【正文】 ? ? ? ? ? ? 顯然成立 . 所以( , )hhA B C D???. 注：引理 中的 (1)是 引理 中的 (3)的推廣 . 定義 設(shè) S 是一個(gè)半環(huán)且 , [01]??? ， 滿足 ??? ，我們定義 ()IVIFS 上的二元關(guān)系( , )??“ ”： ()A B IVIF S??， ，( , ) ( , )A B A B? ? ? ???且( , )BA???. 顯然，序關(guān)系( , )??“ ”滿足反身性、對(duì)稱性和傳遞性，因此是 ()IVIFS 上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系 . 定義 [19] 設(shè) S 是半環(huán)且 DS? ，定義 D 的 h閉包 D 如下： ? ?zazaxSzDaaSxD ??????????? 使,| 定義 設(shè) D 是 X 的一個(gè)子集，稱映射 []D XI? ?： ， ? ? 1,0,D xDx xD? ? ??? ? ??? 為集合 D 的區(qū)間值特征函數(shù) . 設(shè) S 是半環(huán)且 DS? , D? 是 D 的區(qū)間值特征函數(shù)，記 ( , )CD D D???? ,其中( ) 1 ( ) ,CDDx x x S??? ? ? ?，則 D? 是一個(gè)區(qū)間值直覺(jué)模糊集 . 性質(zhì) 設(shè) S 是半環(huán)且 ,DE S? .則 (1)DE? 當(dāng)且 僅當(dāng)對(duì) , [0,1]????滿足 ??? ，均有()DE??? ? ?，； (2) D E D E? ? ?? ； (3) D h E DE? ? ?? . 證明 設(shè) D? 是 D 上的區(qū)間值特征函數(shù) , E? 是 E 上的區(qū)間值特征函數(shù)， 即 D?? ( ( ), ( ))CDDxx??， ( ( ), ( ))CE E Exx???? . (1) 假設(shè) DE? ，則有 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 11 ? ? ? ?m a x ( ) , ( ) ( ) m in ( ) ,E E D Dr x x x r x? ? ? ? ? ?? ? ?， ? ? ? ?m in ( ) , ( ) ( ) m a x ( ) ,C C C CE E D Dr x x x r x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 所以()DE??? ? ?，. (2)由定義 與定義 立 得 . (3) xS?? ,若 ( )( ) 1D h E x?? ?, ( )( ) 0CCD h E x?? ?,則有 1 2 1 2, , , ,a a b b z S?,使x 1 1 2 2a b z a b z? ? ? ?,且 ? ?1 2 1 2m i n ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 1D D E Er a a b b? ? ? ? ?, ? 1max ( ),CDra? ?2 1 2( ) , ( ) , ( ) 0C C CD E Ea b b? ? ? ?,即 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 1D D E Ea a b b? ? ? ?? ? ? ?, 1()CD a? 2 1 2( ) ( ) ( ) 0C C CD E Ea b b? ? ?? ? ?，于是 1 1 2, , ,a a D b b E??, 進(jìn)而 x DE? ，即( ) 1DE x? ? ， ( ) 0CDE x? ? .因此 ( )( ) ( )D h E DExx? ? ??且 ( )( ) ( )C C CD h E DExx? ? ??,即D h E DE? ? ?? .注意到上述過(guò)程都是可逆的， 故 也有 D h E DE? ? ?? 成立，定理得證 . 最后 給出 區(qū)間值直覺(jué)模糊集的加法運(yùn)算 . 定義 設(shè) ( , )AAA ??? , ( , ) ( )BBB IVIF S????，規(guī)定 AB與 的和 hAB?? ( , )hhBBAA? ? ? ???如下 (i) 當(dāng) x 可以表示為 1 1 2 2x a b z a b z? ? ? ? ? ?時(shí)， ? ?1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) s u p m i n ( ) , ( ) , ( ) , ( )h B B BA A Ax a b z a b zx r r a a b b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) i nf m a x ( ) , ( ) , ( ) , ( )h B B BA A Ax a b z a b zx r r a a b b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? (ii) 當(dāng) x 不能表示為 1 1 2 2x a b z a b z? ? ? ? ? ?時(shí)， ( )( ) 0h BA x????,( )( ) 1h BA x???? 第四章 半環(huán)上的區(qū)間值直覺(jué)模糊 h理想 12 第四章 半環(huán) 上的區(qū)間值直覺(jué)模糊 h理想 對(duì) 有普通邊界值 ( , )?? 的直覺(jué)模糊 h左（右、雙） 理想 進(jìn)行推廣，將得到 具有區(qū)間邊界值 ( , )?? 的區(qū)間值直覺(jué)模糊 h左（右、雙） 理想 . 定義 設(shè) ( , ) ( )AAA IVIF S????且 , [0,1]??? 滿足 ??? .A 稱為一個(gè)具有區(qū)間邊界值 ??(,) 的區(qū)間值直覺(jué)模糊左理想，如果對(duì) ,x y S??，有 (A1) ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) , ( ) ,A A Ar x y r x y? ? ? ? ???； (A2) ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) , ( ) ,A A Ar x y r x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?； (A3) ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) ,AAr x y r y? ? ? ??； (A4) ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) ,r x y r y? ? ? ?? ? ? ? ?. 例 設(shè) ( , ) ( )AAA IVIF S????，且 [0,]?? ， [0,]?? 滿足 ??? ，考慮例 中的半環(huán) ( , )S??， ，定義 半環(huán) S 的區(qū)間值直覺(jué)模糊子集 A 如下： (0) [,]A? ? ， (1) [,]A? ? ， (2) [,]A? ? ， (3) [,]A? ? ， (0) [0,]A? ? ， (1) [0,]A? ? ， (2) [0,]A? ? ， (3) [0,]A? ? . 不難驗(yàn)證 A 是一個(gè)具有區(qū)間邊界值 ??(,) 的區(qū)間值直覺(jué)模糊左理想 . 定義 設(shè) ()A IVIF S? 且 , [0,1]??? 滿足 ??? .A 稱為一個(gè)具有區(qū)間邊界值 ??(,) 的區(qū)間值直覺(jué)模糊雙理想，如果對(duì)任意的 ,x y z S? ，有 (B1) ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) , ( ) ,A A Ar x y r x y? ? ? ? ???； (B2) ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) , ( ) ,A A Ar x y r x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?； (B3) ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) , ( ) ,A A Ar x y r x y? ? ? ? ??； (B4) ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) , ( ) ,A A Ar x y r x y? ? ? ? ?? ? ? ? ?； (B5) ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) , ( ) ,A A Ar x y z r x z? ? ? ? ??； 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 13 (B6) ? ? ? ?m in ( ) , m a x ( ) , ( ) ,A A Ar x y z r x z? ? ? ? ?? ? ? ? ?. 例 考慮 例 中的定義，不難驗(yàn)證 A 是一個(gè)具有區(qū)間邊界值 ??(,) 的區(qū)間值直覺(jué)模糊雙 理想 . 定義 半環(huán) S 的一個(gè)具 有區(qū)間邊界值 ,??()的區(qū)間值直覺(jué)模糊左理想 (右理想、理想、雙理想 )A 稱為一個(gè)具有區(qū)間邊界值 ,??()的區(qū)間值直覺(jué)模糊 h左理想 (h右理想、 h理想、 h雙理想 )，如果 A 滿足 , , ,x z a b S?? (C1) ? ? ? ?m a x ( ) , m in ( ) , ( ) ,A A Ax a z b z r x r a b? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?且 ? ? ? ?r m in ( ) , m a x ( ) , ( ) ,A A Ax r a b? ? ? ? ?? ? ? ? ?. 特別的，半環(huán) S 的一個(gè)具有區(qū)間邊界值 0,1()的區(qū)間值直覺(jué)模糊 h左 (右、雙 )理想被稱為一個(gè)區(qū)間值直覺(jué)模糊 h左 (右、雙 )理想 . 引理 設(shè) ( , ) ( )AAA IVIF S????滿足條件 (C1), , [01]??? ， 滿足 ??? ， (1) 定義 中 的條件 (A3)， (A4)等價(jià)于( , )ShAA????； (2) 定義 中的條件 (B5)， (B6)等價(jià)于( , )h S hA A A????； (3) 定義 中的條件 (A1)， (A2)等價(jià)于( , )hA A A????； (4) 定義 中的條件 (B3)， (B4)等價(jià)于( , )hA A A???. 證明 (1) xS?? ,若 x 不能表示為 1 1 2 2x a b z a b z? ? ? ?，則顯然 ? ? ? ?m in ( ) ( ) , 0 m a x ( ) ,Sh AAr x r x? ? ? ? ??? ? ? ? ?m a x ( ) ( ) , 1 m in ( ) ,Shr x r x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 若 x 可以表示為 1 1 2 2x a b z a b z? ? ? ?時(shí)，則由定義 中的條件 (A3)， (A4)及條件 (C1)有 ? ?m in ( )( ),Sh Arx? ? ? ? ?1 1 2 2 12m i n s u p m i n m i n { ( ) , } , m i n { ( ) , } ,AAx a b z a b zr r r r b r b? ? ? ? ?? ? ? ???? ???? 第四章 半環(huán)上的區(qū)間值直覺(jué)模糊 h理想 14 ? ?1 1 2 2 1 1 2 2m i n s u p m i n m a x { ( ) , } , m a x { ( ) , } ,AAx a b z a b zr r r r a b r a b? ? ? ? ?? ? ? ???? ???? ? ?1 1 2 2 1 1 2 2m a x s u p m i n ( ) , ( ) , ,AAx a b z a b zr r r a b a b? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?1 1 2 2m a x s u p m a x ( ) , , m a x ( ) ,AAx a b z a b zr r r x r x? ? ? ? ?? ? ? ?????????， ? ?? ?m ax ( ),CSh Arx? ? ??? ? ?? ?1 1 2 2 12m a x i n f m a x m a x { ( ) , } , m a x { ( ) , } ,AAx a b z a b zr r r r b r b? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??