 3. 三維接觸的兩個應(yīng)用 這篇文章的其余部分專門討論在明確表達(dá)罰數(shù)的基礎(chǔ)上的離散二維接觸問題和兩表面上的缺失函數(shù)的鑒定，像在第二節(jié)中所述。 )2(C 的離散化采用相同的步驟。對于一個特殊的離散來說會導(dǎo)出代表兩個層面的光滑邊界，見參考資料 13 。 數(shù)值積分典型地把所有邊界術(shù)語用在接觸面上。所提出的接觸單元是建立在從發(fā)源到標(biāo)準(zhǔn) Q9 元素（等參的九個節(jié)點）的移置區(qū)域和引用的辛普森標(biāo)準(zhǔn) 上的。( 1211 nxxx ? is such that 0)( 112 ??? nxx see Fifure of 1?? renders )1(g singlevalued, although such a restrictive geometric condition will not be 10 imposed at the outset . A pletely analogous definition for ?????? ?21)2( : ttg yields 221)2( )(: nxxg ??? (2b) Where,again, for each 11 tx ??? , )。 is the Macauley bracket and 0?? is a constant penalty parameter. Constraint conditions (4d) are relaxed (thus permitting controlled peration to take place) and displacement fields ?? ??xu are determined so that ???? ? ??????????? ? ??? ? Cnxxx dynwwgdtwdvbwpdvtdi v w q xtt 0)(}:{ 221)(2 1 ????? ???? ? (11) for all ?? ??w .Under restrictions such as formal equivalence of the original 13 unconstrained problem to a convex minimzation problem， the sequence o