【正文】 0。 s=sqrt((x(i)x(j)).^2+(y(i)y(j)).^2)。 %distance 為任意兩點(diǎn)間距離矩陣 d=zeros(8)。 judge(p,q)=*distance(p,q)d(p,q)。 for p=1:1:8 for q=(p+1):1:8 distance(p,q)=sqrt((x(p)x(q)).^2+(y(p)y(q)).^2)。 dist(j(k),i(k))=s(k)。 300 300 300 300 300 300 300 300 0 300。 300 300 300 130 0 85 300 300 300 300。 dist =[ 0 30 300 300 300 300 300 300 300 300。 Kruskal(w,300) x=[20,50,160,200,120,35,10,0,]。 judge(p,q)=*distance(p,q)d(p,q)。 %distance 為任意兩點(diǎn)間距離矩陣 d=zeros(8)。 s=sqrt((x(i)x(j)).^2+(y(i)y(j)).^2)。 300 300 300 300 300 25 0 85 300 300。 300 110 0 300 300 300 300 300 300 300。 i=[1 1 2 3 3 5 6 6 9]。0,0,0,50,100,100,100,25,]。 for p=1:1:8 for q=(p+1):1:8 distance(p,q)=sqrt((x(p)x(q)).^2+(y(p)y(q)).^2)。 dist(j(k),i(k))=s(k)。 300 300 300 300 300 300 85 0 300。 300 300 300 0 130 300 300 300 300。 j=[2 8 9 4 5 9 7 9]。 w=dist(a)。 printf(Xf=%f,Yf=%f,Xf,Yf)。 } Kce=(YcYe)/(XcXe)。 } if (YaYb+(XaXb)*(YcYb)/(XcXb)) { Xe=(Xa+Xb)/*(YaYb)/2。 if (YaYb+(XaXb)*(YcYb)/(XcXb)) { Xe=(Xa+Xb)/2+*(YaYb)/2。Xb,amp。 end end 附件 4 求斯坦納點(diǎn)的代碼： include void main() { float Xa,Ya,Xb,Yb,Xc,Yc,Xd,Yd,Xe,Ye,Xf,Yf,Kce,Kbd。 judge=zeros(8)。 for k=1:1:length(i) dist(i(k),j(k))=s(k)。 300 300 300 300 300 300 300 300 300 0 300 300。 300 300 300 300 85 0 25 300 300 300 300 300。 30 0 110 300 300 300 300 300 300 300 300 300。 y=[0,0,0,50,100,100,100,25,75,40,40,70]。])。 end if count=2*n error([39。 t0 p=parent(t)。 path(1)=t。 end end end distance=D(e)。 j=index。 for j=1:n if visit(j) temp=[temp(1:count) D(j)]。 % node visibility visit(s)=0。 end end 附件 2 Dijkstra 函數(shù) function [distance,path]=dijkstra(A,s,e) % [DISTANCE,PATH]=DIJKSTRA(A,S,E) % returns the distance and path between the start node and the end node. % % A: adjcent matrix 23/33 % s: start node % e: end node % initialize n=size(A,1)。 %更新 index break。 %找到出現(xiàn)次數(shù)小于 2 的端點(diǎn) count=0。 %用于存儲(chǔ)各點(diǎn)的出現(xiàn)的次數(shù)（一條邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)端點(diǎn)） 22/33 for i=1:num %統(tǒng)計(jì)各點(diǎn)的出現(xiàn)次數(shù) p(w(index(i),2))=p(w(index(i),2))+1。 end function isfind=findcycle(w,N) %本程序用于判斷 所給的邊能否構(gòu)成圈：有圈，返回 1；否則返回 0 %w：輸入的邊的矩陣 %N：原圖的點(diǎn)數(shù) %原理：不斷除去出現(xiàn)次數(shù)小于 2 的端點(diǎn)所在的邊，最后觀察是否有邊留下 len=length(w(:,1))。39。)。 if ~isempty(find(index==i,1)) s_tmp=sprintf(39。,39。,39。 %將構(gòu)成 圈的邊從 index 中除去 if i==len break。 %其實(shí)測(cè)試邊數(shù)為 3 條（ 3 條以下無法構(gòu)成圈，即無需檢測(cè)） while 1 x=findcycle(edge(index(1:i),:),len)。 count=count+1。 %用于存儲(chǔ)圖中的邊 count=1。開封：電腦知識(shí)與技術(shù)， 20xx。 Steiner 最小樹問題及其應(yīng)用。 [2] 林小玲，何建農(nóng)，周勇。 . 模型的推廣 由于本題采用圖論模型的方法求解 ， 分析了在不同的限制條件下道路長(zhǎng)度和最短的數(shù)學(xué)模型及求解， 并提出能夠找到該近似算法或原則，可 以較好的推廣到解決 交通網(wǎng)絡(luò)、輸油管道、 災(zāi)情巡視線路、投遞、旅行商等實(shí)際問題 。每條路徑對(duì)應(yīng)從一個(gè)終端節(jié)點(diǎn)出發(fā)，直至滿足某個(gè)條件終止。 為了實(shí)現(xiàn)優(yōu) 19/33 先更新需要將每個(gè) 頂點(diǎn)連同它的數(shù)組下標(biāo)存儲(chǔ)在堆中，其時(shí)間復(fù)雜度在算法實(shí)現(xiàn)部分分析。 因?yàn)榫哂?n 個(gè)元素的二叉堆是一棵完全二叉樹，其高度為 logn 。 堆是一種抽 象數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，由一系列元素集合構(gòu)成，每個(gè)元素有個(gè)實(shí)數(shù)類型的關(guān)鍵字。若能快速訪問到具有最小 D 值的藍(lán)點(diǎn)，則可大大減少算法的時(shí)間復(fù)雜度。初始化時(shí)，只有源點(diǎn) s 的最短距離是已知的( ( ) 0)Ds? ? ? ，其余各點(diǎn)的估計(jì)最短距離 D 值均設(shè)為無窮大。本問題中的算法都只是近似算法 , 所得最優(yōu)設(shè)計(jì)方案 也只是近似最優(yōu)解； 4) 問題二、三所用算法利用人工擾動(dòng)精度不高且效率較低； 5) 問題 三求解是在 可利用湖的四邊而不算入所修總路程的假設(shè)下，具 有一定的理想局限性。經(jīng)多次驗(yàn)算，我們確定了一個(gè)斯坦納點(diǎn) ? ?55,80S 。故只需要添加 一個(gè) 道路交叉點(diǎn)使 2 5 6,P P P 這三點(diǎn)滿足兩入口直線距離的 倍這一條件 ，并且使新增的道路總長(zhǎng)度最小；經(jīng)分析，該點(diǎn)即為斯坦納點(diǎn) 。所得到的 judge 矩陣為： 由于矩陣中無負(fù)元素，故 檢驗(yàn)得 所求道路滿足題目要求。如果有 1 度輔助點(diǎn)被刪除，則會(huì)影響相鄰點(diǎn)的度；如果有兩個(gè) 3 度輔助點(diǎn)相鄰，則校正了 1 個(gè)輔助點(diǎn)成斯坦納點(diǎn)后，另一個(gè)輔助點(diǎn)可能又變得不在最佳位置。若有 1 度輔助點(diǎn)，則顯然應(yīng)把該點(diǎn)連同關(guān)聯(lián)邊刪去；若有 2 度輔助點(diǎn)，則應(yīng)把該點(diǎn)連同關(guān)聯(lián)邊刪去，但要添加一條連接兩個(gè)鄰點(diǎn)的邊。這一步重復(fù)大約 20 次，擇優(yōu)記錄最好者，若比原來的要好，則替換它，否則 kT 不變。 下面我們闡述一下 逐步調(diào)優(yōu)法的實(shí)施 步驟 ： Prim 算法求出正則點(diǎn)集 Z 的最小生成樹 0T 。重 算概率分 布，再抽 樣調(diào)優(yōu)，這樣重復(fù)到預(yù)定循環(huán)次數(shù)為止。 設(shè) k 表示輔助點(diǎn)數(shù)，讓 k 分別取值 1 到 2n? ，對(duì)于 每 一個(gè) k 值，在范圍 R 內(nèi)隨機(jī)投放 k 個(gè) 輔助點(diǎn)，產(chǎn)生輔 助 點(diǎn)集 F ， 然后用 Prim 算法計(jì)算出由 nk? 個(gè)點(diǎn)組成的集 ZU? 的最小生成樹。 引入以下定理： 定理 ? ?? ? 32smLRLR? 下面我們 介紹 最小逐步調(diào)優(yōu)法的原理： 設(shè)正則點(diǎn)集 Z 中有 n 個(gè)點(diǎn) ? ?2n? ，坐標(biāo)為 ? ?, , 1, 2, ,iix y i n? 。例如，給出三點(diǎn) A 、 B 、 C ， 組成邊長(zhǎng)為 1 的正三角形。 性質(zhì) 3 若 ? ?12, , , nR v v v? ，則 SRT 中斯坦納點(diǎn)的個(gè)數(shù)不大于 2n? 。 我們先引入斯坦納最小樹的定義： 定義 已知 歐式平面上任給 的 有限點(diǎn)集 ? ?12, , , nR v v v? ，欲求出一個(gè) 點(diǎn) 集? ?12, , , kS s s s? ， 使 點(diǎn)集 RS? 的連線 長(zhǎng)度最短 所構(gòu)成 的圖，必然是邊數(shù)最少的連通圖，因此它為樹，稱為 斯坦納最小樹 ，記為 SRT 。judge = 由 39。D ， 39。 6/33 對(duì) 問題一的 求解過程 用流程圖表示 如下 ： 形成 距離矩陣 利用程序求任意兩點(diǎn) 間的距離 由 kruskal 算法程序 最小樹 最短路徑矩陣 Dijkstra 算法 倍距離矩陣 差距 作為輸入 輸出 作差 ? 倍 最優(yōu)解 調(diào)整 7/33 . 模型建立 與求解、檢驗(yàn) . 步驟一： 將數(shù)據(jù)輸入由 kruskal 算法對(duì)應(yīng)的程序（見附錄）， 僅僅考慮 生成最小樹 ，得到如下結(jié)果： kruskal 算出來的結(jié)果 ： 邊端點(diǎn) 距離 是否在最小支撐樹 (1,2) 30 √ (1,3) 140 (1,4) +002 (1,5) +002 (1,6) +002 (1,7) +002 (1,8) +001 √ (1,9) +001 (1,10) +001 (1,11) +002 (1,12) +002 (2,3) 110 (2,4) +002 (2,5) +002 (2,6) +002 (2,7) +002 (2,8) +001 (2,9) 75 (2,10) +001 √ (2,11) +001 (2,12) +001 (3,4) +001 √ (3,5) +002 (3,6) +002 (3,7) +002 (3,8) +002 (3,9) +002 (3,10) +002 (3,11) +001 √ (3,12) +001 (4,5) +001 (4,6) +002 (4,7) +002 (4,8) +002 (4,9) +002 8/33 (4,10) +002 (4,11) +001 (4,12) +001 (5,6) 85 (5,7) 110 (5,8) +002 (5,9) +001 (5,10) 100 (5,11) 60 (5,12) +001 √ (6,7) 25 √ (6,8) +001 (6,9) +001 √ (6,10) +001 (6,11) +002 (6,12) +001 (7,8) +001 (7,9) +001 (7,10) +001 (7,11) +002 (7,12) +002 (8,9) +001 (8,10) +001 (8,11) +002 (8,12) +002