【正文】 方差率當(dāng)作變量 x和時(shí)間 t的函數(shù)，我們可以從公式（ ）得到伊藤過程（ Ito Process）： （ ） 其中， dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)， a、 b是變量 x和 t的函數(shù)，變量 x的漂移率為 a，方差率為 b2。 dS Sdt Sdz????22221()2G G G GdG S S dt SdzS t S S? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?五、證券價(jià)格自然對數(shù)變化過程 ? 我們可用伊藤引理來推導(dǎo)證券價(jià)格自然對數(shù) lnS變化所遵循的隨機(jī)過程。 ? 根據(jù)式 （ ） 和對數(shù)正態(tài)分布的特性 ,可知ST的期望值 E(ST)為： ? 這與作為預(yù)期收益率的定義相符 。 ? 令 ?代表該投資組合的價(jià)值，則： （ ） ? 在時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值變化為： ? 在沒有套利機(jī)會(huì)的條件下 ： ? 我們代入 和 ，則可得著名的布萊克 —— 舒爾斯微分分程 ： S S t S z??? ? ?? ? 2 2221()2f f f ff S S t S zS t S S? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ?fsfS??? ?? ?fS??fsfS??????? ? ?rt??? ??f? S?222212f f frS S rft S S?? ? ?? ? ?? ? ?? 布萊克 —— 舒爾斯微分分程適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格 S的所有衍生證券的定價(jià)。 fs??t?fs?? （二）風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理 ? 從上可以看出受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。 ? 為了更好地理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們可以舉一個(gè)簡單的例子來說明。 ? 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量， SN（ d1)就是股票的市值 , erTXN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。 ? 對于歐式期貨期權(quán)，布萊克教授也給出了定價(jià)公式： 其中， ? 例子見書 . () 12[ ( ) ( )]rT tc e FNd XNd????() 21[ ( ) ( )]rT tp e XN d FN d??? ? ??21221l n ( / ) ( / 2 ) ( )l n ( / ) ( / 2 ) ( )F X T tdTtF X T tdTtd T t?????????????? ? ?M（二）有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià) 1．美式看漲期權(quán) ? 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時(shí)，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià)較為復(fù)雜，布萊克提出了一種近似處理方法。 2．美式看跌期權(quán) ? 由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價(jià)值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過較復(fù)雜的數(shù)值方法來求出。 S0u ?u S0d ?d S0 ? （一）參數(shù) p、 u和 d的確定 ? 參數(shù) p、 u和 d的值必須滿足這個(gè)要求，即： ? 根據(jù)本章第 2節(jié)的討論，在一個(gè)小時(shí)間段內(nèi)證券價(jià)格變化的方差是 。一般而言，在時(shí)刻 i ?t ，證券價(jià)格有 i+1種可能，它們可用符號(hào)表示為： ? 其中 j=0， 1， 2， …… ， i j i jS u d ?（三）倒推定價(jià)法 ? 由于在 T時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值是已知的。 r =10%。 d = 。在最后那些結(jié)點(diǎn)處，期權(quán)價(jià)值等于。這意味著所計(jì)算的期權(quán)價(jià)值是時(shí)間內(nèi)期權(quán)價(jià)值期望值的現(xiàn)值。因此，若股價(jià)到達(dá) F結(jié)點(diǎn)，就應(yīng)提前執(zhí)行。 , max( ,0)j N jNf j X Su d ???1 1, 1[ (1 ) ]rtij i i jjf e pf p f?????? ? ?1 1, 1max{ , [ (1 ) ]}j i j r tij i i jjf X Sud e pf p f? ?????? ? ??二、有收益資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià) （一）支付連續(xù)復(fù)利收益率資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià) ? 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)復(fù)利收益率 q的收益時(shí)，在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，證券價(jià)格的增長率應(yīng)該為 r－ q， 因此可得： ? 對于股價(jià)指數(shù)期權(quán)來說， q 為股票組合的紅利收益率；對于外匯期來說， q為國外無風(fēng)險(xiǎn)利率，因此上式也可用于股價(jià)指數(shù)和外匯的美式看跌期權(quán)的定價(jià)。若 δi為 0時(shí)刻到時(shí)刻之間所有除權(quán)日的紅利支付率，則時(shí)刻結(jié)點(diǎn)的相應(yīng)的證券價(jià)格為： , 0,1, ,j i jSu d j i? ?(1 ) j i jS u d? ??(1 ) j i jS u d? ??2．已知紅利額 ? 若標(biāo)的資產(chǎn)在未來某一確定日期將支付已知數(shù)額的收益，則除權(quán)后樹枝將不再重合，這意味著所要估算的結(jié)點(diǎn)的數(shù)量可能變得很大，特別是如果支付多次已知數(shù)額收益的話。 通過把未來收益現(xiàn)值加在每個(gè)結(jié)點(diǎn)的證券價(jià)格上，就會(huì)使原來的二叉樹轉(zhuǎn)化為另一個(gè)模擬 S的二叉樹。 2023/3/82023/3/82023/3/8Mar238Mar23 ? 1故人江海別，幾度隔山川。 2023年 3月 2023/3/82023/3/82023/3/83/8/2023 ? 1行動(dòng)出成果，工作出財(cái)富。 2023/3/82023/3/82023/3/83/8/2023 6:24:36 PM ? 1成功就是日復(fù)一日那一點(diǎn)點(diǎn)小小努力的積累。 2023年 3月 8日星期三 2023/3/82023/3/82023/3/8 ? 1楚塞三湘接，荊門九派通。 2023/3/82023/3/8Wednesday, March 8, 2023 ? 閱讀一切好書如同和過去最杰出的人談話。勝人者有力，自勝者強(qiáng)。 2023/3/82023/3/8March 8, 2023 ? 1一個(gè)人即使已登上頂峰，也仍要自強(qiáng)不息。 2023年 3月 8日星期三 2023/3/82023/3/82023/3/8 ? 1最具挑戰(zhàn)性的挑戰(zhàn)莫過于提升自我。 2023/3/82023/3/82023/3/8Mar238Mar23 ? 1越是無能的人，越喜歡挑剔別人的錯(cuò)兒。 2023/3/82023/3/8March 8, 2023 ? 1空山新雨后，天氣晚來秋。 2023/3/82023/3/82023/3/8Wednesday, March 8, 2023 ? 1不知香積寺，數(shù)里入云峰。 2023/3/82023/3/82023/3/82023/3/8 ? 沒有失敗，只有暫時(shí)停止成功！。 2023/3/82023/3/82023/3/82023/3/83/8/2023 ? 1他鄉(xiāng)生白發(fā)，舊國見青山。 2023/3/82023/3/8Wednesday, March 8, 2023 ? 雨中黃葉樹，燈下白頭人。假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)只有一個(gè)除息日 ?， 而且 ? x時(shí)刻不確定部分的價(jià)值 S* 為： 當(dāng) x ?時(shí) 當(dāng) x= ?時(shí) ( 1)k t k t??? ? ? ?* ( ) ( )S x S x?* ( )( ) ( ) rxS x S x De ?????? 其中 D表示收益金額。 () (1 )r q te pu p d?? ? ? ?()r q tedp ud?? ?? ?1 dpud???（二）支付已知收益資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià) 1．已知紅利率 ? 若標(biāo)的資產(chǎn)在未來某一確定時(shí)間將支付已知收益率 ?，我們只要調(diào)整在各個(gè)結(jié)點(diǎn)上的證券價(jià)格就可算出期權(quán)價(jià)格。 ( 0 ) ???? ? ? 元( ) ??? ? ? ? 元? （四）美式看跌期權(quán)的定價(jià)公式 其中 j=0， 1， 2， ?? ， N ? 假定期權(quán)不被提前執(zhí)行，則在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下： ? 如果考慮提前執(zhí)行的可能性的話，式中的必須與期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值比較，由此可得： ? 按這種倒推法計(jì)算，當(dāng)時(shí)間區(qū)間的劃分趨于無窮大，或者說當(dāng)每一區(qū)間 ?t趨于 0時(shí)，就可以求出美式看跌期權(quán)的準(zhǔn)確價(jià)值。在 E結(jié)點(diǎn)，提前執(zhí)行將使期權(quán)價(jià)值為 0 ，所以不應(yīng)提前執(zhí)行。 ? 從最后一列結(jié)點(diǎn)處的期權(quán)價(jià)值可以計(jì)算出倒數(shù)第二列結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。 p = 據(jù)此我們可以畫出該股票在期權(quán)有效期內(nèi)的樹型圖，如下圖： ? 在時(shí)刻，股票在第 j個(gè)結(jié)點(diǎn)（ j=0， 1， 2， ?? i）的價(jià)格等于。 T = 5 months = 。 ? 例： S0 = 50。 ? 圖 證券價(jià)格的樹型結(jié)構(gòu) ? 當(dāng)時(shí)間為 0時(shí)，證券價(jià)格為 S。 一、無收益資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià) ? 二叉樹模型首先把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)證券價(jià)格從開始的 S運(yùn)動(dòng)到兩個(gè)新值 Su和 Sd中的一個(gè)，如圖 。若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在 tn提前執(zhí)行有可能是合理的，則要分別計(jì)算在 T時(shí)刻和 tn時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價(jià)格。 ? 當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為 I時(shí)，我們只要用（ S－I）代替 S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。 ? N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中期權(quán)被執(zhí)行的概率，或者說 ST大于 X的概率， erTXN(d2)是 X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 ? 于是，我們就可以利用布萊克 —— 舒爾斯微分方程所揭示的這一特性，作出一個(gè)可以大大簡化我們工作的簡單假設(shè)： ? 在對衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。在一個(gè)較長時(shí)間中，要保持該投資組合無風(fēng)險(xiǎn)，必須根據(jù) 的變化而相應(yīng)調(diào)整標(biāo)的證券的數(shù)量。 ? 實(shí)際上，有些假設(shè)條件我們可以放松，如、和 r可以是 t的函數(shù)。 lnST的標(biāo)準(zhǔn)差與成比例，這說明證券價(jià)格對數(shù)的不確定性（用標(biāo)準(zhǔn)差表示）與我們考慮的未來時(shí)間的長度的平方根成正比。 ( , ) ( , )dx a x t dt b x t dz??2221()2G G G GdG a b dt bx t x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 從式 （ ） 中 ， 我們可得： （ ） ? 我們知道 ， 衍生證券的價(jià)格是標(biāo)的證券價(jià)格 S和時(shí)間 t的函數(shù) 。相反，證券價(jià)格的波動(dòng)率對于衍生證券的定價(jià)則是相當(dāng)重要的。同樣，在任意時(shí)間長度 T后 x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為 aT，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為 b2T。 ? 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率為 0，方差率為 。 ?對于相互獨(dú)立的正態(tài)分布 ， 方差具有可加性 ， 而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性 。 t? t?t?t?z?z?z?t?t?t?z?