【正文】 6）帶入（447）有： （448）對式（448）變形有： （449）我們將式（449）中的和用一個(gè)未知量來代替，這樣對和的求解就變成了對下面這個(gè)方程的求解： （450）這就是BCH(15,7,2)碼的錯誤多項(xiàng)式，我們可以同時(shí)試探的方法去求解該方程的根。這種碼元取值和生成多項(xiàng)式的根所在的域相同的時(shí)，這類BCH碼就叫做RS碼[20]。這樣RS的碼長由原來的增加到。碼字長度為，能夠糾正兩個(gè)錯誤。例如我們將輸入的信息為，則對應(yīng)的二進(jìn)制可以表示為：，再根據(jù)式（413），便可得到編碼后的碼字為：，其二進(jìn)制表示為：這就是RS碼的編碼過程。這里我們將伴隨式定義如下： （459）該方程組是由個(gè)方程組成，包含了個(gè)錯誤位置（）和個(gè)錯誤值（），那么該方程組一定能夠解出相應(yīng)的值來。同時(shí)再根據(jù)回歸建模方法，還可以構(gòu)造出一個(gè)矩陣運(yùn)算式，利用該矩陣運(yùn)算式就可以求解方程組（459）中的錯誤位置。這里我們引入一個(gè)新的參量，它表示錯誤碼元的位置，而相應(yīng)的錯誤值仍然用來表示，這樣可以將方程組（459）改寫并用矩陣表示為： （462）由于和的值都是已知的，那么對式（462）的求解就相對簡單了。剩下的就是要解出具體的錯誤值。[20]。級聯(lián)碼一般可以分為串行級聯(lián)碼和交織級聯(lián)碼。但在串行級聯(lián)碼的碼型搭配中，也必須遵循一些基本的要求。例如BCH(7,3)級聯(lián)BCH(15,7)。我們將發(fā)送端發(fā)出的信息按照位為一個(gè)處理周期，那么只需要了解每個(gè)處理周期內(nèi)的編碼原理即可。采用這種方式的編碼必須在兩個(gè)編碼器之間增加一個(gè)緩沖器，因?yàn)閺木幋a器1出來的數(shù)據(jù)是多組二進(jìn)制碼元，而編碼器2每次又只能處理一組二進(jìn)制碼元，所以需要降低碼率，這樣勢必會帶來一些延遲。以上就是常用的串行級聯(lián)碼的碼型搭配。在光纖通信系統(tǒng)中，由于光纖的散射以及光源的不穩(wěn)定性等，往往會使錯誤碼元成串的出現(xiàn)，我們認(rèn)為這類信道是有記憶的。交織級聯(lián)碼的基本結(jié)構(gòu)如下圖所示[2025]：圖48 交織級聯(lián)碼結(jié)構(gòu)圖從圖48中可以看出，交織級聯(lián)碼和串行級聯(lián)碼之間的的差別僅僅是在兩個(gè)編碼器之間增加了一個(gè)交織器，正因如此可以將記憶信道轉(zhuǎn)換成無記憶信道。碼元在傳輸?shù)倪^程中發(fā)生了兩串錯誤，即第二列和第四列全錯（用表示）。這類碼型的交織級聯(lián)很靈活，只要兩個(gè)編碼器之間的交織矩陣是一個(gè)的矩陣就可以了。② RS碼交織級聯(lián)BCH碼：編碼器1采用的是RS碼，編碼器2采用的是BCH碼。③ RS碼交織級聯(lián)RS碼：編碼器1采用的是RS碼，編碼器2采用的是RS碼。編碼器1經(jīng)過次處理之后，交織器中就存放了行碼字，即：這樣就形成了一個(gè)，由于RS是按組進(jìn)行處理，所以只考慮組數(shù)的情況下，就是一個(gè)矩陣。 交織級聯(lián)碼的解碼過程也很簡單，這里就不在贅述。近些年來，ITUT對FEC展開了深入的研究，提出與光纖通信相適應(yīng)的一些建議。MATLAB通信仿真模塊能夠有效地模擬出各種碼型在光通信系統(tǒng)中的性能表現(xiàn)。根據(jù)本文的研究重點(diǎn)，這種近似不會影響到本文的研究結(jié)果。在仿真的時(shí)候，將傳輸?shù)拇a元設(shè)置為1012個(gè)，這樣如果出現(xiàn)了一個(gè)錯誤碼元，那么就可以將誤碼率定義到的1012數(shù)量級，這恰好是光傳輸系統(tǒng)中一個(gè)重要的指標(biāo)，只要誤碼率在小于1012，這都是可以容忍的。實(shí)踐證明，這些碼型對光傳輸系統(tǒng)的整體質(zhì)量的提升都起到了很大的作用。其中BCH碼和RS碼是當(dāng)今FEC技術(shù)中最常用的碼型，在ITUT ，下章將以本章為理論基礎(chǔ)，通過實(shí)踐仿真來說明其實(shí)際糾錯性能。這樣每次移出的一列數(shù)據(jù)剛好可以作為編碼器2的組數(shù)，經(jīng)過編碼之后就可生成碼字，該碼字包含組數(shù)據(jù)，每組中有個(gè)碼元。當(dāng)為數(shù)據(jù)通過編碼器1時(shí)，就會生成碼字，該碼字一共有組，每組中包含個(gè)碼元。為了匹配交織級聯(lián)碼的編碼規(guī)則，只需要將經(jīng)過次RS編碼的碼元存入交織器，交織器中的每一列就有個(gè)碼元，這樣交織器每送出一列數(shù)據(jù)，BCH編碼器就只需要進(jìn)行次編碼就可以對每列的碼元全部進(jìn)行編碼。當(dāng)存放的行數(shù)達(dá)到時(shí)，交織器將內(nèi)部的數(shù)據(jù)按列讀出，這樣就會送出列數(shù)據(jù)，每列包含個(gè)碼元，這恰好是編碼器2中BCH碼的信息位數(shù)，這樣就可以直接進(jìn)行第二次BCH編碼，因此每列的碼元就增加到了個(gè)。這樣更加有利于發(fā)揮糾錯碼的糾錯性能。例如發(fā)送端將發(fā)送一組信息，在發(fā)送前，將該組信息送入到一個(gè)的矩陣交織器。為此人們提出一種交織的概念，將這種成串的錯誤分開，提高糾錯碼的性能。串行級聯(lián)碼中所涉及到的兩種碼型的譯碼前面幾節(jié)中已經(jīng)提到，這里只需要按過程逐一解碼就可以了。由于兩個(gè)編碼器都是采用的RS碼，對信息中的二進(jìn)制碼元都是按組處理，那么同樣需要保證。由于編碼器1中的RS碼的處理對象是一組二進(jìn)制位，將這些信息按組進(jìn)行編碼，即將組進(jìn)行編碼之后得到組，即碼字： （463）如式（463），這時(shí)每個(gè)信息組包含的信息元的數(shù)量仍然是，當(dāng)信息傳送到編碼器2中進(jìn)行BCH編碼時(shí)，BCH碼的處理對象則是一個(gè)二進(jìn)制位，我們可以將每組中的各信息碼元當(dāng)做是BCH碼中的各信息元，這樣每組都會生成一個(gè)碼字： （464）如式（464），這也可以單純的看成每組中的信息元數(shù)量由增加到。我們知道RS是一種多進(jìn)制的碼型，而BCH是一種二進(jìn)制編碼。這兩種碼型在串行級聯(lián)的時(shí)候必須遵循，這樣的好處在于信息進(jìn)過編碼器1之后生成的碼字的長度恰好是BCH碼的信息長度，在碼速上面來說就可以很好的匹配，不會帶來延遲。這兩種碼型可以是不同類型的碼型，也可以是同種碼型中采用不同參數(shù)的碼。人們在進(jìn)行編碼研究的同時(shí)也發(fā)現(xiàn)很多有著高糾錯性能的碼型往往只是理論上可行，因?yàn)檫@些碼型的編碼和解碼算法大都很復(fù)雜，當(dāng)時(shí)的數(shù)字處理器的性能根本達(dá)不到要求。這就是RS碼的譯碼過程。例如前面的(7,3)RS碼，假設(shè)錯誤碼元出現(xiàn)的位置在第二位和第六位，對應(yīng)的錯誤值分別為，由此可以構(gòu)造出錯誤多項(xiàng)式為：根據(jù)式（459），可以得到4個(gè)伴隨式為：然后再根據(jù)錯誤位置多項(xiàng)式的求解方法如式（461）有：對上面的方程組進(jìn)行求解有：將上面解出的錯誤位置多項(xiàng)式的系數(shù)帶入錯誤位置多項(xiàng)式中，然后用域中的元素逐一去試探，得出該錯誤位置多項(xiàng)式構(gòu)成的方程的根為和。這里我們假設(shè)解出來的值為，那么根據(jù)先前定義的錯誤多項(xiàng)式，就可得到錯誤碼元的位置在第位。這里將用一種新的方法去求解，我們將求解的過程分為兩部，首先求解個(gè)錯誤位置，然后求解個(gè)錯誤值。對RS碼進(jìn)行譯碼除了要找到錯誤碼元的具體位置，同時(shí)還要找到相應(yīng)的錯誤值。這樣便得到： （455）由于該碼的信息位包含3個(gè)碼元，所以還需要構(gòu)造另外兩個(gè)生成多項(xiàng)式。下面我們用一個(gè)例子來詳細(xì)分析RS碼的編碼原理。根據(jù)以上的信息，我們可以定義出能夠糾正個(gè)錯誤的RS碼的生成多項(xiàng)式為： （453）其中是中的本原元，從本章的第四節(jié)我們知道，任意次數(shù)大于等于的元素都能夠通過其次數(shù)為的本原多項(xiàng)式來分解，用次數(shù)低于的元素唯一的表示。第六節(jié) RS碼RS碼是BCH碼的一個(gè)重要分類，它是在BCH碼原有的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化得來的，有著比BCH碼更優(yōu)越的性能，被廣泛應(yīng)用于通信領(lǐng)域中。換句話說，我們只需要將碼字去作用校驗(yàn)矩陣中的前兩行元素就可以了。如果接收端收到錯誤的碼字，因此我們可以用來判斷接收碼字的正確性，同時(shí)通過的值來確定錯誤碼元的位置。至于用該式再構(gòu)造出另外的11個(gè)生成多項(xiàng)式以及后面的生成矩陣的方法跟前面的循環(huán)碼完全一樣，這里就不在贅述。根據(jù)以上條件，我們再來構(gòu)造一個(gè)的非本原BCH碼。令是域內(nèi)的某一次元素但不是本原元，即，同時(shí)是以為根上的最低次多項(xiàng)式。另外當(dāng)?shù)玫骄哂胁煌m錯性能的生成多項(xiàng)式時(shí)，我們還必須找到它們各自的生成矩陣。該生成多項(xiàng)式的根必須由以及的最小多項(xiàng)式構(gòu)成： 這樣我們就構(gòu)造出了BCH(15,7,2)碼的生成多項(xiàng)式。根據(jù)本原多項(xiàng)式可以構(gòu)造出所有元素的最小多項(xiàng)式，構(gòu)造的方法主要是根據(jù)的方程，然后結(jié)合高次冪元素的需求再進(jìn)行升冪的配置，由于篇幅原因，具體的構(gòu)造過程就不在贅述。令是的最小多項(xiàng)式，即，那么有： （436）其中LCM代表由若干個(gè)最小多項(xiàng)式組成的最小公倍式，同時(shí)我們令（其中為奇數(shù)且），那么可以得到，那么恰好是的共軛元，所以我們可以對式（436）進(jìn)行化簡得： （437）這樣組成生成多項(xiàng)式的最小多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)為個(gè)，同時(shí)由于每個(gè)最小多項(xiàng)式的次數(shù)最多為，那么生成多項(xiàng)式的次數(shù)最多為，那么校驗(yàn)位的位數(shù)最多也就等于。對于BCH碼的生成多項(xiàng)式有幾種方法，這里我們將講述一種相對簡單的方法。令為中的本原元（即中的元素可以通過增加的次數(shù)來構(gòu)成）。BCH碼一般分為兩種：本原BCH碼和非本原BCH碼[20]。正是有了本原多項(xiàng)式，才使得有限域內(nèi)的加法運(yùn)算更加簡單。例如一個(gè)擴(kuò)展域，從該域的表達(dá)式可以看出：，并且該式中最高次冪元素為。即：為了從中得到有限個(gè)元素，我們必須對該域增加一個(gè)限制條件：這樣次數(shù)超過元素就可以降階為低于該次數(shù)的元素，這樣就得到了一個(gè)新的有限域：三、 有限域的本原多項(xiàng)式將有限域用于BCH碼和RS碼還需要另一個(gè)重要的理論——原本多項(xiàng)式。我們可以用這樣的式子來表示：例如就是一個(gè)最簡單的二元域，因?yàn)樵撚蛴蓛蓚€(gè)元素組成：“0”，“1”。其實(shí)域這個(gè)概念我們很早就接觸到了，在初中的時(shí)候我們把這個(gè)概念稱為集合。第四節(jié) 有限域在進(jìn)一步了解后面的BCH碼和RS碼之前，我們先補(bǔ)充下這兩種碼型所涉及到得數(shù)學(xué)工具——有限域。這就是循環(huán)碼的編碼過程。將式（427）代入式（426）有： （428）式（428）正是用來確定循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式的一種方法。（4） 是的一個(gè)次因式。這個(gè)線性無關(guān)的多項(xiàng)式用下式一個(gè)矩陣表示為： （424）式（424）就是循環(huán)碼的生成矩陣，當(dāng)生成矩陣確定以后，整個(gè)循環(huán)碼字也就確定了。我們用下面一個(gè)式子來表述上面這個(gè)結(jié)論： （423）式（423）還同時(shí)說明了任何一個(gè)維數(shù)為的循環(huán)碼多項(xiàng)式都是模運(yùn)算的一個(gè)余式。二、 循環(huán)碼的多項(xiàng)式人們對循環(huán)碼的研究有很多方法，這里我們將用多項(xiàng)式法去研究循環(huán)碼，這也是最常用的方法。這種特殊的碼字間關(guān)系使得循環(huán)碼的編碼和譯碼電路都相對簡單，得到了廣泛發(fā)展。其監(jiān)督子與錯誤碼元之間的關(guān)系如表（41）所示：表41漢明碼錯誤位置表錯誤位置錯誤位置001101010110100111011000無錯表41中當(dāng)=1時(shí)，、和處才有可能發(fā)生錯誤，于是我們可以得到這樣的一個(gè)式子： （418）同理可得： （419） （420）這樣就得到了一個(gè)校正子矩陣，當(dāng)收到一個(gè)碼字之后，通過上面的式子進(jìn)行校驗(yàn)，校驗(yàn)方法和一般線性分組碼完全相同。四、 漢明碼漢明碼是1950年由漢明（Hamming）提出的一種碼型，該碼能夠糾正單個(gè)錯誤，并且有著很高的編碼效率[20]。（3） 接收碼字為時(shí)：我們可以看到的值不等于矩陣中的任何一列，但該值可以是中的第一列與第七列以及第二列與第六列的線性組合。假設(shè)我們在接收端收到了、和三個(gè)碼字。我們用來表示出錯碼元的位置，當(dāng)=1時(shí)，表示該位發(fā)生了錯誤，當(dāng)=0時(shí)，則正確[20]。這里的即為線性分組碼(7,3)的生成矩陣。其中把稱為的監(jiān)督矩陣，為碼字。綜上所述，若用個(gè)監(jiān)督碼元來保證長度為的碼字的正確傳輸，就必須滿足以下關(guān)系式： （46）我們通過一個(gè)具體的例子來認(rèn)識一下線性分組碼的編碼方法。由于表達(dá)式中只有1個(gè)監(jiān)督碼元，的取值范圍只能為“0”或者“1”，只能判斷對與錯，而不能進(jìn)一步確定錯誤碼元的具體位置。奇偶校驗(yàn)碼可以表示為的線性分組碼，其最小碼距，只能夠檢測一位錯誤碼[20]。在二進(jìn)制信號中，信息不外乎是由“0”和“1”組成的。其中最簡單的線性分組碼是二進(jìn)制糾錯碼，該碼的碼元由“0”或者“1”組成，其運(yùn)算法則是布爾運(yùn)算。碼組C在傳輸?shù)倪^程中發(fā)生了錯誤，其中的某個(gè)碼字（）變成了，接收端則將與C中的碼字進(jìn)行對比，找出具有最小的碼距，并且把該碼字作為發(fā)送端最有可能發(fā)送的信息[20]。 圖42 檢測e個(gè)錯誤的碼距圖（1） 能夠檢測個(gè)錯誤的最小碼距為： （42）式（42）可以由圖42來說明，某碼字C其外圍允許出現(xiàn)個(gè)誤碼，這個(gè)誤碼可以按照最小漢明距離糾正為碼字C，當(dāng)其它可用的碼字與碼字C保持至少1個(gè)碼距，這樣在對誤碼糾錯的時(shí)候就不會將其它碼字相混淆。最小碼距[20]：在一個(gè)碼組C當(dāng)中，所有碼字之間碼距最小值稱為最小碼距，用表示。二、 編碼中的基本定義碼重[20]：碼字中非零碼元的數(shù)量稱為碼重，也叫做漢明重量。如圖41所示：圖41 碼字結(jié)構(gòu)當(dāng)每個(gè)位信息組按照編碼規(guī)則加上足夠的個(gè)校驗(yàn)而組成位的碼組（也叫碼字）后，這樣的碼組不僅能夠發(fā)現(xiàn)在傳輸途中產(chǎn)生的錯誤，還能夠糾正錯誤。差錯一般可以分為兩類：一類是隨機(jī)分散的差錯，一類是隨機(jī)成串的差錯，即突發(fā)錯誤[20]。第四章 差錯控制編碼理論第一節(jié) 分組糾錯碼的基本概念法國數(shù)學(xué)家克勞德所以，本文在后面用MATLAB對編碼仿真的時(shí)候可以采用AWGN信道來模擬光傳輸系統(tǒng)中的噪聲。而還可以用來判斷非對稱高斯信道和加性高斯白噪聲信道與卡方信道的相似程度。目前用于研究光通信信道的模型主要有三種：卡方（ChiSquare）信道、非對稱高斯（Asymmetric