農(nóng)業(yè)調(diào)查問(wèn)卷(文件)
【正文】 p 不存在無(wú)偏估計(jì)。抽樣調(diào)查中的比估計(jì)量就是一種漸近無(wú)偏估計(jì)量。隨機(jī)誤差的度量 對(duì)無(wú)偏估計(jì)，我們已經(jīng)知道估計(jì)量 與參數(shù) 的差 的所有可能取值的平均值等于 0，即 。如果兩個(gè)估計(jì)量 和 ， 遠(yuǎn)離 而 卻經(jīng)常在 的附近，那么我們比較喜歡使用 來(lái)估計(jì) 。 考慮到盒子中數(shù)值都是整數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)誤差 ?？梢灾赖闹皇浅槌龅哪墙M樣本。 前面討論的主要是無(wú)偏估計(jì)的情況。此時(shí)， 的均方誤差為 當(dāng) 是 的漸近無(wú)偏估計(jì)，并且上式右端第二項(xiàng)是比 更高階的無(wú)窮小，則仍可使用 的方差 和均方誤差 來(lái)近似地度量隨機(jī)誤差的大小。 分布函數(shù)給出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量小于實(shí)數(shù) t 的概率。這就是在實(shí)際中我們把樣本平均數(shù)歸結(jié)為它具有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的原因。二十世紀(jì)六七十年代，一些概率統(tǒng)計(jì)工作者，如 Hajek等人，對(duì)有限總體無(wú)放回抽樣的樣本平均數(shù)進(jìn)行了研究，得到如下與獨(dú)立同分布變量相同的結(jié)論： 定理 ：設(shè)有限總體單元為 ，從中隨機(jī)無(wú)放回抽取 n 個(gè)單元，記為 ，它們的平均數(shù)記為 ，總體平均數(shù)記作 ，方差記為 ，則當(dāng) 時(shí)，成立： 上述定理告訴我們，當(dāng) N,n,N－ n相當(dāng)大時(shí)，可將 的分布近似地用看作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。由于 和 是隨機(jī)樣本的函數(shù)，所以該區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間。由可得 的置信水平為 95% 的置信區(qū)間：由可得 的置信水平為 % 的置信區(qū)間：一般地，由可得 的置信水平為 的置信區(qū)間：可查顯著性水平為 的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表獲得。但是，常住人口總量的置信區(qū)間下界為 —= 萬(wàn)，比戶籍人口數(shù)小了近 20萬(wàn)人。 1個(gè)月內(nèi)有 20天以上住在學(xué)校者為常住。此時(shí)總體比例數(shù) P= ，樣本比例數(shù)p= ，總體方差和樣本方差分別為解： 樣本百分比為它是總體百分比的估計(jì)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差置信水平為 68% 的置信區(qū)間：即約有 的學(xué)生常住學(xué)校習(xí)題 1調(diào)查某地區(qū) 25000戶家庭內(nèi)汽車和電視機(jī)的比例，抽取了 500戶家庭作為樣本，調(diào)查結(jié)果顯示在樣本中有 179戶家庭有汽車，有 498戶人家有電視機(jī)，請(qǐng)估計(jì) 25000戶家庭有電冰箱和電視機(jī)的比例及其 95% 的區(qū)間估計(jì)解：汽車： N=25000 n=500為擁有汽車比例的估計(jì)樣本方差估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為置信水平為 95％的置信區(qū)間為電視機(jī)： N=25000 n=500為擁有電視機(jī)比例的估計(jì)樣本方差估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為置信水平為 95％的置信區(qū)間為。試估計(jì)該學(xué)期該大學(xué)常住學(xué)校的學(xué)生的百分比，并求估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差以及 68% 的置信區(qū)間。例 某大學(xué)有 25000名注冊(cè)學(xué)生。在實(shí)際操作中只能是選擇適當(dāng)?shù)闹眯潘?，或者加大樣本容? n 來(lái)彌補(bǔ)。由可知，上述區(qū)間覆蓋 這一隨機(jī)事件的概率為 68% ，稱此區(qū)間為待估參數(shù) 的置信度為 68% 的置信區(qū)間。 在抽樣調(diào)查理論中，樣本平均數(shù) 的近似正態(tài)性的重要作用之一，就是給出待估參數(shù) 和 的置信區(qū)間。主要原因是抽樣調(diào)查中總體是有限總體，大多數(shù)抽樣方式是隨機(jī)無(wú)放回，因而樣本的抽取不滿足獨(dú)立同分布，不能直接應(yīng)用上述中心極限定理。這個(gè)事實(shí)是由中心極限定理嚴(yán)格論證了的。正態(tài)曲線的應(yīng)用與置信區(qū)間 如果隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為當(dāng) 時(shí)，該曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線，其概率密度為分布函數(shù)為則稱該隨機(jī)變量服從參數(shù)為 的正態(tài)分布。 設(shè) 是 的有偏估計(jì)，即 。比如：若抽得樣本（ 2， 3， 7），則比起真正的標(biāo)準(zhǔn)誤差 ，近似標(biāo)準(zhǔn)誤差還不至于太令人失望。 遺憾的是，在實(shí)際操作中，我們對(duì)估計(jì)量誤差的測(cè)量并不一定作得如此之好。因此，我們常用所有可能隨機(jī)誤差平方的平均值 來(lái)度量隨機(jī)誤差的大小， 稱為均方誤差，記為 在 是 的無(wú)偏估計(jì)的前提下， 實(shí)際上是 的方差即稱為 的標(biāo)準(zhǔn)誤差 接著討論前面的例子。 以一元參數(shù)為例，由于隨機(jī)性， 可以在 的左邊，也可以在 的右邊，而在前述平均意義下，這些正負(fù)偏差將互相抵消。這些估計(jì)量在實(shí)際操作中能為幾乎所有的人接受，而它們卻不是無(wú)偏估計(jì)量。雖然 是 的有偏估計(jì)，即 ，但是隨著樣本容量 n 的增大，并且 具有其它良好的性質(zhì)。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)告訴我們，并非所有的待估參數(shù)都存在無(wú)偏估計(jì)。如果估計(jì) 的統(tǒng)計(jì)量 具有性質(zhì)： ，則稱 為 的無(wú)偏估計(jì)。由于依據(jù)局部來(lái)估計(jì)總體避免不了會(huì)發(fā)生誤差，這個(gè)誤差還是隨機(jī)的，任何兩次抽樣所產(chǎn)生的誤差都不會(huì)相同，每次所產(chǎn)生的誤差都是這個(gè)隨機(jī)變量的一次實(shí)現(xiàn)。為什么還要用樣本平均數(shù)和方差來(lái)估計(jì)總體平均數(shù)和方差呢？原因一： 和 是樣本平均數(shù) 和方差 的波動(dòng)中心換句話說(shuō)， 雖然估計(jì)量 和 會(huì)發(fā)生隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差有正有負(fù)，但隨機(jī)誤差的平均值為 0。考慮不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，由于抽樣是隨機(jī)的， 7個(gè)個(gè)體中的任何 3個(gè)都可能入選樣本。隨機(jī)誤差與無(wú)偏估計(jì)量 先討論一個(gè)簡(jiǎn)單的具體例子。 在實(shí)際操作中，人們不太可能心甘情愿地花費(fèi)兩倍以上的費(fèi)用去訪問(wèn)同一個(gè)單元。于是盒子可用圖 2－ 2表示：圖 2－ 21 0則盒子中票子指標(biāo)的平均數(shù)為：正好是我們關(guān)心的那類個(gè)體占總體的比例。從總體中抽樣，就相當(dāng)于從一個(gè)盒子里摸取若干張票，盒子里的票數(shù)相當(dāng)于有限總體的單元個(gè)數(shù)，票上記載
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