【正文】 sinA=bsinB又sinC=1,所以csinCasinA=bsinB=.在直角三角形中，得出這一關(guān)系。于是，從以上的討論和探究，得出定理：正弦定理（laws of sines）在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即asinA==siBnbcsCin分析此關(guān)系式的形式和結(jié)構(gòu)，一方面便于學生理解和識記，另一方面，讓學生去感受數(shù)學的間接美和對稱美。命題應用講解書本上兩個例題：例1 在△ABC中，已知A=32176。解三角形（角精確到10，邊長精確到1cm）。要求學生熟悉掌握已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形。接著，課堂練習，讓學習自己運用正弦定理解題。B=45176。形成命題域、命題系開始我們運用分類討論平面幾何三角形的情況證明了正弦定理。結(jié)束后，重點和學生一起討論幾何法，作外接圓的證法。六、課堂小結(jié)與反思這節(jié)課我們學到了什么？（正弦定理的形式？正弦定理的適應范圍？正弦定理的證明方法？）我們從直角、銳角、鈍角三類三角形出發(fā)，運用分類的方法通過猜想、證明得到了正弦定理asinA=bsinB=csinC，它揭示了任意三角形邊和其所對的角的正弦值的關(guān)系。正弦定理的證明還可以運用向量法和作三角形的外接圓來證明。過程與方法：讓學生從實際問題出發(fā)，結(jié)合初中學習過的直角三角形中的邊角關(guān)系，引導學生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理；讓學生在應用定理解決問題的過程中更深入地理解定理及其作用。三、教學基本流程創(chuàng)設問題情境，引出問題：在三角形中，已知兩角以及一邊，如何求出另外一邊；結(jié)合初中學習過的直角三角形中的邊角關(guān)系，引導學生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理；分析正弦定理的特征及利用正弦定理可解的三角形的類型；應用正弦定理解三角形。本設計展示了一個先從特殊的直角三角形中正弦的定義出發(fā)探索208。本設計以一個實際問題出發(fā)引入正弦定理并讓學生在練習3中解決這一問題，這不但使學生體會到了數(shù)學的作用，而且使學生的數(shù)學應用意識和應用數(shù)學解決實際問題的能力得到了進一步的提高。本節(jié)課是“正弦定理”教學的第一課時，其主要任務是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。三、設計思想培養(yǎng)學生學會學習、學會探究是全面發(fā)展學生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務。四、教學目標知識與技能：通過對任意三角形的邊與其對角的關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。因上游暴發(fā)特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉(zhuǎn)運到正對岸的碼頭B處或其下游1km的碼頭C處，請你確定轉(zhuǎn)運方案。師：誰能幫大家講解，應該怎樣解決上述問題？大家經(jīng)過討論達成如下共識：要回答問題1，需要解決問題2，要解決問題2，需要先解決問題3和4，問題3用直角三角形知識可解，所以重點是解決問A圖 1BC生活”的思想意識，同時情境問題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。生1：船從A開往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1與v2的夾角q：|v|=|v1||v2|=|v1||v2|=35, 22BDEC53=4，22v1vFAv2圖 2sinq= 用計算器可求得q187。EAF=45176?！驹O計意圖】將問題數(shù)學化，有助于加深學生對問題的理解，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學意識。師：圖3的情形能否轉(zhuǎn)化成直角三角形來解呢？【設計意圖】通過教師的問題引導，啟發(fā)學生將問題進行轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學生的化歸思想，同時為下一步用特例作為突破口來研究正弦定理以及用作高的方法來證明正弦定理做好鋪墊。DAGBDv1vAGv2EC，|EG|=|DE|cos208。5=3210|v|=|AG|+|GE|=師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個直角三角形求解。可以以直角三角形為特例，先在直角三角形中試探一下?！驹O計意圖】教師參與學生之間的研究，增進師生之間的思維與情感的交流，并通過教師的指導與觀察，及時掌握學生研究的情況，為展示學生的研究結(jié)論做準備；同時通過展示研究結(jié)論，強化學生學習的動機，增進學生的成功感及學習的信心。師：這是個好主意。邊演示邊引導學生觀察三角形形狀的變化與三個比值的變化情況。生10：（通過計算）與生5的結(jié)果相同。（2）點明課題：正弦定理（3）正弦定理的理論探究師：既然是定理，則需要證明，請同學們與小組共同探究正弦定理的證明。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學生鞏固課堂的成果。這是一個簡捷的證明方法！【設計意圖】點明此證法的實質(zhì)是找到一個可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系，為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時適時對學生作出合情的評價。ACB，BE=csin208。BAC=c12casin208。BACsin208。ACB=208。ABC\sin208。ACBccbDC圖 7 三角形外接圓【設計意圖】在證明正弦定理的同時，將兩邊及其夾角的三角形面積公式 及asinA=bsinB=csinC=2r一并牽出，使知識的產(chǎn)生自然合理。uuurr證法四：如圖8，設非零向量j與向量BC垂直。由向量數(shù)量積的幾何意生16：我還有一種證法uuuruuur證法五：如圖9，作AD^BC，則AB與AC在uuuruuuruuuruuuruuurAD方向上的投影相等,即ABAD=ACADuuuruuuruuuruuur\|AB||AD|cos(90176。）AcBDabC圖 9 向量故bsinB=csinC，同理可得asinA=bsinB師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡捷明了！【設計意圖】利用向量法來證明幾何問題，學生相對比較生疏，不容易馬上想出來，教師通過設計一些遞進式的問題給予適當?shù)膯l(fā)引導，將很難想到的方法合理分解，有利于學生理解接受。（五）作業(yè)回顧本節(jié)課的整個研究過程，體會知識的發(fā)生過程；思考：證法五與證法一有何聯(lián)系？思考：能否借助向量的坐標的方法證明正弦定理？當三角形為鈍角三角形時，證明正弦定理。數(shù)學（必修4）》（人教版） B組第二題，我將其加工成一個具有實際意義的決策型問題）；②啟發(fā)、引導學生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學問題，解決過渡性問題4與5時需要使用正弦定理，借此引發(fā)學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產(chǎn)生進一步探索解決問題的動機。解決這兩個問題需要先回答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關(guān)系？③為了解決提出的目標問題，引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫板對猜想進行驗證，進而引導學生對猜想進行嚴格的邏輯證明。七、教學反思為了使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗數(shù)學的過程。本節(jié)課，我們研究問題的突出特點是從特殊到一般，利用了幾何畫板進行數(shù)學實驗。C)C\csinB=bsin 師：請你到講臺來給大家講一講。+B)+b|j|cos(90176。生13：利用向量的數(shù)量積運算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。BAC=bsin208。ADBab==2r同理可證：sin208。BAD=90176。ACB==bsin208。ABCAFcaD圖 6 EbCB。在教師的建議下，學生分別利用這兩種關(guān)系作為基礎(chǔ)又得出了如下兩種證法：證法二：如圖6，設AD、BE、CF分別是DABC的三條高。通過作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，則AD=csinB=bsinC，所以bsinB=csinCAcabB，同理可得asinA=bsinBCD圖 5 銳角三角形師：因為要證明的是一個等式，所以應從銳角三角形的條件出發(fā)，構(gòu)造等量關(guān)系從而達到證明的目的?！驹O計意圖】通過分析，確定探究方案?！钡膯栴}就簡單多了?！驹O計意圖】通過《幾何畫板》軟件的演示，使學生對結(jié)論的認識從感性逐步上升到理性。師：對任意三角形asinA=bsinB=csinCasinA=bsinB=csinC對等邊三角形是