【正文】 x＝ 0 處必有 y’＝ 0 0)(39。（判別方法：極值點..0)0(39。0)(39。 二階導(dǎo)數(shù)從大于 0 到小于 0，或從小于 0 到大于 0，中間的過渡點稱為拐點。0039。 重要結(jié)論與公式 ? ?nmm i nArA)1( nm ，）（對于 ?? （ 2） ( ) ( )Tr A r A? 有行 BA)3( ? ?? ① A與 B的行向量相互等價 ② 不改變列向量的線性關(guān)系（一般用初等行變換求矩陣的秩） ③ r（ A） =r（ B） （ 4） ( ) ( ) ( )r A B r A r B? ? ? 類似 |x+y|≤ |x|+|y| P(A+B)≤ P(A)+P(B) P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)≤ P(A)+P(B) （ 5） ( ) m in( ( ) , ( ) )r AB r A r B? ??? ??? r(B)B)r(A r(A )B)r(A （ 6） B可逆???????r（ AB） =r（ A） B不可逆 ??????? r（ AB） r（ A） 17 ????????? 00 01A取 ????????? 00 02B ????????? 00 02AB r（ AB） =r（ A） =1 （ 7） A中任意兩行成比例???????r（ A） =1 11A=00?????? （ 8） A=B??????? r（ A） =r（ B） （ 9） A=0?????? r（ A） =0 （ 10） ( ) ( ) ( 0)r A r kA k?? （ 11） A B 0 ( ) ( )m n n p A B r A r B n? ? ? ?若 是 階 矩 陣 ， 是 階 矩 陣 ， 當(dāng) 時 ， ＋ 重點掌握以下矩陣可逆性的判斷： | | 0()(),0,n A Ar A nAn B A B B A EAXAX???????? ? ???階 方 陣 可 逆的 行 列 向 量 組 線 性 無 關(guān)存 在 階 方 陣 有 （ 可 逆 矩 陣 的 定 義 ）齊 次 方 程 組 只 有 零 解對 于 任 意 的 非 齊 次 方 程 組 總 有 唯 一 解 AA B C C???方 陣 的 特 征 值 全 不 為 零( 可 逆 ） 設(shè) A為 n階矩陣，有以下等價命題 a) r（ A） =n （滿秩矩陣） b) A可逆 c) |A|≠ 0 d) AT 可逆 e) r（ A*） =n f) A* 可逆 g) A的 n個列（行）向量線性無關(guān)，即 A列（行）滿秩 h) AX=0只有零解 i) AX=β有唯一解 二、向量組 線性相關(guān)性基本定義 18 .02211 ??????? mm ?????? .0)1( 21 使上式成立，則其相關(guān)，的存在不全為 m??? ??? ..0)2( 21 無關(guān)使上式成立，則其線性當(dāng)且僅當(dāng) ??????? m??? 常見相關(guān)性歸納 01 ??? 線性相關(guān)能推出）單個向量（ ( 2 ) ? ? ? ?兩 個 向 量 、 線 性 相 關(guān) 與 、 成 比 例 的 關(guān) 系 （ 3）包含 0 向量的任何向量組，線性相關(guān) . ? ?1 2 1( 4 ) 2mmm? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?， ， 線 性 相 關(guān) 中 有 一 個 向 量 可 由 其 余 向 量 線 性 表 示 1m( 5 ) ( m 2 ) .?? ? 線 性 無 關(guān) 任 何 一 個 向 量 都 不 能 由 其 余 向 量 線 性 表 示n1 2 m3 R ,mn? ? ? ? ? ?、 ， ， 即 向 量 組 的 個 數(shù) 個 維 數(shù) (1) mn 時，則其線性相關(guān) . .0|A|).,(An( 2 ) m 21nn 判斷相關(guān)性根據(jù)時，令 ??? ? n??? ? 三、線性方程組 （一）關(guān)于方程組解的性質(zhì) ? ?? ?? ?1 2 1 1 2 21 1 2 2 1 1 2 211 2 1 1 2 21 1 2 2 1 1 2 21211 , 0 0:021 ) 1 ,:2)k k kk k k kkk k kk k k kkAX AXA A A AAXAXA A A A? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??、 若 為 的 解 , 則 為 的 解分 析、 若 為 的 解當(dāng) 時 為 的 解分 析當(dāng) 2 1 1 2 20 , 0k k k AX? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?時 為 的 解 ? ?1 2 1 2 1 21230: , , 00A X A Xx x A X A x x A x A xx x A X?? ? ???? ? ? ? ??、 任 何 兩 個 解 之 差 為 的 解分 析 若 為 的 解即 為 的 解 （二）含有參數(shù)的線性方程組的求解。 有關(guān)基礎(chǔ)解系的問題 解題提示：某一個向量組要是方程組的基礎(chǔ)解系，需要滿足三個條件： （ 1）該向量組中的每個向 量都滿足方程 AX＝ 0； （ 2）該向量組線性無關(guān)； （ 3）該向量組中向量的個數(shù)等于 nr(A)；或方程組的任一解向量都可由該向量組線性表示。 , 。 c) x離 μ越遠(yuǎn)， P(x)的值越小 ，表明對于同樣長度的區(qū)間，區(qū)間離 μ越遠(yuǎn)， X落在這個區(qū)間上的概率越小。標(biāo)準(zhǔn)差與 的或簡記為的標(biāo)準(zhǔn)差，記為稱為方差的非負(fù)平方根 X XxXXD ???)( 數(shù)學(xué)期望 EX 方差 DX EC=C （ C為常數(shù)） DC=0 E( kX) = kEX D( kx ) = k2DX E( X+C) = EX+C D( X+C) = DX 28 E(X177。 微積分 （ 1）連續(xù)函數(shù)必定有原函數(shù) （注意：不一定有極值！?。? （ 2） 奇（偶）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)必定為偶（奇）函數(shù) （ 3）奇函數(shù)的原函數(shù)必定為偶函數(shù) （ 4）周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)必定是周期函數(shù)，最小正周期不變 線 代 （ 1） 對于 AX＝ 0，當(dāng) mn時，必定有無窮多解（非零解） （ 2） 對于 AX＝ β ,當(dāng) mn時，必定沒有唯一解 （ 3） 零向量必定與任何向量線性相關(guān) （ 4） 若兩個線性無關(guān)的向量組互相等價，則它們包含的向量的個數(shù)必定相等 （ 5）數(shù)量矩陣可以與任何矩陣相交換 概 率 （ 1） 空集 Ф 必定與任何事件既相互獨立也互斥 （ 2） A、 B不為 Ф ,不可能事件 若 A、 B互斥，則 A、 B必定不互相獨立 若 A、 B獨立，則 A、 B必定相容 （ 3）離散型隨機變量中只有幾何分布不具有記憶性， 連續(xù)型隨機變量中只有指數(shù)分布不具有記憶性 （ 4）概率中的必考分部公式：正態(tài)分布 報名參加泰祺 MBA輔導(dǎo)班，讓您的備考之路不在孤單！ 29 。 EY ()D X Y D X D Y??獨 立 EYEXXYE ??)( （獨立） DX = EX2(EX)2 （重要） 科 目 結(jié)論 初 數(shù) （ 1） n個正數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值相等時，則這 n 個正數(shù)相等，且等于算術(shù)平均值。 e) P(X≤?)=P(X≥?) 1 ()2 F ??? f) 期望 EX=? 一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化（非常重要） 2( , ) , ( 0 , 1 )XX N N??? ??則 密度函數(shù) f(x)為偶函數(shù)的重要結(jié)論 0 1( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) 2F P X P X f x d x??? ? ? ? ? ?? (2)F(a)=1F(a) (3)P(|X|a)=2F(a)1 (a0) 分析： P(|X|a)=P(aXa)=F(a)F(a)=2F(a)1 (4)P(|X|a)=1P(|X|a)=2(1F(a)) (5)若 EX存在，則 EX=0 a a F(a) 1F(a) ? 27 數(shù)學(xué)期望有以下重要性質(zhì)： (1) 若 C 為常數(shù)，則 E(C) = C. (2) 若 X 為一個隨機變量， C 為常數(shù)，則 E(CX) = CE(X). (3) 若 X 為一個隨機變量， C 和 k 為常數(shù)，則 E(kx + C) = kE(x) + C. (4) 若 X,Y 是兩個隨機變量，則有 E(X + Y) = E(X) + E(Y) 有性質(zhì) (2)和性質(zhì) (4)，我們可以得到以下結(jié)論：若 X1,X2? Xk 為 k 個隨機變量，C1,C2,…C k為常數(shù)，則 .)()( 11 ?? ?? ? Ki iiKi ii XECXCE (5) 設(shè) Y 是隨機變量 X的函數(shù)： Y= g(X),其中 g是連續(xù)函數(shù)，則關(guān)于隨機變量 Y 的數(shù)學(xué)期望，有以下結(jié)論 11( ) ( ) , 1 , 2 , ,( ) ( ) [ ( ) ] ( ) .( ) ( ) , ( ) ( )( ) [ ( ) ] ( ) ( ) .kkk k k kkki X p P X x kg x p E Y E g X g x Pi i X p x g x p x dxE Y E g X g x p x dx????? ? ????????????????若 是 離 散 型 隨 機 變 量 ， 它 的 概 率 分 布 為 如 果絕 對 收 斂 ， 則 有若 是 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 ， 它 的 概 率 密 度 函 數(shù) 如 果 ，絕 對 收 斂 則 有 方差及性質(zhì) (1) 若 C 為常數(shù)，則 D(C) = 0,即常量的方差等于零。 ,A B A B A B A B 四組事件中，若其中一組相互獨立，則其余三組也相互獨立，則其余三組也相互獨立 (6)求“ n 個事件至少有一個發(fā)生時 ”轉(zhuǎn)化為其對立事件“都不發(fā)生” ( ) 1 ( )P A B C P A B C? ? ? ? ? ?1 ( ) ( ) ( )P A P B P C? ? ?獨 立 9．獨立試驗序列 (1)貝努里： n 次試驗中成功 k 次的概率： () k k n knnP k C P q ?? (2)直到第 k 次試驗， A才首次發(fā)生： 1kkP q p??? (3)做 n 次貝努里試驗，直到第 n 次，才成功 k 次： 11k k n knP