【正文】 率（或基本頻率）、第二頻率 。 二 .柔度法 1. 兩個自由度體系 （ 1）自由振動微分方程 質(zhì)量 在任意時刻的位移 為此時 12,mm12( ), ( )y t y t11ym?? 11 ym ??? 22 ym ??? （ 1349） （ 2） 頻率方程和頻率 1 1 1 1 1 2 2 222 1 1 1 2 2 2 221( ) 01( ) 0m Y m Ym Y m Y???????? ? ? ????? ? ??? （ 1350） 方程的特解同剛度法；設(shè)兩質(zhì)量作簡諧振動，代入方程（ 1349），整理得位移幅值方程 0 2 ???????????????????222221112122211111( t )m( t )m( t )y( t )m( t )m( t )y????yyyy11 1 12 2221 1 22 2 21()01()mmDmm?????????? （ 1351） 頻率方程 解頻率方程同樣得到 的兩個根： 12,??（ 3） 主振型 與剛度法求振型相似，得到用柔度法表示的主振型為： 第一主振型： 1 1 1 2 2211 1 1 211YmY m?????? （ 1352） 2?第二主振型： （ 13－ 53） 2. n個自由度體系 體系振動時，任一質(zhì)量 mi 任的位移 yi（ i=1,2,… ,n）為該時刻作用在體系各質(zhì)量上的慣性力 （ i=1,2,… ,n）作用下所產(chǎn)生的靜位移： )( tym ii ???nnnnnnnnnnnnnymymymtyymymymtyymymymty???????????????????????????????????????????????22211122222211121122211111)()()( （ 13－ 54） 2211121222121??????mmYY其矩陣表達式 ? ? ? ? ? ?0]][[ ?? yMy ???頻率方程 0][]][[ ?? IM ??式中 解頻率方程 ， 得 λ 的 n個根 ， λ 1，λ 2， … λ n， 并可得到 n個頻率： ω 1，ω 2 ， … ω n 將頻率代入 得出 ω i將對應(yīng)的主振型向量： ，這 n個主振型線性無關(guān)。求剛架水平振動時自振頻率和主振型。 主振型的正交性 －在多自由度體系中，任意兩個不同的主振型之間存在著相互正交的性質(zhì)。 物理意義：體系按某一振型振動時 ,其彈性力不會在其它振型上作功。 （ 13－ 63） 例： 試驗證例 1所求振型的正確性。 1?? ? 時 ， ， 01 ?Y 02 ?Y???n),2,1( nii ??? ?? 個自由度體系有 n 個共振區(qū) ， 即當 時都可能出現(xiàn)共振現(xiàn)象 。 EI＝常數(shù)。 F p12m 1m 2I1I2 Y 2Y 1振幅可列幅值方程求得 ppIIYIIY2222121212121111???????????? 在各質(zhì)量的慣性力幅值及動荷載幅值共同作用下 ， 可按靜力學(xué)方法求得動內(nèi)力幅值 。 13－ 8 多自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動（不計阻尼） tFtyktyktymtFtyktyktymPP??s i n)()()(s i n)()()(222212122121211111?????????? tYtytYty??s in)(s in)(2211??代入運動方程，得位移幅值方程： 222222121121211211)()(PPFYmkYkFYkYmk????????（ 13－ 64） （ 13－ 65） 011 DDY ?022 DDY ?式中 )()(2222211212110 mkkkmkD?????)( 222221211 mkFkFDPP??? 221112112)(PPFkFmkD ???（ 13－ 66） （ 13－ 67） 以兩個自由度為例 二 . 柔度法 m 11y 1 (t )F p si n θ ty 2 (t )m 22=F pΔ2pΔ1p sin θ t +δ 11δ 21 (m 1 y 1 ) +11δ 12 (m 2 y 2 )δ 22 tymymytymymypp??????s i ns i n22222211121122211111?????????????????? tYytYy??s ins in2211??代入運動方程，得位移幅值方程 （ 13－ 68） 0)1(0)1(2222221212112122211121????????ppYmYmYmYm?????????? 011 DDY ?022 DDY ?式中 )1()1(22222121122211210 ???????????mmmmD)1( 22222122211 ????????mmDpp??ppmmD221211112121??????????（ 13－ 69） （ 13－ 70） （ 13－ 71） 三． 受迫振動分析討論 ，各質(zhì)量按動荷載頻率作同步的簡諧振動。 在 n 個自由度體系中，將 n 個彼此正交的主振型向量組成得方陣 —— 主振型矩陣 。 物理意義：體系按某一振型振動時 ,其慣性力不會在其它振型上作功。 解：方法二 利用振型的正、反對稱特點，取半結(jié)構(gòu)計算體系的自振頻率 EIl1 6 25 3??36 9 1mlEIm ?? ??L/6L/3m1L/ 31M圖 （ 1）體系按對稱振型振動 半結(jié)構(gòu)為單自由度體系 (2) 體系按反對稱振型振動 半結(jié)構(gòu)為單自由度體系 EIl4863??30 1mlEIm ?? ??比較，得出 31 mlEI??32 04 mlEI??L/3mL/61L /91M 圖 作業(yè) 思考題： P288 1317 1319 習(xí)題 : P289 13－ 20 13－ 19 13－ 23 167。該質(zhì)量集中在樓層上，分別為 m1， m2。這 n 個主振型線性無關(guān)。 2111111211111121)c o s ()c o s ()()(YYtYtYtyty????????????定義： 體系上所有質(zhì)量按相同頻率作自由振動時的振動形狀稱體系的主振型。 多自由度體系自由振動分析的目的是確定體系的動力特性 ―― 自振頻率和振型 。 max? 1?? ? m a x 2121??????ma x12? ??通常情況下， 很小， ⑤ 阻尼體系的位移反應(yīng)比荷載滯后一相位 。由于阻尼的作用，含有 的第一部分的振動將逐漸 12,cc te ???（ 13－ 30） （ 13－ 31） （ 13－ 32） （ 13－ 33） (2)穩(wěn)態(tài)振動分析 穩(wěn)態(tài)振動方程可寫為 ( ) s i n ( )py t y t????振幅 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 211( 1 ) 4 ( 1 ) 4p s tFyym ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?（ 13－ 35） 1222 ( )t a n1?????????衰減消失；與動荷載頻率 相同的第二部分振動不衰減，稱為穩(wěn)態(tài)振動（純受迫振動）。然后突然卸載，剛架產(chǎn)生自由振動，測得周期 ，及一個周期后剛架的側(cè)移為 。 相位角 （ 13－ 22） （ 13－ 21） 方程（ 13－ 16）解 tetCCty ???? )()( 21 不振動 （ 3） （超阻尼情況） 1??不振動 （ 2） （臨界阻尼情況） 1???mC r 2? ―― 臨界阻尼常數(shù) （ 13－ 23） （ 13－ 24） 振動方程 )s i n ()( ???? ?? ? tAety rt頻率 21 ??? ??r周期 rrT ??2?(1)小阻尼的自由振動是一個衰減振動； ytyKyK+ 1Ae ξω ttKtK+ 1T r(2)在 時，阻尼對自振頻率的影響可忽略； ???? ?r TTr ?鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)： ??鋼結(jié)構(gòu)： ?? 左右 (3)阻尼比的確定 rrkkTTttkk eAeAeyy ???????? ????)(1????????? 22ln1?????? rrkk Tyy振幅對數(shù)衰減率 1ln21??kkyy??還可表示為 1ln21??kkyyn??（ 13－ 25） 阻尼比 （ 13－ 26） （ 13－ 27） 利用上式，通過實驗可確定體系的阻尼比。 阻尼對振動的影響 y(t)ycmFP(t)ky(t)cy(t)my(t)k(a)(b)采用阻尼模型：粘滯阻尼力 ―― 假定阻尼力的大小與體系振動時的速度成正比，與速度方向相反，用 表示。 0t?0t ?0,() ,ppFt F?? ??解 將 ()pFt 代入式 （ 13－ 11），得 01( ) ( ) s in ( )tpy t F t dm ? ? ? ?????2 0 s in ( )tpF tdm ? ? ?????2 ( 1 c o s )pF tm ????(1 c o s )styt ??? （ 13－ 13） 動力系數(shù) ? ? m a x() 2styty? ??作業(yè)： 296頁 13－ 12， 297頁 13－ 13 0 2 ππ 3 π 4 πω tyst167。最后，按靜力計算 方法求出結(jié)構(gòu)在干擾力幅值和慣性力幅值共 同作用下的內(nèi)力，此即結(jié)構(gòu)的最大動內(nèi)力。 例：求圖示簡支梁的振幅，作動彎矩幅值圖 . 已知 ： 0 .5???解 (a) (b) (1) 計算動力系數(shù) 221431??????(2) 簡支梁的振幅 31211768lEI? ?? ? m a x312()11576stA y t yFlFEI???????(c) y ( t )F s i nθ tml/4 l/4 l/2F m θ2 AA