【正文】 ≠ 0 ，解之得 0 ≤ x 1 , 定義域?yàn)?[ 0,1 ) ． B 4 ． ( 201 0 －536π ( 3 ) α 終邊與 θ 終邊關(guān)于 x 軸對(duì)稱 ? α ＝－ θ ＋ 2 k π( k ∈ Z ). ( 4 ) α 終邊與 θ 終邊關(guān)于 y 軸對(duì)稱 ? α ＝ π － θ ＋ 2 k π( k ∈ Z ). ( 5 ) α 終邊與 θ 終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ? α ＝ π ＋ θ ＋ 2 k π( k ∈ Z ). ( 6 ) α 終邊在 x 軸上的角可表示為 α ＝ k π ， k ∈ Z ； α 終邊在y 軸上的角可表示為 α ＝ k π ＋π2， k ∈ Z ； α 終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為 α ＝k π2， k ∈ Z . 2. 弧長(zhǎng)公式： l ＝ |α | R ，扇形面積公式： S ＝12lR ＝12|α | R2， 弧度 ( 1 r ad ) ≈ 5 7 . 3 176。 － α ) ＋ co s ( α － 3 6 0 176。 c o s α s i n β s i n 2 α ＝ 2 s i n α c o s α . c o s( α 177。α ＋ β2，α ＋ β2＝ ( α －β2) － (α2－ β ) 等 . 如已知 t a n ( α ＋ β ) ＝25， t a n ( β －π4) ＝14，那么 t a n ( α ＋π4) 的 值是 . 322 ( 2 ) 三角函數(shù)名互化 ( 切化弦 ). 如已知si n α c o s α1 － c o s 2 α＝ 1 ， t a n ( α － β ) ＝－23，則 t a n ( β － 2 α ) ＝ . ( 3 ) 公式變形使用 t a n α 177。 si n ( x ＋ θ )( 其中 θ 角所在的角限由 a ， b 的符號(hào)確定， θ 角的值由 t a n θ ＝ba確定 ) 在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用 . 如 ( 1 ) 若方程 s i n x － 3 c o s x ＝ c 有實(shí)數(shù)解，則 c 的取值范 圍是 . ( 2 ) 當(dāng)函數(shù) y ＝ 2 c o s x － 3 s i n x 取得最大值時(shí)， t a n x 的值 是 . ［－ 2 ,2 ］ － 32 1 0 . 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象 正弦函數(shù) y ＝ s i n x 和余弦函數(shù) y ＝ c o s x 圖象的作圖方法：五點(diǎn)法：先取橫坐標(biāo)分別為 0 ，π2， π ，3π2， 2π 的五點(diǎn)，再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連接起來(lái)，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象 . 1 1 . 正弦函數(shù) y ＝ si n x ( x ∈ R ) 、余弦函數(shù) y ＝ c o s x ( x ∈ R ) 的性質(zhì) ( 1 ) 定義域：都是 R . ( 2 ) 值域：都是［－ 1 , 1 ］，對(duì) y ＝ si n x ，當(dāng) x ＝ 2 k π ＋π2( k ∈ Z )時(shí)， y 取最大值 1 ；當(dāng) x ＝ 2 k π ＋3π2( k ∈ Z ) 時(shí)， y 取最小值－ 1 ；對(duì) y ＝ c o s x ，當(dāng) x ＝ 2 k π( k ∈ Z ) 時(shí)， y 取最大值 1 ，當(dāng) x ＝ 2 k π ＋ π( k ∈ Z ) 時(shí)， y 取最小值－ 1. 如 ① 若函數(shù) y ＝ a － b si n ( 3 x ＋π6) 的最大值為32，最小值為－12，則 a ＝ ， b ＝ . ② 函數(shù) f ( x ) ＝ si n x ＋ 3 c o s x ( x ∈ ［－π2，π2］ ) 的值域是 . 12 1 或－ 1 ［－ 1 ,2 ］ ( 3 ) 周期性： ① y ＝ si n x 、 y ＝ c o s x 的最小正周期都是 2π ；② f ( x ) ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) 和 f ( x ) ＝ A c o s( ωx ＋ φ ) 的最小正周 期都是 T ＝2π|ω |. 如若 f ( x ) ＝ si nπ x3，則 f ( 1 ) ＋ f ( 2 ) ＋ f ( 3 ) ＋ ? ＋ f ( 2 0 1 0 ) ＝ . ( 4 ) 奇偶性與對(duì)稱性：正弦函數(shù) y ＝ s i n x ( x ∈ R ) 是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是 ( k π ， 0 ) ( k ∈ Z ) ，對(duì)稱軸是直線 x ＝ k π ＋π2( k ∈ Z ) ；余弦函數(shù) y ＝ c o s x ( x ∈ R ) 是偶函數(shù)，對(duì)稱中心是( k π ＋π2， 0 ) ( k ∈ Z ) ，對(duì)稱軸是直線 x ＝ k π( k ∈ Z )( 正 ( 余 ) 弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于 x 軸的直線，對(duì)稱中心為圖象與 x 軸交點(diǎn) ). 如 ① 函數(shù) y ＝ s i n (5π2－2 x ) 的奇偶性是 . 0 偶函數(shù) ② 已知函數(shù) f ( x ) ＝ ax ＋ b s i n3x ＋ 1( a ， b 為常數(shù) ) ，且 f ( 5 ) ＝ 7 ，則 f ( － 5) ＝ . ( 5 ) 單調(diào)性： y ＝ si n x 在［ 2 k π －π2， 2 k π ＋π2］ ( k ∈ Z ) 上單調(diào)遞增，在［ 2 k π ＋π2， 2 k π ＋3π2］ ( k ∈ Z ) 上單調(diào)遞減； y ＝ c o s x 在［ 2 k π ， 2 k π ＋ π ］ ( k ∈ Z ) 上單調(diào)遞減，在［ 2 k π ＋ π ， 2 k π＋ 2π ］ ( k ∈ Z ) 上單調(diào)遞增 . 特別提醒，別忘了 k ∈ Z . － 5 1 2 . 形如 y ＝ A si n ( ωx ＋ φ ) 的函數(shù) ( 1 ) 函數(shù) y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) 表達(dá)式的確定： A 由最值確定； ω 由周期確定； φ 由圖象上 的特殊點(diǎn)確定，如 f ( x ) ＝ A s i n ( ωx ＋ φ )( A 0 ， ω 0 ， |φ |π2) 的圖象如圖所示， 則 f ( x ) ＝ . ( 2 ) 函數(shù) y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) 圖象的畫(huà)法： ① 五點(diǎn)法 —— 設(shè) X＝ ωx ＋ φ ，令 X ＝ 0 ，π2， π ，3π2， 2π 求出相應(yīng)的 x 值，計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象； ② 圖象變換法，它是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法 . 2 si n ( 152 x ＋ π3 ) ( 3 ) 函數(shù) y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) ＋ k 的圖象與 y ＝ s i n x 圖象間的關(guān)系： ① 函數(shù) y ＝ si n x 的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左 ( φ 0 )或向右 ( φ 0 ) 平移 |φ |個(gè)單位得 y ＝ s i n ( x ＋ φ ) 的 圖象； ② 函數(shù)y ＝ si n ( x ＋ φ ) 圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1ω，得到函數(shù) y ＝ si n ( ωx ＋ φ ) 的圖象； ③ 圖象 y ＝ si n ( ωx ＋ φ ) 圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 A 倍，得到函數(shù) y＝ A si n ( ωx ＋ φ ) 的圖象； ④ 函數(shù) y ＝ A si n ( ωx ＋ φ ) 圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上 ( k 0 ) 或向下 ( k 0 ) 平移 | k |個(gè)單位得到 y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) ＋ k 的圖象 . 要特別注意，若由 y ＝ s i n ωx得到 y ＝ si n ( ωx ＋ φ ) 的圖象，則應(yīng)向左或向右平移 |φω|個(gè)單位 . 1 3 . 正切函 數(shù) y ＝ t a n x 的圖象和性質(zhì) ( 1 ) 定義域： { x | x ≠π2＋ k π ， k ∈ Z }. ( 2 ) 值域是 R ，在上面定義域上無(wú)最大值也無(wú)最小值； ( 3 ) 周期性：是周期函數(shù)且周期是 π ，它與直線 y ＝ a的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期 π. 絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說(shuō)來(lái)，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變 . 既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定 . 如 y ＝ si n2x ， y ＝ | si n x |的周期都是 π ， y ＝ | si n x |＋ | c o s x |的周期為π2，而 y ＝| 2 si n ( 3 x －π6) ＋12|， y ＝ | t a n x |的周期不變 . ( 4 ) 奇偶性與對(duì)稱性：是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是 (k π2， 0 ) ( k ∈ Z ). ( 5 ) 單調(diào)性：正切函數(shù)在開(kāi)區(qū) 間 ( －π2＋ k π ，π2＋ k π) ( k ∈ Z )內(nèi)都是增函數(shù) . 但要注意在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性 . 1 4 . 三角形中的有關(guān)公式 ( 1 ) 內(nèi)角和定理：三角形三角和為 π ，這是三角形中三角函數(shù)問(wèn)題的特殊性，解題不可忘記任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余 . 銳角三角形 ? 三內(nèi)角都是銳角 ? 三內(nèi)角的余弦值為正值 ? 任兩角和都是鈍角 ? 任意兩邊的平方和大于第三邊的平方 . ( 2 ) 正弦定理：asi n A＝bsi n B＝csi n C＝ 2 R ( R 為三角形外接圓的半徑 ). 注意： ① 正弦定理的一些變式：( ⅰ ) a ∶ b ∶ c ＝ si n A ∶ si n B ∶ s i n C ； ( ⅱ ) si n A ＝a2 R， si n B ＝b2 R， si n C ＝c2 R； ( ⅲ ) a ＝ 2 R si n A ， b ＝ 2 R s i n B ，c ＝ 2 R si n C ； ② 已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解，要結(jié)合具體情況進(jìn)行取舍 . ( 3 ) 余弦定理： a2＝ b2＋ c2－ 2 bc co s A ， co s A ＝b2＋ c2－ a22 bc等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀 . ( 4 ) 面積公式： S ＝12ah a ＝12ab si n C ＝12r ( a ＋ b ＋ c )( 其中 r 為三角形內(nèi)切圓半徑 ). 如 △ ABC 中，若 s i n2A co s2B －co s2A si n2B ＝ s i n2C ，判斷 △ AB C 的形狀 . 答案 直角三角形 精品回扣練習(xí) 1. 已知 co s θ co s 1 3 176。 co s 1 3 176。 － 1 3 176。 ，那么角 A 等 于 ( ) A . 1 3 5 176。 解析 根據(jù)正弦定理asi n A＝bsi n B 得：2si n A＝3si n 6 0 176。 k ＝43π ， ∴ ω ＝32k ( k ∈ Z ) ， ∴ ω m in ＝32. C 7.2 co s 1 0 176。 － s i n 2 0 176。 ) － si n 2 0 176。 ＋ s i n 3 0 176。 ＝3 co s 2 0 176。＝ 3 . 3 8. 已知 △ A BC 的三個(gè)內(nèi)角 A 、 B 、 C 成等差數(shù)列，且 AB ＝ 1 ， BC ＝ 4 ，則邊 BC 上的中線 AD 的長(zhǎng)為 . 解析 ∵ A ＋ B ＋ C ＝ 1 8 0 176。 co s 6 0 176。 c o s θ 叫做 a 與 b 的數(shù)量積 ( 或內(nèi)積或點(diǎn)積 ) ，記作 a b 的幾何意義：數(shù)量積 a b ＝ | a || b | c o s θ . OAOB規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是 0 ，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量． 如①△ A B C 中， ＝ 3 ， ＝ 4 ， ＝ 5 ，則 ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . ② 已知 a ＝ (1 ，12) ， b ＝ (0 ，－12) ， c ＝ a ＋ k b ， d ＝ a － b ，c 與 d 的夾角為π4，則 k ＝ _ _ _ _ _ _ . ③ b 在 a 上的投影為 | b | c o s θ ，它