【正文】 　(4) {{a}}P(A)答：(2) （{a}是P（A）的一個(gè)元素）1在0（ ）之間寫(xiě)上正確的符號(hào)。答：P(x)218。答：2不是偶數(shù)且3不是負(fù)數(shù)。答：所有人都不是大學(xué)生，有些人不會(huì)死（命題的否定就是把命題前提中的量詞“換成存在$，$換成”，然后將命題的結(jié)論否定，“且變或 或變且”）設(shè)P：我生病，Q：我去學(xué)校，則下列命題可符號(hào)化為( )。 (2) 陜西師大是一座工廠。在x A和$x A的轄域中，x的所有出現(xiàn)都稱(chēng)為約束出現(xiàn)，即稱(chēng)x為約束變?cè)珹中不是約束出現(xiàn)的其他變項(xiàng)則稱(chēng)為自由變?cè)?。B(y，x))217。 $z C(y，z))174。于是A(x)、B(y，x)和$z C(y，z)中y為自由變?cè)?，x和z為約束變?cè)贒(x)中x為自由變?cè)┡袛嘞铝姓Z(yǔ)句是不是命題。　(3) 你喜歡唱歌嗎？ (4) 若7+8＞18，則三角形有4條邊。(1)　只有在生病時(shí)，我才不去學(xué)校 (2) 若我生病，則我不去學(xué)校(3)　當(dāng)且僅當(dāng)我生病時(shí)，我才不去學(xué)校(4) 若我不生病，則我一定去學(xué)校答：（1） （注意“只有……才……”和“除非……就……”兩者都是一個(gè)形式的） （2） （3） （4）設(shè)個(gè)體域?yàn)檎麛?shù)集，則下列公式的意義是( )。1永真式的否定是（ ）(1) 永真式　(2) 永假式　(3) 可滿足式　(4) (1)(3)均有可能答：（2）（這個(gè)記住就行了）1公式(PQ)(PQ)化簡(jiǎn)為（ ），公式 Q(P(PQ))可化簡(jiǎn)為（ ）。 $yR(y)（一對(duì)括號(hào)就是一個(gè)轄域）1令R(x):x是實(shí)數(shù)，Q(x):x是有理數(shù)。(1) =　(2) 　(3) 　(4) 答：(4)（空集沒(méi)有任何元素，且是任何集合的子集）1若集合S的基數(shù)|S|=5，則S的冪集的基數(shù)|P(S)|=（ ）。答：=（等于）2判斷下列命題哪幾個(gè)正確？(　　　　　)(1) 若A∪B＝A∪C，則B＝C (2) {a,b}={b,a} (3) P(A∩B)P(A)∩P(B) （P(S)表示S的冪集）(4) 若A為非空集，則AA∪A成立。t,y∈G)}）R1 =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝3設(shè)Ａ＝｛1，2，3，4，5，6｝，Ｒ是A上的整除關(guān)系，求R= {(　　　　　)}R={1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,4,2,6,3,6}3設(shè)Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，從Ａ到B的關(guān)系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=2y｝，求(1)R (2) R1 。答：2，6（單位元和零元的定義，單位元：e。答： 6,44代數(shù)系統(tǒng)G,*是一個(gè)群，則G的等冪元是(　　　　)。答：循環(huán)群，任一非單位元（證明如下：任一元素的階整除群的階。所以G等于它的任一非單位元生成的循環(huán)群）4設(shè)〈G,*〉是一個(gè)群，a,b,c∈G，則(1) 若ca=b，則c=( )；(2) 若ca=ba，則c=( )。答：k4在自然數(shù)集N上，下列哪種運(yùn)算是可結(jié)合的？（ ） (1) a*b=ab　　(2) a*b=max{a,b}　(3) a*b=a+2b　(4) a*b=|ab|答：(2)50、任意一個(gè)具有2個(gè)或以上元的半群，它（ ）。(1) 歐拉圖 (2) 樹(shù) 　(3) 平面圖 (4)　連通圖 答：(4)（考察圖的定義）5下面給出的集合中，哪一個(gè)是前綴碼？(　　　　　　)(1) {0，10，110，101111}　　　(2) {01，001，000，1}(3) {b，c，aa，ab，aba}　　　 (4) {1，11，101，001，0011}答：（2）5一個(gè)圖的哈密爾頓路是一條通過(guò)圖中( )的路。答：, n160、一棵無(wú)向樹(shù)的頂點(diǎn)數(shù)n與邊數(shù)m關(guān)系是(　　　　)。(1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1}(3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011}答：(1)6n個(gè)結(jié)點(diǎn)的有向完全圖邊數(shù)是( )，每個(gè)結(jié)點(diǎn)的度數(shù)是( )。答：26任何連通無(wú)向圖G至少有( )棵生成樹(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)G 是( )，G的生成樹(shù)只有一棵。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16答：（4）7設(shè)無(wú)向圖G有18條邊且每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)都是3，則圖G有( )個(gè)頂點(diǎn)。(1) 5　　(2) 7 (3) 8 　(4) 9答：（4）7若一棵完全二元（叉）樹(shù)有2n1個(gè)頂點(diǎn)，則它（ ）片樹(shù)葉。1P→QP→(PQ)證明：設(shè)P→(PQ)為F，則P為T(mén)，PQ為F。(P→Q)(QR) P證明：設(shè)(P→Q)(QR)為T(mén)，則P→Q和(QR)都為T(mén)。從而(P→Q)(QR) P2為慶祝九七香港回歸祖國(guó)，四支足球隊(duì)進(jìn)行比賽，已知情況如下，問(wèn)結(jié)論是否有效?前提: (1) 若A隊(duì)得第一，則B隊(duì)或C隊(duì)獲亞軍。結(jié)論: (5) D隊(duì)不是亞軍。D: D隊(duì)獲亞軍。 AB= 　　證明：設(shè)A=B，則AB=（AB）（BA）==。從而A=AB=B=。1(AB)(AC)=ABC證明： 因?yàn)?AB)(AC) =(A)(A) =A()=A= A(BC)，且(AB)(AC)=， 所以= A(BC)，故ABC。但(BA)A=，故BA=。1(AB)CA(BC)證明：x(AB)C，有AB且xC，即A，xB且xC。即P(A)P(B)P(AB) 1P(A)P(B)=P(AB) （P(S)表示S的冪集）證明：SP(A)P(B)，有SP(A)且SP(B)，所以SA且SB。從而SP(A)且SP(B)，故SP(A)P(B)。 用反證法證明。故這與已知（AB）B=（AB）B矛盾。 (4) xy（xy=0）。（2）對(duì)每個(gè)自然數(shù)x，存在自然數(shù)y滿足xy=1。（6）存在自然數(shù)x，對(duì)任意自然數(shù)y滿足xy=x。（2）xz是xy且yz的必要條件。答：（1）x（G(x,0)M（0,0,x）） 或x L(x,0)（2）xyz ((L(x,y)L(y,z))L(x,z))（3）xy ((L(x,y)z(L(z,0)G(xz,yz)))（4）xyM（x,y,y）（5）xyA(x,y,x)列出下列二元關(guān)系的所有元素：（1）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={x,y|x,y}。(3) R={1,1,1,1,2,2,3,3}。故A=。對(duì), x,xBB。同理可證，AB。從而AC =。從而AC。故BC。求下列集合：(1) A{0,1}B； (2) B2A；(3) (AB)2。（3） (AB)2={a,c,a,c,a,c,b,c,b,c,a,c,b,c,b,c}。 （4）P(A)P(B)。 (2) ={a,b,c,d,e}。 (6) (AB) C={b,d}。又因?yàn)锽C，所以xC。雖然AB，且BC，但AC。(4) 成立。≤是A上的良序關(guān)系，{a,b}有最小元?！∽C明：a∈A，因?yàn)镽和S都是A上的等價(jià)關(guān)系，所以xRx且xSx。因?yàn)镽和S都是A上的等價(jià)關(guān)系，所以bRa且bSa。因?yàn)镽和S都是A上的等價(jià)關(guān)系，所以aRc且aSc。1設(shè)RAA，則R自反 IAR。即xRx，故R是自反的。從而RR1。故R=R1。1設(shè)A,B,C和D均是集合，RAB，SBC，TCD，則(1)　　R(ST)=(RS)(RT)；(2)　　R(ST)(RS)(RT)；證明：（1）x，zR(ST)，則由合成關(guān)系的定義知yB，使得x，yR且y，zST。同理可證（RS）（RT）R(ST)。故x，z（RS）（RT） 。是A上的偏序關(guān)系，a=b。它是反自反的、反對(duì)稱(chēng)的、傳遞的；（2）R={1,2,2,1,1,3,3,1,2,3,3,2}。它既不是自反的、反自反的、也不是對(duì)稱(chēng)的、反對(duì)稱(chēng)的、傳遞的。（3）D={{1,2,7},{3,5,10},{4,6,8},{9}}解：（1）和（2）都不是A的劃分。解：R誘導(dǎo)的劃分為{{1,5},{2,4},{3,6}}。 (c) {b,e}。(b)的極大元為b,d,極小元為b,d。最大元是e，b是最小元；上界是e，下界是b。上確界是e，下確界是c。解：設(shè)G是8階循環(huán)群，a是它的生成元。因?yàn)閨e|=1,|a|=|a3|=|a5|=8,|a2|=|a6|=8, |a4|=2,且G 的子群的生成元是該子群中a的最小正冪，故G的所有子群除兩個(gè)平凡子群外，還有{e,a4},{e,a2,a4,a6}。1和3是它的兩個(gè)生成元。2設(shè)G,a}。c,dd) (ac) 從而cc,且故c1H。是偶數(shù)階群，則由于群的元素中階為1 的只有一個(gè)單位元，階大于2 的元素是偶數(shù)個(gè)，剩下的元素中都是階為2 的元素。是有限群，則aG，有|a|=|a1|。解： 0是N6,+6中關(guān)于+6的單位元。b=ba。a。b）= a3a=(a2（ba)(aa2=((aa)a2=b因?yàn)閍4a4。試證：I,*為群。對(duì)aI，a*2=a+22=a=2+a2=2*a.。 綜上所述，I,*為群。試證Sa,從而bcSa，即Sa關(guān)于運(yùn)算的子半群。因?yàn)閑是關(guān)于運(yùn)算的單位元，所以e1=e1*e=e=e2*e=e2。假設(shè)e=0。即e0。 G,是群，關(guān)于*消去律成立。3證明在一個(gè)群中單位元是惟一的。3設(shè)a是一個(gè)群〈G，*〉的生成元，則a1也是它的生成元。3在一個(gè)偶數(shù)階群中一定存在一個(gè)2階元素。故階大于2 的元素是成對(duì)的。證明：設(shè)e是該群的單位元。 即G除單位元以外無(wú)其它等冪元。即ax1=b且ax2=b。3設(shè)半群S,b2。(ab=(aa)(bb）2=a2b)=(a故a(a滿足消去律，所以(bb)，即(bb。故對(duì)任一a,bG，因?yàn)閍*b=(a*b)1=b1*a1=b*a，所以運(yùn)算*滿足交換律。（3） a,b,cA,a*b*c=a*c。（2）a,bA,因?yàn)橛桑?），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a),(a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。從而由已知條件知，a*b*c=a*c。證明： 設(shè)f 是G的自同構(gòu)。f(a))1=(f(b故運(yùn)算故f是G到G上的滿函數(shù)。b)1=(b故f滿足同態(tài)方程。因?yàn)镠H1=且HH1=G，HH2=且HH2=G，故H1=GH=H2。故H是G的不變子群。對(duì)aG，hHK，有aa1，a1。ha1HK。a}。x=x故（ax)= ab=(xb), a1b，a1C（G）。hh) (a是沒(méi)有非平凡子群的有限群。的階為n。若n是合數(shù)，則存在大于1 的整數(shù)k,m，使得n=mk。故G是質(zhì)數(shù)階的循環(huán)群。證明：用反證法證明。a,b HK,則a,b H且a,bK。從而a4素?cái)?shù)階循環(huán)群的每個(gè)非單位元都是生成元。由拉格朗日定理，k是p的正整因子。4若S,是可交換獨(dú)異點(diǎn)，T為S中所有等冪元的集合，則T,是S,的子獨(dú)異點(diǎn)。4設(shè)G,是群，且a∈G的階為n，k∈I，則|ak|＝，其中(k,n)為k和n的最大公因子。又由于akm=e，n|km。即｜ak｜＝。從而|a|mkn。從而c= (cm)k= cmk。從而G只有兩個(gè)生成元a和a1。因?yàn)閎,amH, 且HG，所以arH。（2）因?yàn)閧e}H，故H的生成元為am （m0）。證明：對(duì)n 的每一正因子d，令k=,b=ak, H={e,b,b2,…,bd1}。所以是G的一個(gè)d階子群。從而H是G的惟一d階子群。d=。(2) a∈G1，h(a)h(a1)=h(aa1)= h(e1)= e2,h(a1)h(a)=h(a1a)= h(e1)= e2,故h(a1)=h(a)1。又c1=(h(a))1=h(a1)且a1∈H，故c1∈h(H)。從而h(a)的階也有限，且|h(a)|n。故|h(a)|=|a|。證明：設(shè)|G|=n，aG，則|a|=m。5證明：在同構(gòu)意義下，只有兩個(gè)四階群，且都是循環(huán)群。不妨記為a,b,c。5在一個(gè)群G,*中，若G中的元素a的階是k，即|a|=k，則a1的階也是k。同理可證，a的階小于等于|a1|。證明：用反證法證明。若a*bA,則b= a*(a*b)A，這與aB矛盾。因?yàn)锳，B都是G的子群，故a,bG，從而a*bG。5在一個(gè)群G,*中，若A和B 都是G的子群。即（a1）k=(ak)1=e。從而aba, abb, abe,故ab=c。階為1 的元素恰有一個(gè)，就是單位元e.若G有一個(gè)4階元素，不妨設(shè)為a，則G=（a）,即G是循環(huán)群 ，從而是可交換群。則H是G的子群且|H|=m。故結(jié)論成立。因?yàn)閔是單一同態(tài)，所以am=e1。(4) 若|a|=n,則an=e1。故cd=h(a)h(b)=h(ab)。5設(shè)h是從群G1,到G2,的群同態(tài)，G和G2的單位元分別為e1和e2，則（1） h(e1)=e2；（2） aG1，h(a1)=h(a)1；（3） 若HG1，則h(H)G2；（4） 若h