【正文】 sm, please to zf0579 1 number = 1000。概率有如下性質(zhì)1.0 ≤ P( ) ≤ 1隨機事件 A 發(fā)生的概率介于 0 與 1 之間，如果等于 0，表示不可能事件；如果等于1，表示必然事件2. 若 A ? B ，則 P( ) ≤ P ( )如果隨機事件 A 包含在隨機事件 B 中，即隨機事件 B 發(fā)生，則隨機事件 A 必然發(fā)生，但是隨機事件 A 發(fā)生，隨機事件 B 不一定發(fā)生。獨立性公式P(A I B) = P( ) ( )如果，隨機事件 A、B 同時發(fā)生的概率等于 A 發(fā)生的概率乘以 B 發(fā)生的概率，則稱隨機事件 A、B 相互獨立。貝葉斯公式(BiA )=P ( )P (A Bi)??246。如果已知某個信號在接收端的概率，則可以通過上式求出 P(Bi|A)，這里稱 P(Bi|A)為后驗概率，因為這個概率是通過接收端的信號發(fā)生概率反推出發(fā)送端的信號發(fā)生概率，取概率最大的信號認為是在發(fā)送端輸出的信號。通常在接收端認為發(fā)送信號 Bi是先驗等概的。 %Probability of sending B1PB2 = 。 %Probability of Send B1, Receiving A2PA1B2 = 。運算后可以得到 PB1A1 要大于 PB2A1，這說明在發(fā)送端發(fā)送 B1 的可能性要遠大于 B2，從而我們可以判決接收到的信號為 B1，恢復(fù)出信源發(fā)送的信息。每次試驗的結(jié)果都可以用一個變量238。給定隨機變量，其取值小于238。 ≤ x) (? ∞ x ∞) 。當隨機變量238。 = xk) = pk。(2)每次試驗的結(jié)果都可以用 n 個變量 238。若 (x1, x2,L, xn) 是 n 維 樣 本 空 間 中 的 一 點 ， 且 238。≤x ,238。≤x,238。≤) ( 238。n是相互獨立的。 ，238。 = xi的概率 P(238。 = xi,231。 =yk，其條件分布P xik(231。P ykiP xi,yk當 ( )231。 ≤)xi, y dy ， P() P(238。 ≤ x 231。 隨機變量的統(tǒng)計特征?∞k雖然隨機變量的變化沒有規(guī)律，但是從統(tǒng)計觀點來看，還是具有統(tǒng)計特征的。 =k(= ∫?∞∞ 238。 ? E( )2) = ∑ (xk? E( )2pk（離散型隨機變量）k( )((( ))(( )( )D= E 238。) = E( ) ( ) 231。 ,231。 +231。 ,231。238。238。238。???k???,其均值、方差本別為( )E =np, D( ) = npq下面的代碼用于繪制其分布函數(shù)、密度函數(shù)，生成二項式分布隨機變量，并求其均值、方差。%Get Binomial cumulative distribution and drawingcdf = binocdf(x,N,P)。Binomial cumulative distribution39。plot(x, pdf)。%Generate the Random numbers from the binomial distributionR = binornd(N, P, 1, 1000)。2 均勻分布如果隨機變量在樣本空間上均勻分布，取其中任何一個值都是等概率的，則其分布具有如下的概率密度函數(shù)：?1(238。%Parameters Settinga = 0。subplot(2, 1, 1)。)。title(39。%Get the Covariance valueD = cov(R)。243。2。If you have any suggestion or criticism, please to zf0579 8 %Calculate the CDF amp。plot(x, cdf)。)。title(39。E = mean(R)。 2 分布如果 247。如果 247。2分布。 2 分布隨機變量，并求其均值、方差。 Drawingcdf = chi2cdf(x, chi)。Chisquare cumulative distribution39。subplot(2, 1, 2)。)%Generate the randoms amp。此 247。 2 隨機變量和的平方根，即 22的分布就是瑞利分布。1+ x2，則該隨機變量( ) =??238。20?0(238。181。 Drawingx = 10::10。title(39。 Drawingpdf = raylpdf(x, mu)。Rayleigh probability density39。D = cov(R)。其概率密度函數(shù)如下：? ?238。 243。?(238。所謂過程就是事物發(fā)展所經(jīng)過的階段，這自然是與時間是有關(guān)系的。如果在某個時刻 t，其結(jié)果不是確定的，則這類過程被稱為隨機過程。下面分別定義隨機過程的均值、方差、自相關(guān)、協(xié)方差。方差為243。如果求參數(shù) t1，t2隨機過程間的聯(lián)系，可以定義自相關(guān)為R(t1, t2) = ∫ ∫?∞∞()協(xié)方差為x1x2f x1, x2。 ,)下面的程序生成三個隨機序列，并求其均值、方差%Generate randomst = 0::1。%Drawinghold plot(t, r(1,:))。r39。)。t1, t2, ,tnx12n1其中?mt?( )2C 2?1 ?m =?mt2 ?? M ????mtn ??C(t1, t1) C(t1,t2)?LC(t2,tn)???C(t2, t1) (C t2,t2)LC(t2,tn)?C = ?MMM??(tn, t1) (C tn,t1)(tn,tn)??CLC?例如下面的代碼生成三個隨機過程，然后求其均值、協(xié)方差。C = cov(r)。(Xn)此外，如果 X = X1, X2,L, 表示 n 維高斯隨機變量，則對任意不全為零的實數(shù)l1,l2,Lln，有Y = l X+ l X+ +lnXn為一維高斯隨機變量。 ( ) 為窄帶平穩(wěn)實隨機過程，則該過程可以表示為：238。 + 238。? cos 249。因為 xc( )， xs( )都是238。2，則 xc( ) ， xs( )均值為 0，方差為243。243。0t +232。這樣其概率密度函數(shù)也可以表示為：f( )232。 2( ) =V???2243。2???2243。 ( ) 的包絡(luò)服從瑞利分布，而相位服從均勻分布。243。 = f ( ) ( ) ，也就是包絡(luò)與相位是相互統(tǒng)計獨立的第二種情況是接收機的輸入為隨機相位正弦信號與窄帶平穩(wěn)實高斯過程的疊加，即( )(0t+232。( ) =(+) ( )Asin 249。0+ (t Acos232。0t其中， zc( ) = Asin 232。 相互統(tǒng)計獨立If you have any suggestion or criticism, please to zf0579 15的，所以可以得到其概率密度函數(shù)為()11?2 + 2 ?x xf x232。22? z2exp?22243。 =1??+ z2+ ?c sA 2A zcsin+ zscos??, ,c s2 24240。( ) 還可以表示為231。 ) 可以得到：V ?2(232。2?2243。f V , ,? 2 2 ?V?+?? ? ?? ?=expV AIAV ?243。上式所代表的包絡(luò)概率密度函數(shù)就是萊斯密度函數(shù)，也就是隨機相位正弦信號與窄帶平穩(wěn)實高斯過程的疊加，其包絡(luò)服從萊斯分布，其相位還是服從均勻分布。 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程分為嚴平穩(wěn)隨機過程、寬平穩(wěn)隨機過程兩類，通常情況下，平穩(wěn)隨機過程都是寬平穩(wěn)隨機過程。 L tn+244。 ,+244。如果隨機過程{238。常見的寬平穩(wěn)隨機過程有下面幾種類型：如果{Z ( ),t ∈T}為復(fù)隨機過程，且 E(Z ( ) = c ， E(Z ( ) (t +244。RXY，如果{X ( ) t ∈T }為隨機過程，且對于任意實數(shù)244。平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)可以通過其均值、相關(guān)函數(shù)來表示。如果{X ( ) t ∈T }是隨機過程，且滿足如下兩個條件X ( ) = E(X ( ) = 181。這里 X ( ) = lim1TTT ← ∞ 2T 馬爾可夫隨機過程∫?T( )X dt ， X ( ) (t +244。t+1x,L, x1。馬爾可夫過程表明將來發(fā)生的事情僅與當前的事情有關(guān)，而與過去的事情無關(guān)。 (n +1) =Pj238。 ( )) ( )= =,L,i Pji P這里( )ijP 被稱為其一步轉(zhuǎn)移概率。對于齊次馬爾可夫鏈可以有如下 等式存在：P(238。( ) = in238。( ) = i0)ij= P(238。( ) = i0)nn?1n?1L= P(238。(n ? 2) = in?2)LP(238。( ) = i0) 為常量，則該齊次馬爾可夫鏈為平穩(wěn)馬爾可夫鏈。如果從狀態(tài) i 經(jīng)過 n 步轉(zhuǎn)移后，首次到達狀態(tài) j 的概率被稱為首次到達概率。如果狀態(tài) i是常返的，則從狀態(tài) i 出發(fā)，可以無限次返回到狀態(tài) i。n→∞iin→∞ii馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間分解設(shè) C 是馬爾可夫鏈狀態(tài)空間 S 的一個子集，對于任意狀態(tài) i 屬于 C，狀態(tài) j 不屬于 C，都有 Pij( ) = 0 ，則稱狀態(tài) C 為閉集。如果狀態(tài) i，j 是互達的，則狀態(tài) i，j 有相同的周期。本節(jié)分別討論離散時間信號與系統(tǒng)，離散系統(tǒng)的時域分析，離散系統(tǒng)的 Z 域分析，連續(xù)系統(tǒng)到離散系統(tǒng)的映射。 ) ，其幅度、頻率、相位都可以隨時間變化而變化。隨機性信號是時間的隨機性函數(shù)。例如可以是正弦信號或者是方波信號。%Draw continuous and discrete signalsubplot(2, 1, 1)。)。)。其波形如下：If you have any suggestion or criticism, please to zf0579 19信號可以分為周期信號與非周期信號。如果一個信號的能量無窮大，但其功率為有限值，則該信號為功率信號。%Generate sine signal and Calculate the Energy , Powers = sin(2*pi*t)。當增大 T 時，可以看到 e 會增大，但是 p 卻保持不變。p = e/(2*T)。下面來計算一下正弦信號的能量及其功率%Time SettingT = 2。如果不滿足上述等式，則是非周期信號。Disrcete Signal39。stem(t, s, 39。title(39。下面代碼繪出連續(xù)信號與離散信號波形%Time and Signalt = 0::1。信號可以分為連續(xù)信號與離散信號。確定性信號是時間的確定性函數(shù)。例如載波信號 g( ) ( 249。一個不可約的、非周期的、有限狀態(tài)的馬爾可夫鏈一定是遍歷的。狀態(tài)空間 S可以分解為 S = N U C CCn1U2UL U ，其中 N 為非常返態(tài)，Ci為常返態(tài)。如果狀態(tài) i 是常返的，且 lim P( )= 0 ，則稱狀態(tài) i 是零常返的。設(shè) fij( ) = P(X