第七章第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(文件)
【正文】 ( ) 176。 解析： 如圖所示，連結(jié) AC交 BD 于 O點(diǎn)，易證 AC⊥ 平面 DD1B1B， 連結(jié) B1O，則 ∠ CB1O即為 B1C與 對(duì)角面所成的角，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為 a，則 B1C＝ a， CO＝ a， ∴ sin∠ CB1O＝ . ∴∠ CB1O＝ 30176。 ，且 AB＝ AC＝ a，則 AD＝ . 解析： 取 BC中點(diǎn) E，連結(jié) ED、 AE， ∵ AB＝ AC， ∴ AE⊥ BC. ∵ 平面 ABC⊥ 平面 BDC， ∴ AE⊥ 平面 BCD. ∴ AE⊥ ED. 在 Rt△ ABC和 Rt△ BCD中， AE＝ ED＝ BC＝ a， ∴ AD＝ ＝ a. 答案： a ： (1)利用判定定理 . (2)利用平行線垂直于平面的傳遞性 (a∥ b， a⊥ α?b⊥ α). (3)利用面面平行的性質(zhì) (a⊥ α， α∥ β?a⊥ β). (4)利用面面垂直的性質(zhì) . 當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，該直線垂直于平面內(nèi)的任一直線， 常用來(lái)證明線線垂直 . 判定定理，可以并入平行推導(dǎo)鏈中，實(shí)現(xiàn)平行與垂直 的相互轉(zhuǎn)化，即線線垂直 ?線面垂直 ?線線平行 ?線 面平行 . (2022江蘇高考 )如圖，在 三棱柱 ABC－ A1B1C1中， E、 F分別 是 A1B、 A1C的中點(diǎn)，點(diǎn) D在 B1C1上， A1D⊥ ： (1)EF∥ 平面 ABC； (2)平面 A1FD⊥ 平面 BB1C1C. [思路點(diǎn)撥 ] [課堂筆記 ] (1)因?yàn)?E、 F分別是 A1B、 A1C的中點(diǎn)， 所以 EF∥ BC， 又 EF?平面 ABC， BC?平面 ABC. 所以 EF∥ 平面 ABC. (2)因?yàn)槿庵?ABC－ A1B1C1為直三棱柱， 所以 BB1⊥ 平面 A1B1C1， 所以 BB1⊥ A1D， 又 A1D⊥ B1C， B1C∩BB1＝ B1. 所以 A1D⊥ 平面 BB1C1C， 又 A1D?平面 A1FD， 所以平面 A1FD⊥ 平面 BB1C1C. 兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，可以作為直線和平面垂直的判定定理，當(dāng)條件中有兩個(gè)平面垂直時(shí)，常添加的輔助線是在一個(gè)平面內(nèi)作兩平面交線的垂線 . 如圖 ① ，四邊形 ABCD中， AD∥ BC， AD＝ AB，∠ BCD＝ 45176。 ，所以∠ BDC＝ 90176。安陽(yáng)模擬 )三棱錐 P－ ABC中， PC、 AC、 BC兩兩垂直， BC＝ PC＝ 1， AC＝ 2， E、 F、 G分 別是 AB、 AC、 AP的中點(diǎn) . (1)證明：平面 GFE∥ 平面 PCB； (2)求二面角 B－ AP－ C的正切值 . [思路點(diǎn)撥 ] [課堂筆記 ] (1)證明：因?yàn)?E、 F、 G分別是 AB、 AC、AP的中點(diǎn)， 所以 EF∥ BC， GF∥ CP. 因?yàn)?EF， GF?平面 PCB. 所以 EF∥ 平面 PCB， GF∥ 平面 PCB. 又 EF∩GF＝ F， 所以平面 GFE∥ 平面 PCB. (2)∵ BC⊥ PC， BC⊥ CA，且 PC∩AC＝ C， ∴ BC⊥ 平面 PAC. 過(guò)點(diǎn) C作 CH⊥ PA于 H點(diǎn)， 連結(jié) HB，則易證 HB⊥ PA， ∴∠ BHC即為二面角 B－ AP－ C的平面角 . 在 Rt△ ACP中， AP＝ ＝ ， HC＝ ＝ (等積 ). ∴ tan∠ BHC＝ ＝ ＝ .
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