【正文】 32。(t)=0,得t= 9 1 當(dāng)2163。(t)0。,f(2)253。254。252。1233。246。247。2234。2248。n1233。 =21+234。2235。234。11230。247。2248。n230。2232。247。232。N)n(n+1)2 12+23+Ln(n+1)179。1246。21(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明an179。230。a+163。an,(n179。1 兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得： lnan+1163。1n+n1n+n1n+n222+1246。lnan+n \lnan+1lnan163。2+12180。247。1246。2248。、或.例15 已知n179。n1n*例16 若Sn=1+12+13+L+1n,n206。N).例18 求證(Ⅰ)+1!112!+L+證明：(Ⅰ)1n!=1n(n1)(n2)L2112n1122L21=(n179。N).*證明：這是一個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題的改編題,我們先給出一般算法： 112+122+L+1n2112+11180。4+L1(n1)n=1+ = 由 11211246。11246。+231。4232。232。N).*證明：(Ⅰ)略(Ⅱ)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), 1a1+1a2+L1an230。+231。1432230。231。 ++231。aa4248。n16 =+434+43+L+43n1230。2232。 247。247。232。11246。++L++231。3248。1231。21210例21 求證5證明：由于12+13+1214+L+1215=+1216102=1； +1714+14+14+14=144=1；?? ??1210129+12+19+L+121011119++L+=2=1； 99992442221424443291 由1,將上面的不等式兩邊相加,得到：12+1213=+1214+L+121010又由于；淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 16 +311416+1417++1418=14182=+18+1218；+18=184=12 +51；?? ??12+19+12+29+L+121011 ++L+101010244223142444291 =將上面的不等式兩邊相加,得到：12+13+14+L+12121012102=912；513+1；+L+1210 于是,綜上得到5+4 結(jié)綜上可知,放縮法的技巧千變?nèi)f化,放縮法貫穿于整個(gè)不等式的證明過(guò)程中,不等式證明的每一步幾乎都與“放”與“縮”：(1)在放縮過(guò)程中不等號(hào)的方向必須一致；(2)運(yùn)算時(shí)要注意總結(jié)規(guī)律,有些不等式用特定的放縮方法可以使計(jì)算簡(jiǎn)便,而有些不等式可以用很多種方法解決；(3)不等式的放縮法在不等式的證明中應(yīng)用廣泛,但是遇到具體題目時(shí)不能生搬硬套,用放縮法證明不等式關(guān)鍵就是“度”的把握,如果放得過(guò)大或太小就會(huì)導(dǎo)致解題失敗,而如果放縮不適當(dāng)要學(xué)會(huì)調(diào)整,一些實(shí)用的技巧可以幫助我們把握放縮中的“度”,而具體怎樣放縮才適度,放縮方法更是多種多樣,要能恰到好處的想到具體解題中的放縮方法,需要積累一定的不等式知識(shí), 17 致謝感謝我的導(dǎo)師，她在我的論文寫(xiě)作過(guò)程中傾注了大量心血，從選題開(kāi)始到開(kāi)題報(bào)告，從寫(xiě)作提綱到一遍遍的指出稿中的具體問(wèn)題，每一個(gè)工作她都做得那么的細(xì)致認(rèn)真，她的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和工作風(fēng)深深的感動(dòng)著每一個(gè)了解她的人。所以在運(yùn)用放c+ab[評(píng)析]：本題中為什么要將b+ca與a+bc都放縮為c+ab呢？這是因?yàn)?cab≤0，2abc≥0，而2bac無(wú)法判斷符號(hào)，因此縮法時(shí)要注意放縮能否實(shí)現(xiàn)及放縮的跨度。R+且abc=1求證111≤1 =+1+a+b1+b+c1+c+a證明：設(shè)a=x3,b=y3,c= x、y、z206?！郺0。R+，p206。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A。2223833∴左邊=(a+b+c)22(ab+bc+ca)+abc23434 =92a(b+c)+bc(a)≥92a(3a)+(3a)2(a)2383341633=9+(3a)[(3a)(a)a]=9(3a)[a2=a+4]=9(a3+2a2a+12)83388=99393+a(a22a+1)=+a(a1)2≥2282893 ∴a2+b2+c2+abc≥22[評(píng)析]：本題運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性確定符號(hào)，在使用基本不等式可以避開(kāi)討論?！?+a+b=xyz+x3+y3∴x3+y3(x2y+xy2)=x2(xy)+y2(yx)=(xy)2(x+y)≥0 ∴x3+y3≥x2y+xy2∴1+a+b=xyz+x3+y3≥xyz+xy(x+y)=xy(x+y+z)∴1z1=≤xy(x+y+z)x+y+z1+a+byx11≤，≤ ∴+y+zx+y+z1+b+c1+c+a同理：由對(duì)稱(chēng)性可得[評(píng)析]：本題運(yùn)用了排序不等式進(jìn)行放縮，后用對(duì)稱(chēng)性。由例例2也可知運(yùn)用放縮法前先要觀察目標(biāo)式子的符號(hào)?，F(xiàn)例析如下，供大家討論。2232。n+L+43n+1+434+436=12+1314++1230。aa4247。247。432230。231。230。21an+11a2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),因?yàn)?a11a21an1a10,則：++L++L1an+1an+1246。1231。232。231。+L+231。11246。a2248。247。1n74741n：112+122+L+1n2+122+132+13180。232。+L+231。1+231。11246。3+L1(n1)n=2 由21n61361n ,顯然放得過(guò)大,要減少放大的項(xiàng)；先試試減少一項(xiàng)： 112+122+L+1n2112+122+12180。4) +13!+12 則左邊1+23717 =n2412342!+1233+L+123n2 限制放縮的項(xiàng)和次數(shù)若對(duì)不等式中的每一項(xiàng)都進(jìn)行放縮,很可能造成放得過(guò)大或縮得太小,若限制放縮淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 14 的項(xiàng),保留一些特定項(xiàng)不變,可以通過(guò)這樣來(lái)調(diào)整放縮的“度”,逼近欲證明的目標(biāo), 求證112+122+L+1n261361n(n179。12+13+L+1n,求證：n；(Ⅱ)Sn2(n+11)；(Ⅲ)Sn：(Ⅰ)Sn=1+1n12+13+L+1n1n 179。N,證明122+132+L+1n2163。f(n),這里的163。1n247。23248。11246。1)上式從1到n1求和可得： \lnan+1lnan163。+lnann2248。1+232。2n+n2248。231。246。2)；(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)x對(duì)x：(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明,略；(Ⅱ)用遞推公式及(Ⅰ)的結(jié)論有 an+1=231。1) a+247。1+232。n 綜合法對(duì)于比較復(fù)雜的不等式證明,(1985年高考題)證明：Qn(n+1)179。231。n1230。 221231。235。2234。n =2234。nn233。2248。247。1246。235。2248。247。234。246。2n+即an163。230。232。f231。(t)0；當(dāng)1t163。 f162。+n+1247。,則: 2232。:令f(t)=1230。247。[,2],Tn是{an}的前n247。n1t+231。R，1a|f(x)f(y)|1219。3時(shí)，1n+1+1n+2+L+xx+a213n+12a5, 設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=的充要條件是a1.,求證：對(duì)任意的x,y206。1f(n+1)f(n)==213n+2+13n+3+3n+41n+13(n+1)(3n+2)(3n+4)0.\f(n+1)f(n)，f(n)是增函數(shù),其最小值為f(1),f(n)min=f(1)=12+13+14=1312，淺談?dòng)梅趴s法證明不等式 8 故對(duì)一切自然數(shù),f(n)179。1，\