85 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(文件)
【正文】 A . 又 EA ∩ MN ＝ M ， ∴ DM ⊥ 平面 ECA ，而 DM ? 平面 B D M ， ∴ 平面 ECA ⊥ 平面 B D M . 探究提高 面面垂直的問題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問題解決 . 變式訓(xùn)練 2 如圖所示，在四面體 A B C D 中，CB ＝ CD ， AD ⊥ BD ，點 E ，F(xiàn) 分別是 AB ， BD 的中點，求證： ( 1 ) 直線 EF ∥ 面 ACD ； ( 2 ) 面 E F C ⊥ 面 B C D . 證明 ( 1) 因為 E ， F 分別是 AB ， BD 的中點， 所以 EF 是 △ ABD 的中位線，所以 EF ∥ AD . 因為 EF ? 面 ACD ， AD ? 面 ACD ， 所以直線 EF ∥ 面 ACD . ( 2) 因為 AD ⊥ BD ， EF ∥ AD ，所以 EF ⊥ BD . 因為 CB ＝ CD ， F 是 BD 的中點，所以 CF ⊥ BD . 又 EF ∩ CF ＝ F ，所以 BD ⊥ 面 EFC . 因為 BD ? 面 BCD ，所以面 EFC ⊥ BCD 面 . 題型三 線面垂直的綜合應(yīng)用 例 3 如圖所示，在四棱錐 P — A B C D 中，平面P A D ⊥ 平面 A B C D ， AB ∥ DC ，△ P A D 是等邊三角形，已知 BD＝ 2 AD ＝ 8 ， AB ＝ 2 DC ＝ 4 5 . ( 1 ) 設(shè) M 是 PC 上的一點， 求證：平面 M B D ⊥ 平面 P A D ； ( 2 ) 求四棱錐 P — A B C D 的體積 . 思維啟迪 ： ( 1) 因為兩平面垂直與 M 點位置無關(guān)，所以在平面 M B D 內(nèi)一定有一條直線垂直于平面 P A D ，考慮證明 BD ⊥ 平面 P A D . ( 2) 四棱錐底面為一梯形，高為 P 到面 ABCD的距離 . ( 1) 證明 在 △ ABD 中， ∵ AD ＝ 4 ， BD ＝ 8 ，AB ＝ 4 5 ， ∴ AD2＋ BD2＝ AB2. ∴ AD ⊥ BD . 又 ∵ 面 P A D ⊥ 面 ABCD ，面 P A D ∩ 面 ABCD＝ AD ， BD ? 面 ABCD ， ∴ BD ⊥ 面 P A D . 又 BD ? 面 B D M ， ∴ 面 M B D ⊥ 面 P A D . ( 2 ) 解 過 P 作 PO ⊥ AD ， ∵ 面 P A D ⊥ 面 ABCD ， ∴ PO ⊥ 面 ABCD ， 即 PO 為四棱錐 P — ABCD 的高 . 又 △ P A D 是邊長為 4 的等邊三角形， ∴ PO ＝ 2 3 . 在底面四邊形 ABCD 中， AB ∥ DC ， AB ＝ 2 DC ， ∴ 四邊形 ABCD 為梯形 . 在 Rt △ A DB 中，斜邊 AB 邊上的高為4 84 5＝8 55， 此即為梯形的高 . ∴ S四邊形 A B C D＝2 5 ＋ 4 528 55＝ 24. ∴ VP — A B C D＝13 2 4 2 3 ＝ 16 3 . 探究提高 當(dāng)兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而可以證明線線垂直 . 變式訓(xùn)練 3 ( 2020 167。 山東 ) 在如圖所示的幾何體 中，四邊形 AB C D 是正方形 ， MA ⊥ 平面 AB C D ， PD ∥ MA ， E 、 G 、 F 分別為 MB 、 PB 、 PC 的中點，且 AD ＝ PD ＝ 2 MA . (1) 求證：平面 EFG ⊥ 平面 PDC ； (2) 求三棱錐 P － MAB 與四棱錐 P － AB C D 的體積之比 . ( 1) 證明 因為 MA ⊥ 平面 ABCD ， PD ∥ MA ， 所以 PD ⊥ 平面 ABCD . 又 BC ? 平面 ABCD ，所以 PD ⊥ BC . 因為四邊形 ABCD 為正方形，所以 BC ⊥ DC . 又 PD ∩ DC ＝ D ，所以 BC ⊥ 平面 P D C . 在 △ P B C 中，因為 G 、 F 分別為 PB 、 PC 的中點， 所以 GF ∥ BC ，所以 GF ⊥ 平面 P D C . 又 GF ? 平面 EFG ，所以平面 EFG ⊥ 平面 P D C . ( 2) 解 因為 PD ⊥ 平面 ABCD ，四邊形 ABCD為正方形， 不妨設(shè) MA ＝ 1 ，則 PD ＝ AD ＝ 2 ， 所以 VP － ABCD＝13S 正方形A BCD 天津 ) 如圖，在五面體A B C D E F 中，四邊形 A D E F 是正方形， FA ⊥ 平面 A B C D ， BC ∥ AD ，CD ＝ 1 ， AD ＝ 2
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1