【正文】 了。 =F。 FFyykdt yydBdt yydM ??????????? 000202 )()()( (3) 將演化后的運(yùn)動(dòng)方程式與靜態(tài)方程式相減，其結(jié)果即為增量方程式 Fykdt ydBdt yd ???????22 非線性函數(shù)的線性化 線性化這一概念用數(shù)學(xué)方法來(lái)處理，就是將一個(gè)非線性函數(shù)在其工作點(diǎn)展開成泰勒（ Taytor）級(jí)數(shù)，然后略去二次以上的高階項(xiàng)，得到線性化方程，用來(lái)代替原來(lái)的非線性函數(shù)。 (2) 若使線性化具有足夠精度，調(diào)節(jié)過(guò)程中變量偏離工作點(diǎn)的偏差信號(hào)必須足夠小。 傳遞函數(shù)的定義 在線性定常系統(tǒng)中，初始條件為零時(shí)，系統(tǒng) (或元件 )輸出的拉氏變換 Xc(s)和輸入的拉氏變換 Xr(s)之比稱為系統(tǒng) (或元件 )的傳遞函數(shù)，即 )( )()]([ )]([)( sX sXtxL txLsG rcrc ?? 或 Xc(s)=G(s)Xr(s) 圖 傳遞函數(shù)圖示 若令輸入信號(hào)為單位脈沖函數(shù)δ (t)，其拉氏變換為 Xr(s)＝ 1，則根據(jù)上式得 Xc(s)＝ G(s) 傳遞函數(shù)是系統(tǒng)或環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型的另一種形式，它反映了系統(tǒng)輸出變量與輸入變量之間的關(guān)系。 3．傳遞函數(shù)等于單位脈沖函數(shù)輸入時(shí)的系統(tǒng)輸出響應(yīng)的象函數(shù)，或者說(shuō)傳遞函數(shù)的拉氏反變換是系統(tǒng)的單G(s) Xr(s) Xc(s) 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 21 位脈沖響應(yīng)。 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) (一 ) 放大環(huán)節(jié) (比例環(huán)節(jié) ) 放大環(huán)節(jié)的輸出量以一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量，而毫無(wú)失真和時(shí)間滯后現(xiàn)象。幾乎所有控制系統(tǒng)都有放大環(huán)節(jié)，主要 用于電壓、電流、力、速度等的放大或減小。慣性環(huán)節(jié)的輸出量和輸入量的量綱可能是相同的，也可能是不相同的。因此，使輸出量具有振蕩的性質(zhì)。理想微分環(huán)節(jié)的輸出 xυ (t)為輸入 xr(t)的微分。其特性由 K、τ和ζ三個(gè)參數(shù)來(lái)表示。它起著對(duì)信號(hào)的運(yùn)算和轉(zhuǎn)換作用 。 （ 1）串聯(lián)運(yùn)算法則 n 個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的總傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積。 U(s) U(s)177。方框圖變換的原則是：變換前后的輸出信號(hào)應(yīng)不變。這是閉環(huán)系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)之一。 在 R(s)作用下的誤差傳遞函數(shù) 設(shè) N(s)＝ 0，再用反饋運(yùn)算法則得誤差傳遞函數(shù)為 )()()(1 1)( )( 21 sHsGsGsR sE R ?? 上式對(duì)于反饋系統(tǒng)的誤差分 析是非常重要的。 A 等于 1 的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，如圖所示。當(dāng) A＝ l 時(shí)，稱為單位斜坡函數(shù)，如圖所示。 4. 脈沖函數(shù) 這種函數(shù)的定義是 ??????? ???????0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(?????tAtttx r 式中 A 為常數(shù)， ε 為趨于零的正數(shù)。 控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo) 對(duì)控制系統(tǒng)的一般要求歸納為穩(wěn) 、準(zhǔn)、快。 峰值時(shí)間 pt 階躍響應(yīng)越過(guò)穩(wěn)態(tài)值 )(?h 達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。穩(wěn)態(tài)誤差有不同定義，通常在典型輸入下進(jìn)行測(cè)定或計(jì)算。當(dāng)時(shí)間 t 趨于無(wú)窮，暫態(tài)分量衰減為零。 二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 s2+2ζω ns+ω 2n=0 其特征根為 ns ??? ?????? ???? 122,1 1. 臨界阻尼 (ζ =1) 其時(shí)域響應(yīng)為 ? ? )1(1 tetc ntn ?? ??? ? 上式包含一個(gè)衰減指數(shù)項(xiàng)。圖為其特征根分布圖。 欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài) 性能指標(biāo) 1. 上升時(shí)間 tr 上升時(shí)間 tr是指瞬態(tài)響應(yīng)第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 33 ? ? 122 122 ??? TSSTs?。固有頻率ω n越大， tr越小，反之則 tr越大。 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 32 顯然，ζ≤ 0 時(shí)的二階系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的，而在ζ ≥ 1 時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的速度又太慢，所以對(duì)二階系統(tǒng)而言，欠阻尼情況是最有實(shí)際意義的。 (a) (b) (c) ζ ≥ 1 時(shí)二階系統(tǒng)的特征根的分布與單位階躍響應(yīng) 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 31 2. 過(guò)阻尼 (ζ＞ 1) 具有兩個(gè)不同負(fù)實(shí)根 ])1(,[ 221 nss ??? ???? 的慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)拉氏變換式。響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故又稱為非周期響應(yīng)。一些控制元部件及簡(jiǎn)單系統(tǒng)如 RC 網(wǎng)絡(luò)、發(fā)電機(jī)、空氣加熱器、液面控制系統(tǒng)等都是一階系統(tǒng)。 超調(diào)量 ? ％ 峰值 )(pth 超出終值 )(?h 的百分比，即 ? ％ 100)( )()( ?? ??? h hth p％ 在上述動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)中，工程上最常用的是調(diào)節(jié)時(shí)間 st （描述“快”），超調(diào)量 ? ％ （描述“勻”）以及峰值時(shí)間 pt 。 1 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)通常有如下幾項(xiàng)： 延遲時(shí)間 dt 階躍響應(yīng)第一次達(dá)到終值 )(?h 的 50％ 所需的時(shí)間。單位脈沖函數(shù)的面積等于 l，即 ???? ?1)( dtt? 在 t＝ t0處的單位脈沖函數(shù)用δ (tt0)來(lái)表示，它滿足如下條件 幅值為無(wú)窮大、持續(xù)時(shí)間為零的脈沖純屬數(shù)學(xué)上的假設(shè)，但在系統(tǒng)分析中卻很有用處。這種函數(shù)相當(dāng)于隨動(dòng)系統(tǒng)中加入一按照恒加速變化的位置信號(hào)，該恒加速度為 A。 2. 斜坡函數(shù) 這種函數(shù)的定義是 ????? ???0 ,00 , )(tttAtx r 式中 A 為常數(shù)。 繪制系統(tǒng)方框圖的步驟 1．首先按照系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和工作原理，分解出各環(huán)節(jié)； 2．列寫系統(tǒng)各組成 環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程，并進(jìn)行線性化； 3．求初始條件皆為零時(shí)的各組成環(huán)節(jié)的拉氏變換式； 4．分別以方框圖的形式表達(dá)各環(huán)節(jié)的拉氏變換式； 5．將各環(huán)節(jié)的方框圖中的相同變量用箭頭聯(lián)接起來(lái)，便構(gòu)成系統(tǒng)的總方框圖。這是閉環(huán)系統(tǒng)的另一優(yōu)點(diǎn)。 (a) 引出點(diǎn)前移 (b) 引出點(diǎn)后移 圖 引出點(diǎn)前后移動(dòng)等效變換 3. 有擾動(dòng)參與作用下的閉環(huán)系統(tǒng) 當(dāng)給定量 R(s)和擾動(dòng)量 N(s)兩個(gè)輸入量同時(shí)作用于線性系統(tǒng)時(shí)，可對(duì)每一輸入量分別求出 輸出量，然后應(yīng)用疊加原理，將兩者疊加而成系統(tǒng)的總輸出量。為了便于運(yùn)算，常通過(guò)移動(dòng)比較點(diǎn)和引出點(diǎn)的方法，將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)作些變化，以減少局部反饋回路。 （ 3）反饋運(yùn)算法則 具有反饋環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)等于前向通路的傳遞函數(shù)除以 1 加 (或減 )前向通路和反饋通路兩者傳遞函數(shù)的乘積。 （ 4）綜合點(diǎn)（比較點(diǎn)）：對(duì)兩個(gè)以上信 號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算，“＋”號(hào)表示相加，“－”號(hào)表示相減，如圖 (d)所示。 (七 ) 時(shí)滯環(huán)節(jié) 在實(shí)際控制系統(tǒng)中常遇到時(shí)滯環(huán)節(jié)，即輸入信號(hào)加入后，輸出要隔一定時(shí)間τ才能復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)，時(shí)滯環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程為 xc(t)=xr(tτ ) 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 23 根據(jù)時(shí)域位移定理，其傳遞函數(shù)為 src esX sXsG ???? )( )()( 圖 211 時(shí)滯環(huán)節(jié) 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖 控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖一般由如下四種基本單元組成，它們是 （ 1）信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，信號(hào)線上標(biāo)信號(hào)的原函數(shù)或象函數(shù) 。因此，任何一個(gè)能指示出 — 個(gè)量的變化速率的裝置都可視為微分環(huán)節(jié)。 顯然，決定振蕩環(huán)節(jié)性能的參數(shù)有放大系數(shù) K，時(shí)間常數(shù) T 和阻尼比ζ。 圖 29 電氣慣性環(huán)節(jié) (三 ) 積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的輸出量 xc(t)的變化率和輸入量 xr(t)成正比，即 其傳遞函數(shù)為 G(s)=Xc(s)/Xr(s)=K/s (四 ) 振蕩環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)包含兩種形式的儲(chǔ)能元件，并且所儲(chǔ)存的能量相互轉(zhuǎn)換。設(shè)輸入為xr(t)，輸出為 xc(t)，則其運(yùn)動(dòng)方程式為 )()()( tKxtxdt tdxT rcc ?? 其傳遞函數(shù)為 G(s)=Xc(s)/Xr(s)=K/(Ts+1) 式中 T—— 環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)； K—— 環(huán)節(jié)的放大系數(shù)。 放大環(huán)節(jié)的共同特點(diǎn)是傳遞函數(shù)為一常數(shù)。 5．分母中的最高階若為 n，則稱系統(tǒng)為 n 階系統(tǒng)。 系統(tǒng)傳遞函數(shù)是復(fù)變量 s 的函數(shù)，常?？梢员磉_(dá)成如下形式 或 傳遞函數(shù)的性質(zhì) 1．傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)或元件自身的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與輸入量和初始條件等外部因素?zé)o關(guān)。因此，可以認(rèn)為其初始條件為零。 線性化有如下特點(diǎn)： (l) 線性化是相對(duì)某一額定工作點(diǎn)進(jìn)行的。 +Δ y； F＝ F。 y。 (4) 消去中間變量，列出各變量間的關(guān)系式。而這些物理定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式就是環(huán)節(jié) (或元件 )的原始方程式。 解 根據(jù)基爾霍夫電路定律，有 CuRidtdiLtu ?????)( 而 dtduCi c? ，則上式可寫成如下形式 JT?dTsT圖 機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng) L RCu cu圖 RLC 無(wú)源網(wǎng)絡(luò) 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 19 )(22 tuudtduRCdt udLCCcc ??? （ 2－ 3） 上式表示了 RLC 電路的輸入量和輸出量之間的關(guān)系。求該系統(tǒng)的微分方程 式。 例求 61)(2 ???? ss ssF的拉氏反變換。 解：方法 1，由終值定理知： 方法 2，利用部分分式法將 )(sF 改寫成 11010)1( 10)( ?????? sssssF 則可知 )(sF 的拉氏反變換為 10)1( 10lim)(lim)(lim 00 ???? ???? sssssFtf sst《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 17 tetf ??? 1010)( 則 1010lim10)(lim ??? ????? ttt etf 例 已知 2)2( 1)( ?? ssF 。 拉氏反變換的定義 部分分式法 例 已知23 3)( 2 ???? ss ssF，求 ?)( ?tf 解：因 )(21),2)(1(23)( 2 sFsssssssD 是和 ?????????? 的一階極點(diǎn)，可得 21)( 21 ???? sCsCsF 式中 21)1()2)(1(31 ????????sssssC 12)2()2)(1(32 ?????????sssssC 所以 )0(2)( 2 ??? ?? teetf tt 。 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 16 (5) 已知541)( 2 ??? sssF，其原函數(shù) )(tf 為（ ）。 (4) 圖所 示函數(shù)的拉氏變換為（ ）。 答： 1)12( 1lim)(lim 20 ??????? ??? sss sstee stss，所以選擇 ① 。 ① dtetf st?????)( ； ② dtetf tj??????)( ； ③ dtetf st??0)( ； ④ dtetf st???0)( 。 f (t) f (t) T2 2a a 0 T 2T 3T t 0 2T T