上海市黃浦區(qū)20xx屆高三下學期4月等級考調研測試數(shù)學試題 word版含答案(文件)
【正文】 分） 17．解： （ 1）以 A 為坐標原點、 AB 為 x 軸、 AC 為 y 軸、 1AA 為 z 軸建立如圖的 空間直角坐標系 ． 由題意可知 ( 0 , 0 , 0) , ( 0 , 1 , 2) , ( 2 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0)A D E F??， 故 ( 2 , 0 ,1 ) , ( 1 , 0 , 2)AE DF? ? ? ? ?， ??????? 4 分 由 2 ( 1 ) 1 ( 2) 0A E D F? ? ? ? ? ? ? ? ?， 可知 AE DF? ，即 AE DF? ． ??????? 6 分 （ 2）設 ( , ,1)n x y? 是平面 DEF 的一個法向量， 又 ( 1 , 0 , 2) (1 ,1 , 1 )DF EF? ? ? ? ?， 故由 2 0 ,1 0 ,n D F xn E F x y? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???解得 2,3,xy???? ?? 故 ( 2,3,1)n?? ． ???? 9 分 設 AE 與平面 DEF 所成角為 ? ，則 | | 5 7 0s in14| | | | 1 4 5n A En A E? ?? ? ?? ?， ???? 12 分 x y z O 所以 AE 與平面 DEF 所成角為 70arcsin 14 ， 點 A 到平面 DEF 的距離為 5sin 1414AE ??? ． ??????? 14 分 18．解： （ 1）由 cos , cos , cosb C a A c B成等差數(shù)列， 可得 c o s c o s 2 c o sb C c B a A?+ ， ??????? 2 分 故 s i n cos s i n cos 2 s i n cosB C C B A A?+ ， 所以 si n ( ) 2 si n cosB C A?+ ， ??? 4 分 又 A B C ?? ? ? ， 所以 sin( ) sinB C A?? ，故 sin 2 sin cosA A A? ， 又由 (0,π)A? ， 可知 sin 0A? ，故 1cos 2A? ，所以 π3A? ． ??????? 6 分 （另法：利用 cos cosb C c B a?+ 求解） （ 2）在 △ ABC 中，由余弦定理得 2 2 22 c o s ( 3 2 )3b c b c ?? ? ?， ??????? 8 分 即 22 18b c bc? ? ? ，故 2( ) 3 18b c bc? ? ? ，又 6bc?? ，故 6bc? ， ?????? 10 分 所以 2 222( ) 2A B A C A B A C A B A C A B A C? ? ? ? ?++ 22| | | | 2 | | | | c osAB AC AB AC A? ? ? ? ??????? 12 分 22c b bc? ? ? 2( ) 30b c bc? ? ? ?， 故 30AB AC ?+ ． ??????? 14 分 19．解： （ 1）由 11()22f ? ，可得 1 1 1log2 2 2a??，解之得 2a? . ??????? 2 分 由 32 種情形等可能，故 1 ( 1, 2 , , 3 2 )32kPk??， ???????? 4 分 所以2113 2 ( lo g ) 53 2 3 2H ? ? ? ?， 答：“誰被選中”的信息熵為 5 ． ???????? 6 分 （ 2） nA 獲得冠軍的概率為1 1 11 1 1 1 11 + ) 1 (1 )2 4 2 2 2n n n? ? ?? ? ? ? ? ? ?(， ????? 8 分 當 1,2,k? ,1n? 時 ，2( ) 2 lo g 2 2kkk kkfp ??? ? ?，又11()2n nnfp ???， 故111 2 3 1 12 4 8 2 2nnnnH ??? ? ? ? ? ?， ???????? 11 分 11 1 2 2 1 1 +2 4 8 2
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