【正文】 1 21222 2 2 20 0 0 0( ) 2 c o s2 ( ), , ,22c c c c c c c ce e i ee e e i i e e i e i e e eeim v m mv v v v v v m v vmmm m T mv v v m vTm??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?等離子體因碰撞趨于平衡的快慢 ? 這說明等離子體中，因碰撞趨于平衡分布的時(shí)間，電子 電子最短，離子 離子其次，而電子和離子之間達(dá)到平衡分布所需時(shí)間最久。缺點(diǎn)：不是自恰地描述物理過程。但如果相對論效應(yīng)不能忽略，則帶電粒子的質(zhì)量會(huì)發(fā)生變化，回旋頻率會(huì)隨著垂直方向的速度改變。 –平行磁場的運(yùn)動(dòng) –外力引起的垂直磁場方向的漂移 –磁場的不均勻性引起的漂移 ||22( ) ( )()c f mdm d t??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?Ω Ω f Ω Ωv v v v v v|| ( ) , B? ? ? ? ??Ω Bv v b b bf m?? ?fbv2()mddd t d t?? ? ? ???Ω bv v v引導(dǎo)中心的漂移運(yùn)動(dòng) ? 帶電粒子運(yùn)動(dòng)大致圖像：首先，它繞著磁力線旋轉(zhuǎn)，但其引導(dǎo)中心主要是沿著磁力線方向做平行運(yùn)動(dòng)。 恒定電場力的漂移運(yùn)動(dòng) ? 對于恒定靜電場，漂移速度為 ? 值得注意的是，電場漂移速度與帶電粒子的電荷的正負(fù)符號無關(guān)，也與帶電粒子的質(zhì)量無關(guān)。 ()fEqm m B?? ? ? ? ???f b E b E bv重力等其他恒定力的漂移運(yùn)動(dòng) ? 普通情況下，力總是引起與其方向一致的加速度。 2f qB?? fBv思考題 ? 為什么通常 Debye長度遠(yuǎn)大于近碰撞的瞄準(zhǔn)距離？給出證明。普通情況下，磁場變化頻率很低。由此產(chǎn)生漂移運(yùn)動(dòng) ? 令磁矩 m 是由一個(gè)電流環(huán)的面積與環(huán)電流的乘積，即 ? 這時(shí)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)可視為受到 磁鏡力 而引起梯度漂移。曲率也能這樣計(jì)算： 2 2 2|| || ||m c Rv v m vz R B q?? ? ? ? ? ?? ? ?bbv b b κ eRzR?? ? ??ebκR B 1( ) ( ) ( ) ( )2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?κ b b b b b b b b無電流區(qū)磁場不均勻引起的漂移 ? 若磁場方向和強(qiáng)度均有變化，在無電流的區(qū)域有 ? 此時(shí)有 ，證明： ? 進(jìn)一步有 ? 從而 ( ) 0B B B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B b b b2 2 22 2 2|| || ||21( ) ( )2 2 2mv v vv v v? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?κ κ κv b b b b b0?? ? ?b1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) 01( ) ( ) ( ) 02BzB?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b b b b b b b b bb b b b b b()BB z z?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? bb b b b b b κ帶電粒子在時(shí)間變化電場中的漂移 （極化漂移） ? 有恒定磁場和垂直于磁場的變化電場 ? 解運(yùn)動(dòng)方程 ： ? 令 00, c o s( )zxB E t???B e E e00c o s ( )c o s ( ) ,xzxyqEtmqEv i v t v v ivm??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?v e v e011 , c o s ( )i t i tqEv v e v e t d tm ?? ? ?? ? ? ?帶電粒子在時(shí)間變化電場中的漂移 （極化漂移） ? 一般情況電場的變化遠(yuǎn)慢于回旋，則 y方向上是普通的電漂移， x方向上即是極化漂移： 粒子越重 ， 漂移越快 。結(jié)論論證如下： ? 假設(shè)系統(tǒng)只有一個(gè)廣義變量 q（其實(shí)只需在哈密頓雅可比方程中 q可分離出來），有 21 ( ) 02d m v m qdt ? ? ? ? ? ?v v v v BJ pdq? ?守恒量和絕熱不變量 ? 系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)為 ? 反解為 ? 因而 ? 對哈密頓方程作 l和 E的偏導(dǎo)數(shù)，得到 ? 代入得 ( , , ( ) ) ( )H q p t E tl ?0 , 1H p H H pp p Ell? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?( , ( ) , ( ) )p p q E t tl?( ) ( )dJ p dE p d p p Hdq dE ddt E dt dt E pl lll? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???( 1 ) ( )( ) ( ) 0d J H Hd E d d H ddtHHd q d p p d q q d pqpllll??? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ???????回旋運(yùn)動(dòng)和磁矩不變量 ? 對于回旋運(yùn)動(dòng)，對應(yīng)磁矩不變量。這種力可能使粒子的平行速度減為 0然后反向，使粒子被反射如同鏡子反射光線。束縛粒子所形成的分布稱為損失錐分布，因?yàn)橥渡浣切∮谂R界角的粒子都逃逸了，而投射角大于臨界角的粒子依然存在，其總體分布好像挖去兩個(gè)對頂?shù)膱A錐而得名。 212 z zzJ m v d z? ?費(fèi)米加速 ? 我們常常能觀測到來自宇宙中的一些能量極高的帶電粒子，如有的粒子能量可達(dá)1018eV。 等磁通面上的環(huán)繞漂移運(yùn)動(dòng) ? 在彈跳運(yùn)動(dòng)過程中，由于磁場的空間不均勻性，導(dǎo)致曲率漂移和磁鏡力漂移。即帶電粒子的漂移是沿著同一個(gè)的磁通面進(jìn)行的。其周期也依次增加。而帶電粒子沿磁面運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果投射角小于臨界角，則為通行粒子，如果投射角大于臨界角，則沿著磁力線運(yùn)動(dòng)向中心附近時(shí)，會(huì)發(fā)生反射，這些粒子稱為捕獲粒子。 假設(shè)存在 1eV質(zhì)子和 3x104eV的電子 ， 分布各向同性 。 (4)計(jì)算環(huán)向漂移電流密度 。如果所測物理量與粒子速度有關(guān)，宏觀測量值應(yīng)該是局域所有粒子所具有的該物理量的平均值： ? 這里 是與速度有關(guān)的物理量，它的宏觀觀測值為 ，即該物理量對粒子分布的加權(quán)平均。為了求出宏觀物理量 滿足的方程，必須對動(dòng)理論方程做必要的速度積分運(yùn)算，同時(shí)要乘以微觀量 。 ? ?( ) [ ( , ) ( , ) ] 0()( ) [ ( , ) ( , ) ] 0vfqf t t f dtmn qn n t ttm???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? vvv v E x v B x vv E x v B x連續(xù)性方程和動(dòng)量方程 ? 取 ，得連續(xù)性方程： ? 取 ，得動(dòng)量方程（守恒形式）： ? 其中， 為壓力張量。如 Pxy是法線 x方向的面單位面積所受到的壓力（壓強(qiáng)）的 y分量。為體積粘滯系數(shù)，是與流體可壓縮性有關(guān) )： ()p p p??? ? ?P I b bp n T??P I I21( ) 2 , ( )32j iijiju upSxx? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???P u u I S動(dòng)量方程中的碰撞項(xiàng) ? 對于動(dòng)量方程，其中的電磁場如果去除局域中的微觀變化，歸并為碰撞效應(yīng)，則要考慮單位時(shí)間內(nèi)因?yàn)榕鲎惨鸬膭?dòng)量變化： ? 動(dòng)量的改變量與坐標(biāo)系無關(guān)。負(fù)壓力梯度是流體的受力。取 i=j并從 1到 3求和： ? 這時(shí)壓力對角項(xiàng)之和近似等于： ? 熱流在這種近似情況下也為 0（絕熱）： ? 如果分布函數(shù)偏離麥克斯韋分布較嚴(yán)重，則絕熱近似并不成立。 ? 當(dāng)分布函數(shù)遠(yuǎn)離平衡分布時(shí)，沒有統(tǒng)一的溫度，不同的方向上的壓力也不一樣，需要對每個(gè)的壓力張量分量分別計(jì)算。等離子體凍結(jié)在磁場中時(shí)，它與線元流動(dòng)具有相同的方程： ? 取平行于磁場的方向，得： ( ) ( )ddt n n? ??BB u2||3( ) 0PBdd t n ?||||(ln ) udBd t n x?? ?壓力方程的討論 ? 而 ? 故 ? 與用磁矩是絕熱不變量得到的結(jié)果相同。 ? ?213( ) 022dn m u T n qdt ? ? ? ? ? ? ? ? ?q u P E u2( ) 0 ,dDPnd t D? ?? ???2235( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0P B P PPd d dord t n B d t n d t n?? ? ? ?思考題 ? 從矩方程推導(dǎo)出等離子體的受力方程。 ? 連續(xù)性方程 ： ? 考慮到等離子體是準(zhǔn)中性的，運(yùn)動(dòng)時(shí)，呈顯出整體移動(dòng)的特征，各種成分的速度基本相同。 ? 各項(xiàng)同性條件下，可以使用絕熱方程： ? 或有磁場時(shí)的雙絕熱方程： ? ?21( ) 02d udt?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?q u P E j( ) 0d Pdt ?? ? ?23( ) 0 , ( ) 0PBPddd t B d t??? ??電場、磁場、電流 ? 利用麥克斯韋方程組，進(jìn)一步給出磁場： ? 其中的電場的獲得比較復(fù)雜，最簡單的方法是，假設(shè)等離子體是良導(dǎo)體，內(nèi)部沒有平行電場，而垂直電場完全是流動(dòng)造成的： ? 從單粒子理論我們知道，這個(gè)電場恰好導(dǎo)致等離子體整體以速度 u流動(dòng)。其中可以有電流存在，電流是由磁場形態(tài)決定的。而電流也可以從磁場得到： ? 因此從牛頓方程看 ： ? 從而單位體積的受力除了普通的壓力梯度力之外，磁場的作用力可化為磁壓力梯度力和磁張力。 ? 磁壓力梯度力不一定垂直于磁場，但總的洛侖茲力一定是垂直于磁場的。 200200()22BBmmmm??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?BBj B TBBTI磁力線與等離子體一同流動(dòng) ? 磁場的變化方程為： ? 這個(gè)方程可以化為： ? 與流動(dòng)場中的線段所滿足的方程形式相同。 ? 另一方面，我們也可以直接從方程考察磁通凍結(jié)，在同一塊面積 s上的磁通保持不變： B B S l lVm??? ? ?? ? ??()B B A CBBAACBt d t dttd t t d???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????BB S SB l u u B Su A B C B dl 磁場的擴(kuò)散項(xiàng) ? 當(dāng)。這也是我們計(jì)算雙絕熱時(shí)所用的方程。 2 2 2 2||0 0 0 0 0() ( ) ( ) ( )22B B B Bm m m m m?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?BB b b b b κ2 0/B m洛侖茲力與電磁張量 ? 另一方面，洛侖茲力可以寫為： ? 其中， T是電磁張量，包括各項(xiàng)同性的磁壓力，以及沿著磁場方向的磁張力。熱壓力與磁壓力之比稱為 b值，是表征等離子體的磁化程度的重要參量： ? 行星際空間等離子體中的 b值大致是 1左右，此時(shí)，磁場屬于較弱的形態(tài)；日冕中或聚變實(shí)驗(yàn)裝置（如托卡馬克）中， b值的典型數(shù)值是 ，此時(shí)，磁場相對較強(qiáng)。 ? 等離子體的運(yùn)動(dòng)也影響磁場變化。 t? ? ?? ??B E? ? ?E u B封閉的磁流體力學(xué)方程組 ? 簡化的磁流體力學(xué)方程組如下： 0( ) 0( ) 0()1tdPdtdPdtt?????m??? ? ? ??? ?? ? ?