【正文】 f x h y h K? ???? ??? ? ? ??1 ( , ( , ) )22n n n n n nhhy y h f x y f x y? ? ? ? ? 對 的 RK公式能否使局部誤差提高到 ？為 此需要把 多展開一項，通過分析可以得到不可能的 結(jié)論。 ? 三階與四階顯式 RK方法 要得到三階的顯式 RK方法，必須 ，此時計算 公式為： 其中 及 均為待定參數(shù)，誤差為 2r? 4()Oh2K2r?3r?1 1 1 2 2 3 312 2 2 1 13 3 3 1 1 3 2 2()( , )( , )( , )nnnnnnnny y h c K c K c KK f x yK f x h y h KK f x h y h K h K??? ? ?? ? ? ? ??????? ? ??? ? ? ? ??1 2 3,c c c 2 2 1 3 3 1 3 2, , , ,? ? ? ? ?1 1 1 1 2 2 3 3( ) ( ) [ ]n n nT y x y x h c K c K c K??? ? ? ? ?只要將 按二元函數(shù)的泰勒公式展開，使 可得待定參數(shù)需滿足的方程為： 要得到三階的顯式 RK方法，必須 ，此時計算 公式為： 其中 及 均為待定參數(shù)，誤差為 3r?1 1 1 2 2 3 312 2 2 1 13 3 3 1 1 3 2 2()( , )( , )( , )nnnnnnnny y h c K c K c KK f x yK f x h y h KK f x h y h K h K??? ? ?? ? ? ? ??????? ? ??? ? ? ? ??1 2 3,c c c 2 2 1 3 3 1 3 2, , , ,? ? ? ? ?1 1 1 1 2 2 3 3( ) ( ) [ ]n n nT y x y x h c K c K c K??? ? ? ? ?23,KK 41 ( ),nT O h? ?只要將 按二元函數(shù)的泰勒公式展開，使 可得待定參數(shù)需滿足的方程為： 這里為 8個未知數(shù)， 6個方程，解也是不唯一的，可以 得到很多公式，下面是其中稱為庫塔的公式 23,KK 41 ( ),nT O h? ?1 2 32 213 31 322 2 3 3222 2 3 33 2 321121316c c cccccc??? ? ???????? ? ?????? ????????? ????? ?? 這里為 8個未知數(shù)， 6個方程，解也是不唯一的，可以 得到很多公式，下面是其中稱為庫塔的公式 1 1 2 31213 1 2( 4 )6( , )( , )22( , 2 )nnnnnnnnhy y K K KK f x yhhK f x y KK f x h y hK hK??? ? ? ??????? ? ? ???? ? ? ?? 繼續(xù)上述過程，經(jīng)過較復雜的演算，可以導出各種四 階龍格－庫塔公式，下面是常用的經(jīng)典公式： 1 1 2 31213 1 2( 4 )6( , )( , )22( , 2 )nnnnnnnnhy y K K KK f x yhhK f x y KK f x h y hK hK??? ? ? ??????? ? ? ???? ? ? ??1 1 2 3 41213243( 2 2 ) / 6( , )( / 2 , / 2)( / 2 , / 2)( , )nnnnnnnnnny y h K K K KK f x yK f x h y hKK f x h y hKK f x h y hK?? ? ? ? ??????? ? ???? ? ??? ? ? ??例 3：用四階龍格－庫塔方法求解定解問題： 取步長 ，從 到 。 nx ny ()nyx? 選擇步長需要考慮的兩個問題： 怎樣衡量和檢驗計算結(jié)果的精度？ 如何依據(jù)所獲得的精度處理步長？ 我們考慮經(jīng)典的四階龍格－庫塔公式，從節(jié)點 出 發(fā)，先以 為步長求出一個近似值，記為 ，由于 公式的局部截斷誤差為 ，故 變步長的龍格－庫塔方法 單從每一步看，步長越小，截斷誤差就越小，但隨 著步長的縮小，在求解區(qū)間內(nèi)的步數(shù)就增加了，這在 增加計算量的同時也增加了計算的舍入誤差，因此也 有一個選擇步長的問題。 定義 3 若一種數(shù)值方法對于固定的 ，當 時有 ，則稱該方法是收斂的。 11 ( ) ( , ( ) , ) ( , , )n n n n n n n ny y y x y h x y x h x y h????? ? ? ? ?11 (1 ) ( )n n n ny y h L y x y???? ? ? ?11 1 1 1 1 1( ) ( ) ( 1 ) ( ) pn n n n n n n ny x y y y y x y h L y x y C h? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?()n n ne y x y??11 (1 ) pnne h L e C h? ?? ? ? ?0( 1 ) [ ( 1 ) 1 ]pnnnChe h L e h LL?? ?? ? ? ? ?0nx x n h T? ? ? (1 ) ( )h L T Lnnh L e e???? ? ?0 ( 1 )pTL TLnChe e e eL???? ? ? 推論：對于一個 階的顯式單步法，若微分方程的 右端函數(shù) 關(guān)于 滿足利普希茨條件，且初值是精 確的，則顯式歐拉法，改進歐拉法和龍格－庫塔方法 是收斂的。 p( , )f x y y1p? ()yxp122( ) ( ) ( , ( ) , )()( ) [ ( , ( ) , 0 ) ( , ( ) , 0 ) ]2[ ( ) ( , ( ) , 0 ) ] ( )nxT y x h y x h x y x hyxy x h h h x y x x y x hh y x x y x O h????? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ??? ? ?1p? ( ) ( , ( ) , 0 ) 0y x x y x?? ??( ) ( , ( ) )y x f x y x? ?( , , 0 ) ( , )x y f x y? ? 以上討論表明 階方法當 與初值問題相容， 反之，相容的方法至少是一階的。 于是，由定理 1可知，線性單步方法收斂的充分必 要條件是該方法是相容的。 再考察后退歐拉方法，可以得到，當 時，計 算是穩(wěn)。 例 4 考察初值問題 p 1p?100(0 ) 1yyy? ???? ??其準確解 是一個按指數(shù)曲線衰減的很快的函 數(shù)，如圖： ? 絕對穩(wěn)定性與絕對穩(wěn)定域 定義 5 若一種數(shù)值方法在節(jié)點值 上有大小為 的擾動，而于以后各節(jié)點上產(chǎn)生的偏差均不超過 ， 則稱該方法是穩(wěn)定的。 ? 絕對穩(wěn)定性與絕對穩(wěn)定域 所以 的充要條件是 ，而 ，于是可給出如下的定義： 定義 4 單步法的增量函數(shù) 稱為該單步法 與初值問題相容。 0( 1 ) [ ( 1 ) 1 ]pnnnChe h L e h LL?? ?? ? ? ? ?0nx x n h T? ? ? (1 ) ( )h L T Lnnh L e e???? ? ?0 ( 1 )pTL TLnChe e e eL???? ? ?p( , )f x y y1p? ()yxp 推論：對于一個 階的顯式單步法，若微分方程的 右端函數(shù) 關(guān)于 滿足利普希茨條件，且初值是精 確的，則顯式歐拉法，改進歐拉法和龍格－庫塔方法 是收斂的。 定義 3 若一種數(shù)值方法對于固定的 ，當 時有 ，則稱該方法是收斂的。 1/16 ( / 2 )11()11() 1( ) 1 6hnnhnny x yy x y????? ??( / 2 ) ( / 2 ) ( )1 1 1 11()15h h hn n n ny x y y y? ? ? ???? ? ???( / 2 ) ( )11hhnnyy??? ? ?? ?????? ( /2)1hny???? ??? 單步法的收斂性與穩(wěn)定性 ? 收斂性與相容性 數(shù)值解法的基本思想是通過離散將微分方程轉(zhuǎn)化為 差分方程，如單步法 (1) 它在 處的解為 ，而初值問題的解為 ，記 分下列兩種情況處理，稱為變步長方法： 1)對于給定的精度 ，如果 ，我們反復將步長 折半進行計算，直到 為止，這時取最終得到的 作為結(jié)果； 2)如果 ，我們將反復將步長加倍，直到 為 止，這時再將步長折半一次，得到結(jié)果。 解：寫出具體的四階龍格－庫塔的具體格式為： 2 ( 0 1 )( 0 ) 1xy y xyy? ? ? ? ? ???? ??? 0x? 1x?1 1 2 3 41 2 113 2 4 332( 2 2 )622,222 2( )22nnnnnnnnnnnnnnhy y K K K Kx x hhK y K y KhyyKx h x hhK y K K y hKh y hKyK?? ? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ? ???，列出計算結(jié)果如下表： 1 1 2 3 41 2 113 2 4 332( 2 2 )622,222 2( )22nnnnnnnnnnnnnnhy y K K K Kx x hhK y K y KhyyKx h x hhK y K K y hKh y hKyK?? ? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ? ???， nx ny ()nyx列出計算結(jié)果如下表： 可見計算精度較以前大為提高。 ? 三階與四階顯式 RK方法 要得到三階的顯式 RK方法，必須 ，此時計算 若取 ，則 ，得到： 稱為中點公式，相當于數(shù)值積分的中矩形公式，也即 1a? 1 2 2 2 10 , 1 , 1 / 2cc ??? ? ? ?12121( , )( / 2 , / 2 )nnnnnny y h KK f x yK