【正文】 m R n? 其中 824 , 0 , ( ( ) )N m N x n? ? ?表示 ()xn 以 8 為周期的延拓。% 設移位值為 3 n=0:N1。stem(n,xn,39。 axis([0 length(xn),0 1])。 xc=xn(mod(n,8)+1)。)。序列 x(n)的周期延拓序列 39。 subplot(3,1,3)。grid。)。 要求：離散時間傅立葉變換在 [2? ,2? ]之間的兩個周期內取 401 個等分頻率上進行數(shù)值求值。w=(pi/100)*k。angX=angle(X)。title(39。plot(w/pi,angX)。)。 例 41 求有限序列 x=[2， 1， 1， 1]的 DTFT，其位置向量為 nx=[0： 3]。K=64。 X=x*exp(j*dw*nx39。 ● 相乘性質 若 11( ) [ ( )]jX e D TF T x n? ? ， 22) [ ( )]jX e D TF T x n? ? ， 12( ) ( ) ( )y n x n x n? ， 則 ()yn 的離散傅里葉變換為： ()1 2 1 211( ) ( ) ( ) ( ) ( )22j j j j jY e X e X e X e X e d?? ? ? ? ? ?? ??? ??? ? ? ? 該性質也稱為調制定理，是卷積性質的對偶性質。如果用離散傅里葉級數(shù)表示，則可以討論其收斂性。如果將 n當作時間變量， k當作頻率變量，則第一式表示的是時域到頻域的變換，稱為 DFS的正變換。 離散傅里葉級數(shù) (DFS)的性質 ◎ 線性 設周期序列 1()xn和 2()xn的周期都為 N，且 1122[ ( )] ( )[ ( )] ( )D F S x n X kD F S x n X k?? 若 3 1 2( ) ( ) ( )x n ax n bx n??， 則有 ： 3 1 2 1 2( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )X k D F S ax n bx n aX k bX k? ? ? ? ◎ 周期序列的移位 設 [ ( )] ( )D FS x n X k? ， 則 ； [ ( ) ] ( )mkND FS x n m W X k?? 如果 mN，則 m=m1+Nm2， [ ( ) ] ( )nlNI D FS X k l W x n??? ◎ 周期卷積 設 1()xn和 2()xn都是周期為 N的周期序列，它們的 DFS系數(shù)分別為 ： 32 11101220( ) ( )( ) ( )NkmNmNkrNrX k x m WX k x r W???????? 令 12( ) ( ) ( )Y k X k X k? ， 則 ： 11 2 1 2 1 20( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )Nmy n I D F S X k X k x m x n m x n x n??? ? ? ? ?? 上式表示的是兩個周期序列的卷積，稱為周期卷積。計算出 n=0到 N1(一個周期 )的結果后，再將其進行周期延拓，就得到周期卷積 ()yn 。 ◎計算 IDFT 的 ()xn ，也是同樣的道理 ● 為什么可以大量減小 DFT 的計算量， NW 因子有如下所述的周期性及對稱性 （ 1） nkNW 的對稱性： ( )*nk nkNNWW?? （ 2）周期性： ( ) ( )nk n N k n k NN N NW W W。 ◎對所有 N個 ()Xk 值，共需 2N 次復數(shù)乘法和 ( 1)NN? 次復數(shù)加法，實現(xiàn)一次復數(shù)乘法需要 4 次實數(shù)乘 2次實數(shù)相加，實現(xiàn)一次復數(shù)相加需要 2 次實數(shù)相加 33 例如：若 N=1024，則需要 1048576 次復數(shù)乘法，即 4194304 次實數(shù)乘法，所需時間過長，難于“實時“實現(xiàn)。 周期卷積的計算： 周期卷積中的序列 1()xm和 2()x n m? 對 m都是周期為 N的周期序列，它們的乘積對 m也是以 N為周期的，周期卷積僅在一個周期內求和。 由于 2211 ()00( ) ( ) ( ) ( )NN j k p N n j k nNNnnX k p N x n e x n e X k????? ? ???? ? ? ??? 故 ()Xk是周期為 N的離散周期信號。這樣可把離散傅里葉級數(shù)表示為 ： 2101( ) ( )N j k nNkx n X k eN ???? ? 式中，乘以系數(shù) 1/N 是為了下面計算的方便； ()Xk為 k次諧波的系數(shù) 。該性質表明，信號時域的能量等于 頻域的能量。 plot(k*dw,abs(X)), % 畫幅頻曲線 subplot(2,1,2) 。 k=floor((K/2+):(K/))。 解： MATLAB 程序如下： x=[2,1,1,1]。同時，對于自變量 ? ， ()jXe? 又滿足如下關系式： ( 2 ) ( 2 ) 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )j k j k i j i j k i j i ji i iX e x i e x i e e x i e X e? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 對 ? 而言， ()jXe? 是以 2? 為周期的周期函數(shù)。title(39。)。plot(w/pi,magX)。*k)。x=ones(1,6)。 ()jXe? 稱為 ()xn 的頻譜密度， ()jXe? 稱為幅度譜密度， arg[ ( )]jXe? 稱為相位譜密度。title(39。.39。 xm=[xn(m+1:M) xn(1:m)]。 axis([0 length(xc),0 1])。stem(n,xc,39。序列 x(n)39。)。 nM)。 24 M=8。 Y(k,:)=yy。 i=0:N1。 ② 利用循環(huán)卷積的定義 對于 [0, 1]N? 內的每個 n 產(chǎn)生一個 (( )) ( )NNx n i R n??序列，并作為一個矩陣的行，然后將公式一作為一個矩陣向量乘法來實現(xiàn)。 離散循環(huán)卷積 循環(huán)卷積是定義在有限長序列之間的。 周期卷積的 MATLAB 實現(xiàn)是借助于有限長序列的線性卷積來完成的。)。 set(gcf, 39。)。n39。)。右移 3 位后的序列 39。ylabel(39。grid。 subplot(222), stem(ny1,y, 39。)。n39。)。 ny1=nx+3。設序列 x（ n）用樣值向量 x 和位置向量 nx 描述，移位 0n 后的序列 y（ n）用樣值序列 y 和位置序列 ny 描述，則實現(xiàn)語句為： y=x； ny=nx+n0； 例 33 用 MATLAB分別實現(xiàn)序列 [ 2 , 5 ]( ) {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 5 , 5 }xn ?? 的右移 3位和左移 2為。)。 set(gcf, 39。)。n39。)。原序列 39。ylabel(39。grid。 subplot(211), stem(nx,x, 39。 MATLAB 程序如下： nx=2:5。 運行結果： 1 [ 2 , 2 ]2 [ 0 ,3 ]( ) { 1, 2 , 3 ,1, 4 }( ) { 2 , 3 , 2 , 3}xnxn ?? ? ?? ? ? 19 序列翻轉 設有序列 x（ n） ，則它的翻轉序列如下： 翻轉運算中，序列的每個值以 n=0 為中心進行翻轉，翻轉過程中，序列的樣值向量翻轉的同時，位置向量翻轉并取反。color39。title(39。)。 subplot(224), stem(n,xm)。)。n39。) 。x11(n)+x22(n) 39。 xlabel(39。x1(n)的擴展序列 39。ylabel(39。axis([3 4 4 5])。(n=max(n2))))=x2。x22=zeros(1,length(n))。 n2=0:3。 MATLAB 實現(xiàn)語句為： y=x1+x2。有運行結果可知，當 1|| ?a 時 ，單邊指數(shù)序列發(fā)散；當 1|| ?a 時，該序列收斂。n39。x(n)=^{n}39。fill39。n39。x(n)=^{n}39。fill39。x2=a2.^n。a2=。n39。fill39。模 39。n39。fill39。實部 39。 x=A*exp((a+i*b)*n)。 MATLAB 源程序為 n=0:30。)。.39。 復正弦序列 () jnx n e?? 在 Matlab 中編程如下： n=0::10。),ylabel(39。 stem(n,x)。 fai=0。c os ( ) 。 運行結果： 正弦序列 正弦序列定義為： 13 ? ? ? ? ? ?sin sin 2x n A n A fn? ? ? ?? ? ? ? 其中， ? 為正弦序列的數(shù)字角頻率； f 為正弦序列的數(shù)字頻率； ? 為正弦序列的初 相 位 。)。.39。 8[]Rn的 MATLAB程序如下： n=5:10。)。.39。 另外，利用邏輯關 系表達式產(chǎn)生單位階躍序列也是一種常用的方法，其格式為： x= ? ?0 0nn? ??????； 上述語句產(chǎn)生的向量 x 表示一個起點在 0nn? 處的單位階躍序列。 []un 的移位序列也經(jīng)常用到，其表達式為： 0001 [] 0 nnu n n nn????? ?? 其特點是僅在 0nn? 處取值為 1，其他取值均為零。n39。.39。 MATLAB程序如下： x=zeros(1,30)。在 MATLAB 中，用 zeros 函數(shù)產(chǎn)生一個零向量，其通常的 調用格式為： x=zeros? ?1,N 。在 MATLAB 中，用樣值向量和位置向量來表示一個序列，要求兩個向量長度相等。 數(shù)字信號處理系統(tǒng)處理的是離散時間信號經(jīng)過量化和編碼后形成 的二進制編碼序列。 ◎ 連續(xù)時間信號：時間連續(xù)，幅值可以連續(xù)也可以離散。 ⑦ 應用軟件開發(fā)（包括用戶界面） 在開發(fā)環(huán)境中，使用戶更方便地控制多個文件和圖形窗口；在編程方面支持了函數(shù)嵌套，有條 件中斷等；在圖形化方面，有了更強大的圖形標注和處理功能，包括對性對起連接注釋等；在輸入輸出方面，可以直接向 Excel 和 HDF5 進行連接。允 9 許用 戶編寫可以和 MATLAB 進行交互的 C 或 C++語言程序。 ⑤ 應用廣泛的模塊集合工具箱 MATLAB 對許多 專門的領域都開發(fā)了功能強大的模塊集和工具箱?？捎糜诳茖W計算和工程繪圖。 MATLAB 的這些函數(shù)集包括從最簡單最基本的函數(shù)到諸如矩陣，特征向量、快速傅立葉變換的復雜函數(shù)。其擁有 600 多個工程中要用到的數(shù)學運算函數(shù)，可以方便的實現(xiàn)用戶所需的各種計算功能。新版本的 MATLAB 語言是基于最為流行的 C＋＋ 語言基礎上的，因此語法特征與C＋＋語言極為相似，而且更加簡單，更加符合科技人員對數(shù)學表達式的書寫格式。而且新版本的 MATLAB 提供了完整的聯(lián)機查詢、幫助系統(tǒng)，極大的方便了用戶的使用。 MATLAB 具有以下特點： ① 友好的工作平臺和編程環(huán)境 MATLAB 由一系列工具組成。而數(shù)字濾波和頻譜分析是數(shù)字信號處理理論的兩個主要學科分支。 數(shù)字信號處理系統(tǒng)也有其局限性，例如，數(shù)字系統(tǒng)的速度還不算高 ， 硬件的速度也只在幾十兆赫以下，故 不能處理很高頻率的信號。例如對信號進行頻譜分析，模擬頻譜儀在頻率低端只能分析到 1OHz 以上頻率．且難于做到高分辨率（足夠窄的帶寬），但在數(shù)字的譜分析中，已能做到 103Hz 的譜分析。 ⑤ 時分復用。如采用大規(guī)模集成電路，可靠性就更高。 ② 靈活性高。 數(shù)字信號處理 是把信號用符號或者是數(shù)字的形式表示成序列，通過通用（專用）信號處理設備或計算機，用數(shù)值計算的方法進行各種處理，它 的目的是對真實世界的連續(xù)模擬信號進行測量或 濾波 ，達到提取有用信息并加于利用的效果，例如檢測、變換、增強、參數(shù)提取、頻譜分析等。作為強大的科學計算平臺，它幾乎滿足所有的計算要求 。數(shù)字信號處理的核心內容主要是信號的獲取、傳輸和處理、識別及綜合等。 MATLAB實現(xiàn)了給定參數(shù)信號波形生產(chǎn)、 DTFT頻譜分析、 FIR、 IIR濾波器等功能。 MATLAB包括擁有數(shù)百個內部函數(shù)的主包和三十幾種工具包。 本 科 畢 業(yè) 設 計 設計題目： 基于 MATLAB 的數(shù)字信號處理 學生姓名： 張旭 學 號 ： 202000920204 專 業(yè) ： 電子信息工程 指導教師： 王春興