第十七章變分法(文件)
【正文】 件．即泛函 的極值函數(shù) 必須是滿(mǎn)足泛函的變分 的函數(shù)類(lèi) ．因此， 把泛函的極值問(wèn)題稱(chēng)為變分問(wèn)題 ． 注明 ： EL方程是泛函取極值的必要條件，而不是充分條件． 如果討論充分條件，則要計(jì)算二階變分，并考慮其正、負(fù)值 ,但對(duì) 于實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)泛函具有明確的物理涵義，極值的存在性往往 間接地在問(wèn)題的提法中就可以肯定，所以極值的存在性是不成問(wèn) 題的，只要解出 EL方程，就可以得到 泛函的極值 ． EL方程除了上面給出的形式 ()之外 ， 另外還有四種特殊情況： (1) 不顯含 且 因?yàn)? 若 EL方程等價(jià)于 （ ） (2) 不依賴(lài)于 且 則 EL方程化為 （ ） (3) 不依賴(lài)于 且 則 EL方程化為 （ ） 由此可見(jiàn) 僅為 的函數(shù)． (4) 關(guān)于 是線(xiàn)性的： 則 EL方程化為 （ ） 對(duì)于含有一個(gè)自變量，多個(gè)變量函數(shù)，以及有較高階變量 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的泛函，類(lèi)似上面的推導(dǎo)可得如下結(jié)論： 2. 泛函表示為多個(gè)函數(shù)的積分形式 則與此泛函極值問(wèn)題相應(yīng)的 EL方程為 （ ） 3. 泛函的積分形式中含有高階導(dǎo)數(shù) 與此泛函極值問(wèn)題相應(yīng)的 EL方程為 （ ） 設(shè) 為 的二元函數(shù)，則 與此泛函極值問(wèn)題相應(yīng)的 EL方程為 （ ） 例 試求解最速降線(xiàn)落徑問(wèn)題，即變分問(wèn)題 【 解 】 目前，我們只能用間接方法來(lái)求解，由于 不顯含 ， 故其 EL方程為（ ）式 令 ，故有 令 ，分離變量得到 再令 ，代入上式得到 即得到 此即為擺線(xiàn)的參數(shù)方程，積分常數(shù)可由初始位置 （圖 A,B兩點(diǎn)）決定． 在許多泛函的極值問(wèn)題中，變量函數(shù)還受到一些附加條件 的限制，其中最常見(jiàn)和重要的一種是以 積分形式表示的限制 條件 （ ） 即所謂的 等周問(wèn)題 ： () （ 注：這種問(wèn)題之所以稱(chēng)為等周問(wèn)題，是因?yàn)樵跉v史上起源 于求一條通過(guò)兩點(diǎn)，長(zhǎng)度固定為 l的曲線(xiàn) 使面積 取極大值） 其中 為常數(shù)．此類(lèi)問(wèn)題可以仿照普通函數(shù)的 條件極值問(wèn)題的拉格朗日乘子法．即將附加條件 ()乘以 參數(shù)，求其變分后，加到泛函取極值的必要條件中得到 于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不帶條件的由上式所表示的變分問(wèn)題． 其對(duì)應(yīng)的 EL方程為 這是通過(guò) 和 兩點(diǎn)的 之下使 泛函取極值的必要條件 ．它實(shí)際上是一個(gè)關(guān)于 在 附加條件（ ） 的二階常微分方程．其通解中含有三個(gè)參數(shù)
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