【正文】 41 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 用符號表示為： 其中 ， ESS—— Explained Sum of Squares RSS—— Residual Sum of Squares TSS—— Total Sum of Squares 決定系數(shù) R2 計量了 Y的總變差中可以歸因于 X和Y之間關(guān)系的比例 ， 或者說 Y的變動中可以由 X的變動來解釋的比例 。 在一般情況下 ，總會出現(xiàn)正負殘差 （ et） ， 通過對這些殘差的分析 ，有助于衡量回歸直線擬合樣本數(shù)據(jù)點的程度 。 它是對 Y和 X之間關(guān)系的一種描述 ，但該直線是不是 Y和 X之間關(guān)系的一種恰當?shù)拿枋瞿?？如果各觀測點緊密地聚集在這條直線的周圍 ， 則表明該直線對 Y和 X之間關(guān)系的描述是好的；否則 ， 用直線來描述這兩個變量之間的關(guān)系就未必恰當 ， 如下圖所示： tt XY ?? ??? ??34 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) （ a） 恰當描述 （ b） 不恰當描述 圖 23 35 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 應(yīng)該指出 ， 對于任意兩個變量的一組觀測值 ，我們總是可以運用最小二乘法得到一條直線 ， 問題是該直線能否較好地擬合所給定的觀測值 ， 這就是擬合優(yōu)度問題 。 剩下的就是最佳性了 ， 即 的方差小于等于 β的其他任何線性無偏估計量的方差 ， 我們可以證明這一點 ， 但由于時間關(guān)系 ，從略 。 ????2)()?(tttxuExE ??????????2?tttxux??25 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 由 ， 我們有： XY ?? ?? ??)?()?( XYEE ?? ??)?( XuXE ??? ????)?()( ??? EXuEX ??????? XX ????????即 是 的無偏估計量?？梢宰C明，對于CLR模型，普通最小二乘估計量正是這樣一個好估計量。 16 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 運用微積分知識，使上式達到最小值的必要條件為： 即 )2(0)??)((2?)1(0)??)(1(2?0????????????????tttttXYXSXYSSS????????????????17 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 整理，得： 此二式稱為正規(guī)方程。 第一部分是 Yt的 擬合 值或預(yù)測值 ： , t=1,2,……,n 第二部分， et ，代表觀測點對于回歸線的誤差，稱為 擬合或預(yù)測的 殘差 （ residuals）： t=1,2,……,n 即 t=1,2,……,n tY?tt XY ?? ??? ??ttt XYe ?? ?? ???ttt YYe ???XY ?? ??? ??14 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 殘差平方和 我們的目標是使擬合出來的直線在某種意義上是最佳的，直觀地看，也就是要求估計直線盡可能地靠近各觀測點，這意味著應(yīng)使殘差總體上 盡可能地小。 滿足條件 （ 1） — （ 4） 的線性回歸模型稱為古典線性回歸模型 （ CLR模型 ） 。 實際上該假設(shè)等同于： cov( uI, uj) = 0, i≠j 這是因為： cov(uI, uj) = E{[ui E(ui)][uj E(uj)]} = E(uiuj) —— 根據(jù)假設(shè) （ 1） 9 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) （ 3） E(ut2)= ?2, t=1,2,… ,n 即各期擾動項的方差是一常數(shù) ， 也就是假定各擾動項具有同方差性 。 沒有理由相信這樣一些影響會以一種系統(tǒng)的方式使因變量增加或減小 。為了應(yīng)用最小二乘法，得到好的估計量， 雙變量線性回歸模型需要滿足一些統(tǒng)計假設(shè)條件，這些統(tǒng)計假設(shè)是： 6 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 雙變量線性回歸模型的統(tǒng)計假設(shè) (1). E(ut) = 0, t= 1, 2, ...,n 即各期擾動項的均值 (期望值 )為 0. (2). E(uiuj) = 0 i? j 即各期擾動項互不相關(guān) . (3). E(ut2 ) = ?2 , t= 1, 2, ...,n 即各期擾動項方差是一常數(shù) . (4). 解釋變量 Xt 為非隨機量 即 Xt的取值是確定的 , 而不是隨機的 . (5). ut ~ N( 0, ?2 ) , t= 1, 2, ...,n 即各期擾動項服從正態(tài)分布。 （ 2） 兩變量之間的關(guān)系可能不是嚴格線性的 ， u反映了與直線的偏差 。1 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 雙變量線性回歸模型 （簡單線性回歸模型） （ Simple Linear Regression Model） 2 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 第一節(jié) 雙變量線性回歸模型的估計 一 . 雙變量線性回歸模型的概念 設(shè) Y = 消費 , X = 收入 , 我們根據(jù)數(shù)據(jù)畫出散點圖 Y * 這意味著 * Y = ? + ?X (1) * 我們寫出計量經(jīng)濟模型 * Y = ? + ?X + u (2) * 其中 u = 擾動項或 誤差項 Y為因變量或被解釋變量 圖 1 X X為自變量或解釋變量 ?和 ? 為未知參數(shù) 3 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 設(shè)我們有 Y和 X的 n對觀測值數(shù)據(jù)，則根據(jù) (2)式，變量 Y的每個觀測值應(yīng)由下式?jīng)Q定： Yi = ? + ?Xi + ui , i = 1, 2, ...,n (3) (3)式稱為 雙變量線性回歸模型 或 簡單線性回歸模型 。 當數(shù)據(jù)為時間序列時，往往用 下標 t來表示 觀測值的序號，從而（ 3）式變成 Yt = ? + ?Xt + ut , t = 1, 2, ...,n (3’) 4 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 為何要在模型中包括擾動項 u 我們在上一章中已初步介紹了為什么要在模型中包括擾動項 u， 下面進一步說明之： （ 1） 真正的關(guān)系是 Y = f (X1， X2， … )， 但 X2, X3,… , 相對不重要 ， 用 u代表之 。 ?X?X5 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 二 . 普通最小二乘法 (OLS法 , Ordinary Least squares) 我們的模型是： Yt = ? + ?Xt + ut , t = 1, 2, ...,n 這里 ?和 ? 為未知總體參數(shù)，下一步的任務(wù)是應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)的方法，由 Y和 X的觀測值（即樣本數(shù)據(jù)）來估計 ?和 ? 的總體值，常用的估計方法就是 最小二乘法。 均值為 0的假設(shè)反映了這樣一個事實：擾動項被假定為對因變量的那些不能列為模型主要部分的微小影響 。 也就是假定它們之間無自相關(guān)或無序列相關(guān) 。 （ 5） ut ~ N( 0, ?2 ) , t= 1, 2, ...,n 即擾動項服從正態(tài)分布 。 ?? ??12 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) * * * * * et * * * * * * * * * * * * Y X Xt 圖 2 Yt tY?XY ?? ??? ??13 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 殘差 擬合的直線 稱為擬合的回歸線 . 對于任何數(shù)據(jù)點 (Xt, Yt), 此直線將 Yt 的總值 分成兩部分。即選擇 和 ，使得 ?? ???? ???????222)??()?(tttttXYYYeS??達到最小值。 一般說來，好的估計量所產(chǎn)生的估計值將相當接近參數(shù)的真值，即好的估計值。 在證明 無偏性的過程中 , 我們僅用到 (1)和 (4)兩條假設(shè)條件 。 30 (海量營銷管理培訓(xùn)資料下載 ) 我們已在前面證明了無偏性，此外，由于： —— 由上段結(jié)果 ， = 其中 這表明 ， 是諸樣本觀測值